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MScMSc JavierJavier ÁvilaÁvila VeraVera - - InvestigaciónInvestigación OperativaOperativa - - AdministraciónAdministración dede Empresas/U.M.S.A.Empresas/U.M.S.A.
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TEMA Nro. 1TEMA Nro. 1
PROGRAMACION LINEALPROGRAMACION LINEAL
1.- INTRODUCCION1.- INTRODUCCION
1.1.- Problemas de Optimización1.1.- Problemas de Optimización
El hombre siempre a buscado mejores maneras de realizar las tareas diarias de la vida. A lo largoEl hombre siempre a buscado mejores maneras de realizar las tareas diarias de la vida. A lo largo de la historia, se puede observar la larga búsqueda de fuentes más óptimas de alimentos,de la historia, se puede observar la larga búsqueda de fuentes más óptimas de alimentos, materiales, energía y manejo del entorno físico; sin embargo, relativamente tarde en la historia demateriales, energía y manejo del entorno físico; sin embargo, relativamente tarde en la historia de la humanidad, comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales de manerala humanidad, comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales de manera cuantitativa, primero en pcuantitativa, primero en palabras y después en noalabras y después en notaciones simbólitaciones simbólicas.cas. Se han realizaSe han realizado grandesdo grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales en general y, gerenciales yesfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales en general y, gerenciales y empresarialeempresariales en particular. Se ins en particular. Se investigó para que esvestigó para que estas situaciones tengatas situaciones tengann significado, de tasignificado, de tall forma que se puedan escribir en una expresión matemática que contenga una o más variables yforma que se puedan escribir en una expresión matemática que contenga una o más variables y cuyos valores puedan determinarse. La pregunta que se formula es: ¿Qué valores deberían tenercuyos valores puedan determinarse. La pregunta que se formula es: ¿Qué valores deberían tener estas variables para que la expresión matemática tenga el mayor valor numérico posibleestas variables para que la expresión matemática tenga el mayor valor numérico posible (Maximización) o el menor valor numérico posible (minimización)? a este proceso general de(Maximización) o el menor valor numérico posible (minimización)? a este proceso general de
Maximización o Minimización seMaximización o Minimización se LO DENOMINA OPTIMIZACIÓNLO DENOMINA OPTIMIZACIÓN. La optimización, sirve para. La optimización, sirve para
encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado,encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que permite mayores utilidades,la que permite mayores utilidades,
producciónproducción oo felicidad,felicidad, o en su caso,o en su caso, la que logra el menor costo, gasto, desperdicio ola que logra el menor costo, gasto, desperdicio o
malestarmalestar.. EstosEstos problemasproblemas necesariamentnecesariamentee implicanimplican utilizar de la manera más eficienteutilizar de la manera más eficiente loslos
recursos escasos o lograr los requerimientos mínimos solicitados por la sociedad, talesrecursos escasos o lograr los requerimientos mínimos solicitados por la sociedad, tales
como dinero, tiempo, maquinaria, personal, materiales, materias primas, insumos y otros.como dinero, tiempo, maquinaria, personal, materiales, materias primas, insumos y otros.
En síntesis, en unEn síntesis, en un problemaproblema dede OPTIMIZACIONOPTIMIZACION, se busca maximizar o minimizar una cantidad, se busca maximizar o minimizar una cantidad
llamadallamada OBJETIVOOBJETIVO, el cual depende de un conjunto de variables de entrada que pueden ser, el cual depende de un conjunto de variables de entrada que pueden ser
independientes entre sí o estar relacionadas a través de una o másindependientes entre sí o estar relacionadas a través de una o más RESTRICCIONES ORESTRICCIONES O
REQUERIMIENTOS MÍNIMOSREQUERIMIENTOS MÍNIMOS..
