Análisis post óptimo
Expositor :Ezzard Omar Alvarez Díaz
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería Industrial
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Ánalisis Post Óptimo, Diapositivas de Investigación de Operaciones
Teoría y ejrcicios de análisis post óptimo
Tipo: Diapositivas
2022/2023
1 / 24
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Análisis post óptimo
Expositor :Ezzard Omar Alvarez Díaz Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Industrial
Introducción
¿Cómo cambian la solución y la función objetivo
cuando los parámetros varían?
Rpta:
Resolver de nuevo el problema
Análisis de sensibilidad.
Introducción
El análisis que viene a continuación se basa en la en la
forma estándar de un PL para la maximización:
Max z = cx
sa :
Ax = b
x 0
Donde:
A es una matriz de m x n
B
-
es la matriz inversa de la base
x
B
= B
-
b es el vector solución.
Cambios en el vector c
El cambio del vector costo c , es fácilmente realizado.
Una vez encontrada la solución óptima, se tiene :
¿Qué pasa cuando el costo c
j
cambia a c ’
j
en una
variable no básica?
0 ,variables no básicas 0 ,variables básicas j j j c z c cB B aj 1
0 ,variablesno básicas 0 ,variables básicas j j j c z c cB B aj 1
Cambios en el vector c
Pero el problema se encuentra en las variables no básicas, puesto que son afectadas por la expresión: z’j -cj = c’BB
- aj - cj lo que indica que deben evaluarse los cambios para j J (J es el conjunto de las variables no básicas). Desde la expresión c’ B j
- c j en el caso de ser todas las ( z ’ j - c j ) 0 , la solución sigue siendo óptima; en otro caso, habrá que recurrir al pivote.
Desarrollo en el vector c
Sea c j = c ’ j
- c j y zj - c ’ j = **cBB
aj** - c ’ j cB no cambia = **cBB
aj** - ( cj + cj ) = ( c B B-1a j
- c j )- c j z j
- c ’ j = ( z j
- c j ) - c j En el caso de continuar ( z j
- c ’ j ) 0 , el tablero sigue siendo óptimo; en otro caso, utilizar x j como variable de entrada y efectuar la acción del pivot.
Desarrollo
El PL, se presenta a continuación:
Maximizar = 10x
1
+ 6x
2
+ 4x
3
sa.
x
1
+ x
2
+ x
3
10x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
2x
1
+ 2x
2
+ 6x
3
x
1,
x
2,
x
3
Tablero Simplex
El tablero Simplex queda de la siguiente manera:
x (^) 1 x (^) 2 x (^) 3 s (^) 1 s (^) 2 s (^) 3 RHS Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/ x (^) 2^0 1 5/6^ 10/6^ -1/6^0 400/ x (^) 1^1 0 1/6^ -4/6^ 1/6^0 200/ s (^) 3^0 0 4 -2^0 1 x (^) 1 x (^) 2 x (^) 3 s (^) 1 s (^) 2 s (^) 3 RHS Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/ x (^) 2^0 1 5/6^ 10/6^ -1/6^0 400/ x (^) 1^1 0 1/6^ -4/6^ 1/6^0 200/ s (^) 3^0 0 4 -2^0 1
Pregunta 2
¿Qué ocurre cuando c
1
se hace igual a 14?
El cambio para una variable básica , como j = 1, trae como consecuencia el análisis de todas las variables no básicas. Luego de
z ’
j
- c j
= c’
B
B
-
a
j
- c jj
= c’
B
j
- c j
se tiene que:
Para la variable x
3
Para la variable s
1
Para la variable s
2
Se observa que el valor es positivo.
... Pregunta 2
¿Qué ocurre cuando c 1 se hace igual a 14? En el caso que el incremento hubiera sido mayor 15, es decir un aumento mayor de 5; la solución cambia. Se observa que un valor de decremento de 4 unidades, hace cambiar el óptimo. Así para la variable no básica:
s
1
En consecuencia para c 1
mayor que 15, cambia el óptimo.
Ejemplo
Del tablero Simplex :
x (^) 1 x (^) 2 x (^) 3 s (^) 1 s (^) 2 s (^) 3 RHS Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/ x (^) 2^0 1 5/6^ 10/6^ -1/6^0 400/ x (^) 1^1 0 1/6^ -4/6^ 1/6^0 200/ s (^) 3^0 0 4 -2^0 1 x (^) 1 x (^) 2 x (^) 3 s (^) 1 s (^) 2 s (^) 3 RHS Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/ x (^) 2^0 1 5/6^ 10/6^ -1/6^0 400/ x (^) 1^1 0 1/6^ -4/6^ 1/6^0 200/ s (^) 3^0 0 4 -2^0 1
Pregunta 1
¿Qué ocurre cuando b
3
cambia de valor?
1 1
b b B Δb x
Se observa que cualquier cantidad de incremento en b
3
(que
inicialmente es 300), no afecta a la solución. Por otro lado el
decremento para conservar la factibilidad no puede sobrepasar
el valor de 100.
1 1
b b B Δb x
... Pregunta 2
Se observa que cualquier cambio hasta la cantidad de
decremento de 40 (que inicialmente es 100 y se reduce a
60), no afecta a la solución; mas de ese valor hay cambio
en el óptimo.
Por otro lado un incremento para conservar la factibilidad
no puede sobrepasar el valor de 50.
La regla del 100%
Sea una variable j que pertenece al conjunto J de variables
básicas; por análisis de sensibilidad, se puede conocer
cuanto puede aumentar o disminuir su coeficiente de costo,
para que se siga manteniendo la solución óptima.
z , j J 1 j j B j j c c B a c z 1 j j B j j c c B a c z , j J 1 j j B j j c c B a c z 1 j j B j j c c B a c