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Aplicaciones de variable compleja

Nombre: Tripalopsqui Urquidi

introducción: El análisis de variable compleja es una de las más fascinantes y

exitosas áreas de las matemáticas. Sus resultados ayudan a demostrar

teoremas importantes y proporcionan los fundamentos para varios conceptos

útiles en otras áreas de esta ciencia. Muchas de las técnicas matemáticas más

eficaces aplicadas en la ingeniería y en otras disciplinas se basan en la teoría

de funciones complejas. por su extensa aplicabilidad, la combinación de

conceptos geométricos y analíticos, y la sencillez de muchos de sus resultados,

el análisis complejo proporciona una excelente introducción a las matemáticas

modernas. Los recientes desarrollos en la teoría de funciones complejas y en la

teoría de varias variables complejas harán factible obtener aplicaciones útiles

en diferentes ramas de la ingeniería.

desarrollo:

Como ejemplos de aplicación podemos citar:

En el  diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma

permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se

utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski.

Para el  estudio de fractales que a su vez tienen numerosas aplicaciones

en otros campos.

Elconcepto de señaljuega un papel importante en áreas diversas de la

ciencia y de la tecnología como lascomunicaciones,

laaeronáuticayastronáutica, eldiseño de circuitos, laacústica,

lasismología, laingeniería biomédica, lossistemas de generación y

distribución de energía, elcontrol de procesos químicos y

elprocesamiento de voz. En el lenguaje para describir las señales. y en

las herramientas para analizarlas intervienen los números complejos.

Como ejemplos de algunas señales sinusoidales podemos citar:

Las  magnitudes eléctricas que caracterizan a cada elemento de un circuito de

corriente alterna(intensidad, diferencia de potencial, etc.) se expresan

utilizando la notación exponencial de los números complejos. De este modo,

pueden definirse sus amplitudes y sus desfases relativos; facilitando mucho el

cálculo de las propiedades del circuito; que consiste en realizar las operaciones

algebraicas básicas con los fasores o vectores que representan dichas

magnitudes.

En el  movimiento ondulatorio ,  la amplitud de una onda armónica en función del

tiempo, en algunos casos tiene mucho interés representarla en notación

compleja. Por ejemplo, cuando se estudia la interferencia de ondas producidas

por dos fuentes sincrónicas. La onda que resulta es la composición de dos

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Nombre: Tripalopsqui Urquidi introducción: El análisis de variable compleja es una de las más fascinantes y exitosas áreas de las matemáticas. Sus resultados ayudan a demostrar teoremas importantes y proporcionan los fundamentos para varios conceptos útiles en otras áreas de esta ciencia. Muchas de las técnicas matemáticas más eficaces aplicadas en la ingeniería y en otras disciplinas se basan en la teoría de funciones complejas. por su extensa aplicabilidad, la combinación de conceptos geométricos y analíticos, y la sencillez de muchos de sus resultados, el análisis complejo proporciona una excelente introducción a las matemáticas modernas. Los recientes desarrollos en la teoría de funciones complejas y en la teoría de varias variables complejas harán factible obtener aplicaciones útiles en diferentes ramas de la ingeniería. desarrollo: Como ejemplos de aplicación podemos citar:  En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski.  Para el estudio de fractales que a su vez tienen numerosas aplicaciones en otros campos.  El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como las comunicaciones , la aeronáutica y astronáutica , el diseño de circuitos , la acústica , la sismología , la ingeniería biomédica , los sistemas de generación y distribución de energía , el control de procesos químicos y el procesamiento de voz. En el lenguaje para describir las señales. y en las herramientas para analizarlas intervienen los números complejos. Como ejemplos de algunas señales sinusoidales podemos citar : Las magnitudes eléctricas que caracterizan a cada elemento de un circuito de corriente alterna (intensidad, diferencia de potencial, etc.) se expresan utilizando la notación exponencial de los números complejos. De este modo, pueden definirse sus amplitudes y sus desfases relativos; facilitando mucho el cálculo de las propiedades del circuito; que consiste en realizar las operaciones algebraicas básicas con los fasores o vectores que representan dichas magnitudes. En el movimiento ondulatorio , la amplitud de una onda armónica en función del tiempo, en algunos casos tiene mucho interés representarla en notación compleja. Por ejemplo, cuando se estudia la interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas. La onda que resulta es la composición de dos

movimientos armónicos simples, de la misma dirección y frecuencia. La amplitud de dicha onda se obtiene sumando los vectores que representan las respectivas ondas que interfieren.  El análisis de Fourier nos permite representar cualquier función periódica , con la exactitud que deseemos, mediante una suma de funciones sinusoidales, denominadas armónicos. Sustituyendo estas funciones seno y coseno por las expresiones exponenciales equivalentes, utilizando la fórmula de Euler, se obtiene la forma compleja de la serie de Fourier de f(t), así: f(t)= ∑ n=−∞ +∞ C n ⋅ e i n ω 0 t La forma concisa de esta serie compleja es la razón fundamental por la cual se usa. El primer armónico de la serie corresponde al valor n = 1 y posee la frecuencia más baja, ω 0 = 2 π T , siendo T el período de la función f(t). Los restantes armónicos poseen frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental, ω n =n⋅ ω 0 , y su amplitud es el módulo del coeficiente complejo Cn, es decir | C n |. En la investigación con instrumentos musicales es muy frecuente construir una onda periódica arbitraria a partir de un número finito de sus armónicos componentes, operación que se denomina síntesis. Si P(t) es la variación de la presión del aire producida por un diapasón, un clarinete y una corneta tocando la misma nota musical, todas las ondas tienen el mismo período porque corresponden a la misma nota musical, pero las intensidades relativas de los armónicos que intervienen no son las mismas, sino que son características para cada instrumento. La aplicación del análisis de Fourier aporta la información detallada de los armónicos de cada instrumento, que permite diseñar o sintetizar las ondas periódicas deseadas.  En la relatividad especial y la relatividad general , algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. Estas teorías son publicadas por primera vez por Albert Einstein en 1905 y describe la física del movimiento en ausencia de campos gravitacionales.  El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C. Aplicación de funciones de variable compleja en circuitos eléctricos fasores: El fasor es un número complejo que se utiliza principalmente para la resolución de problemas de circuitos eléctricos excitados por fuentes senoidales (fuentes de corriente alterna). Permite resolver circuitos eléctricos de forma ágil, lo que no se lograría si se utilizara las funciones seno y coseno. También permite ver fácilmente en el plano complejo el comportamiento de las corrientes y tensiones en el circuito eléctrico.

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