1.2.- Programación matemática1.2.- Programación matemática
LaLa Programación MatemáticaProgramación Matemática, aborda el problema de determinar asignaciones óptimas de, aborda el problema de determinar asignaciones óptimas de
recursos limitados o lograr los requerimientos mínimos para cumplir un objetivo determinado,recursos limitados o lograr los requerimientos mínimos para cumplir un objetivo determinado, donde lasdonde las variables novariables no necesariamenecesariamente tienennte tienen exponente unitario.exponente unitario. Un programaUn programa matemátimatemático seco se define como:define como:
Optimización (Z) = F ( XOptimización (Z) = F ( X1,1, XX2,2, XX3,.................,3,................., XXn )n )
Con las condiciones:Con las condiciones: gg 11 (X(X1,1, XX2,2, XX3, …............,3, …............, XX n )n ) bb 11 gg 22 ( X( X1,1, XX2,2, XX3, .................,3, ................., XX nn )) bb 22 gg 33 ( X( X1,1, XX2,2, XX3, .................,3, ................., XX n )n ) ≤≤ bb 33 .................................................................................................... ≥≥≥≥≥≥≥≥ .. .................................................................................................... ======== .. .................................................................................................... .. ggmm ( X( X1,1, XX2,2, XX3, ................,3, ................, XX n )n ) bbmm
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Ejemplo:Ejemplo:
2.- PROGRAMACION LINEAL (PL)2.- PROGRAMACION LINEAL (PL)
La programación lineal es uno de los temas preferidos en la formación del pre grado; laLa programación lineal es uno de los temas preferidos en la formación del pre grado; la capacidadcapacidad de introducir la PL ade introducir la PL a paquetes de software y lapaquetes de software y la amplia gama de aplicaciones, hacen que este temaamplia gama de aplicaciones, hacen que este tema
sea accesible incluso para "sea accesible incluso para "participantes"participantes" concon pocopoco conocimientoconocimiento dede matemáticamatemática.. LaLa
Programación Lineal es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima deProgramación Lineal es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos (restricciones, dificultades, limitaciones) o el logro de ciertos requerimientosrecursos escasos (restricciones, dificultades, limitaciones) o el logro de ciertos requerimientos mínimos (metas a lograrse) que elmínimos (metas a lograrse) que el entorno fija para loentorno fija para lograr un determinado objetivo (deseo).grar un determinado objetivo (deseo). EsteEste
problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40 del siglo XX;problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40 del siglo XX; rraraara
vez una técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas envez una técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas en
negocios militares, comerciales, servicios e industriales y a la vez recibe un desarrollonegocios militares, comerciales, servicios e industriales y a la vez recibe un desarrollo
teórico tan exhaustivo en un período tan corto dado que su madurez llego en los años 50;teórico tan exhaustivo en un período tan corto dado que su madurez llego en los años 50;
een la actualidad la PL es un procedimiento exitoso que encuentra su aplicación práctica enn la actualidad la PL es un procedimiento exitoso que encuentra su aplicación práctica en
inversiones, presupuestos de capital, diseño de contenido de dietas, estudios sociales, publicidad,inversiones, presupuestos de capital, diseño de contenido de dietas, estudios sociales, publicidad, asignación o conservación de recursos, juego de estrategias, canales de distribución, predicciónasignación o conservación de recursos, juego de estrategias, canales de distribución, predicción del crecimiento económico, sistema de transporte y planificación de la producción, además, esdel crecimiento económico, sistema de transporte y planificación de la producción, además, es importante señalar que estudios recientes señalan que las empresas altamente competitivasimportante señalar que estudios recientes señalan que las empresas altamente competitivas destinan entre el 5% y 10% de su tiempo de pdestinan entre el 5% y 10% de su tiempo de procesamiento inrocesamiento informático a modeloformático a modelos de PL.s de PL. UnaUna característica particular es que la PL aborda problemas de programación, donde tanto la funcióncaracterística particular es que la PL aborda problemas de programación, donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursosobjetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos o requerimientos míno requerimientos mínimos SON LINEALES.imos SON LINEALES. Una programaciUna programación matemática es lineal cuaón matemática es lineal cuando:ndo:
