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Este documento detalla el proceso de la diferenciación numérica a través del método de interpolación de Newton. Se define el concepto de diferencia numérica y se identifican los tipos de ejercicios que se pueden realizar. Se presentan los conceptos básicos de las diferencias finitas divididas y se calculan coeficientes de polinomios interpolantes utilizando las diferencias divididas. Se muestra el proceso de obtención de ambos polinomios progresivo y regresivo, y se verifica que ambos son iguales. Se presenta la forma general de los polinomios de interpolación de Newton y se explican los requisitos para obtener un polinomio de n-ésimo orden. Se incluyen ecuaciones para evaluar los coeficientes y se presentan ejemplos de cálculo.
Tipo: Diapositivas
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MATEMÁTICA III – INGENIERÍA CIVIL
AGUILAR ANDRADE YENIFER ALAYO CABANILLAS KRYSTIAN ALONZO JULCA NALLELY ALZAMORA VALDIVIA FRANCESCO ARCE DAVILA ROGER CRISTIAN AVILA FELIPE, JHON ALEXANDER BENÍTES RODRÍGUEZ ANGEL SEBASTIAN. CACHO CHÁVEZ FERNANDO RODRIGO
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). Teniendo en cuenta los diferentes métodos existentes, y a su vez la aplicación de estos a diversas ramas de la ciencia, se presenta este informe detallado, revisado e intentando abarcar la totalidad del tema expuesto para la consiguiente divulgación científica universitaria. Objetivos Definir el concepto de diferencia numérica identificar los tipos de ejercicios que puedan realizarse
Diferencias finitas divididas (Interpolación de Newton)
[, ] = k ∈ [0, n][0, n − 1] [, , ] = k ∈ [0, n][0, n − 2] k ∈ [0, n][0, n − i]
Ejemplo 1 Dados los puntos (1,2), (3,3), (4,2) y (8,10), se quiere obtener el polinomio interpolante que pasa por ellos. Hallar, por medio de las diferencias divididas, el polinomio progresivo y regresivo. Al tener cuatro puntos, sabemos que el grado del polinomio interpolante será tres. Por lo tanto, necesitaremos de cuatro coeficientes para tener nuestro polinomio definido. Aplicando los pasos de las diferencias divididas
Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1,..., bn.
Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: x0, x1,...,xn. Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes: En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas, la n-ésima diferencia dividida finita es.
Expresiones de Segundas Diferencias Centrales
PRIMERA DERIVADA SEGUNDA DERIVADA
Ejemplo 1:
Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Atrás
PRIMERA DERIVADA (^) SEGUNDA DERIVADA
