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Materia:
Algebra Lineal.
Nombre del Profesor:
Hebeth Cueva Valladolid.
Nombres de los estudiantes:
Bonilla Lezcano Herry Marciano.
Burga Rondinel Carlos Alonso.
Cornejo Morales Jordy Eduardo.
Cusma Guevara Darwin Alexis.
Dueñas Burga Dennis Hector.
Llanos Berru Jose Eduardo.
Sánchez Cruzalegui John Anthony.
Tema del trabajo:
Aplicación de Matrices.
Universidad USMP, 23Mayo, 2018-I
INDICE
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- Introduccion………………………………………………………………………………
- 2.- Mtrices…………………………………………………………………………………….
- 2.1Clases de Matrices ………………………………………………………………………
- 2.1.1 Matriz Cuadrada …............................................................................................
- 2.1.2 Matriz Indentidad …………………………………………………………………….
- 2.1.3 Matriz Triangular ……………………………………………………………………..
- 2.1.4 Matriz Diagonales ……………………………………………………………………
- 2.1.5 Transpuuesta de una Matriz …………………………………………...……….…..
- 2.1.6 Simetrica ……………………………………………………………………………..
- 2.1.7 Ortogonales …………………………………………………………………………
- 2..1.8 Normales …………………………………………………………………………….
- 2.2 Operaciones Con Matrices ……………………………………………………………. - 2.2.1 Suma y Resta de Matriz ………………………………………………………….. - 2.2.2 Producto de Matrices …………………………………………………………….. - 2.2.3 Division de Matriz ………………………………………………………………… - 2.2.4 Metodo de Gauss ………………………………………………………………….
- 2.3 Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ……………………………………….
- 2.4 Determinantes …………………………………………………………………………
- 2.5 Calculo de Rango de una Mtriz ……………………………………………………..
- 2.6 Regla de Carmer ………………………………………………………………………
- 3 Ejercicios ………………………………………………………………………………..
- 4.Linkografia ……………………………………………………………………………….
La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
donde sus filas son (1, −3, 4) y (0, 5, −2) y sus
CLASES DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
✓ MATRIZ CUADRADA
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n−cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
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Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
✓ MATRIZ IDENTIDAD
Sea A = (ai j ) una matriz n−cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n−cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
✓ MATRICES TRIANGULARES
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
✓ MATRICES DIAGONALES
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,
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Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
✓ MATRICES ORTOGONALES
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A−1 = AT.
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
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MATRICES NORMALES
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.
OPERACIONES CON MATRICES
✓ SUMA Y RESTA DE MATRICES
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.
3 ð 5 por 2 ð 3,
puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.
Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m ð p y B una matriz p ð n. Entonces el producto AB es la matriz m ð n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.
Esto es,
Ejemplo:
ð Producto por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:
Ejemplo:
Entonces:
DIVISIÓN DE MATRICES
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB−1:
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria
Paso 1.
Paso 2.
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.
Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
Primero construimos la matriz M = (A I),
La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).
A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre −1:
a) ¿Qué clase de matrices son?
b) Calcular:
− A − B + C.
A + B − C.
3A + C/2.
c) Calcular: (A · B) /C.
d) Calcular la inversa de A (A−1) y comprobar el resultado.
Resolución:
a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.
b)
c)
ð Puesto que (A ð B) /C = A ð B ð C−1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.
ð Dividimos la primera fila entre −6, la segunda entre 3 y la tercera entre −3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,
ð Por lo tanto, la matriz inversa de C es:
ð A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,
ð Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene
Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,
ð Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre −3042, la segunda entre −78 y la tercera entre 39,
Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:
ð Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A−1, tiene que cumplir
AA−1 = I.
Procedamos a la comprobación:
MATR. Y SIST. DE ECUAC. LINEALES
La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:
Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del Sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.
METODO DE GAUSS
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sea el sistema,