Ejemplo:Ejemplo:
3.- METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN: PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL3.- METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN: PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
a)a) IdentificarIdentificar laslas "variable"variables des de decisión"decisión"
X 1 = número de mesas a producirX 1 = número de mesas a producir X 2 = número de anuncios por radioX 2 = número de anuncios por radio
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b) Restricción "b) Restricción " ≥≥ " (Mayor o igual)" (Mayor o igual)
CuandoCuando sese tienetiene unauna restricciónrestricción "Mayor"Mayor oo Igual",Igual", elel ladolado derechoderecho representarepresenta loslos REQUERIMIENTOS MINIMOS DE LAS ESPECIFICACIONES; y, el lado izquierdo el empleo queREQUERIMIENTOS MINIMOS DE LAS ESPECIFICACIONES; y, el lado izquierdo el empleo que se hace de esas especificaciones para las diferentes actividades ó la elaboración de los productosse hace de esas especificaciones para las diferentes actividades ó la elaboración de los productos del modelo.del modelo. Esta desigualdad seEsta desigualdad se vuelve igualdad, añadiendovuelve igualdad, añadiendo una VARIABLE SUPERFLUA conuna VARIABLE SUPERFLUA con signo negativo en el lado izquierdo, que representa el DEFICIT del requerimiento mínimo de lasigno negativo en el lado izquierdo, que representa el DEFICIT del requerimiento mínimo de la especificación con que ingresamos al sistema; por consiguiente ésta variable representa en laespecificación con que ingresamos al sistema; por consiguiente ésta variable representa en la solución básica final lasolución básica final la cantidad EXCEDENTE decantidad EXCEDENTE de dicho requerimientodicho requerimiento.. Ejemplo:Ejemplo:
c)c) RestricciónRestricción "" ="=" (Igual)(Igual)
En este caso para estandarizar la igualdad se debe añadir una VARIABLE ARTIFICIAL con signoEn este caso para estandarizar la igualdad se debe añadir una VARIABLE ARTIFICIAL con signo positivo al lado izquierdo. Ejemplo:positivo al lado izquierdo. Ejemplo:
Nota.-Nota.- A todaA toda igualdad queigualdad que tenga unatenga una "variable superflua" añadir una VARIABLE ARTIFICIAL."variable superflua" añadir una VARIABLE ARTIFICIAL.
Ejemplo:Ejemplo:
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4.2.- COSTOS DE PENALIZACION4.2.- COSTOS DE PENALIZACION
Las variables de Holgura y Superflua no afectan ni a las restricciones ni a la función objetivo; porLas variables de Holgura y Superflua no afectan ni a las restricciones ni a la función objetivo; por
consiguiente éstas variables se incorporan a la fconsiguiente éstas variables se incorporan a la función objetivo estandarizadCERO.CERO. Las variables artificiaLas variables artificiales, sin embargo, cambian la nales, sin embargo, cambian la naturaleza de las restriccioneunción objetivo estandarizado con COEFICturaleza de las restricciones porqueo con COEFICIENTEs porqueIENTE
se agregan a un solo lado de la igualdad. Para garantizar que éstas variables sean "Cero", sese agregan a un solo lado de la igualdad. Para garantizar que éstas variables sean "Cero", se incorpora a laincorpora a la función objetivo estandarizadfunción objetivo estandarizado con:o con: Coeficiente poCoeficiente positivo muysitivo muy grandegrande ( + M( + M ) en ca) en caso deso de MINIMIZACIONMINIMIZACION Coeficiente neCoeficiente negativo muygativo muy grande (grande ( - M )- M ) en casoen caso de MAXIMde MAXIMIZACIONIZACION el valor M, es unel valor M, es un número muy grande que represnúmero muy grande que representa un COSTO SEVERO DEenta un COSTO SEVERO DE PENALIZACIONPENALIZACION en el queen el que se ha incurrido al hacer una asignación unitaria a lasse ha incurrido al hacer una asignación unitaria a las VARIABLES ARTIFICIALES.VARIABLES ARTIFICIALES. Ejemplos:Ejemplos:
4.3.- TABLA SIMPLEX4.3.- TABLA SIMPLEX
Dado un Programa lineal expresado en forma estándar:Dado un Programa lineal expresado en forma estándar:
Entonces la tabla simplex, será:Entonces la tabla simplex, será:
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Ejemplos:Ejemplos:
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PROBLEMA No. 2PROBLEMA No. 2
Laboratorio Bolivianos Farmacéuticos (LABOFAR S.A.), ha concentrado su atención enLaboratorio Bolivianos Farmacéuticos (LABOFAR S.A.), ha concentrado su atención endos productos: tetraciclina (cápsulas) y lasix (comprimidos), a fin de incrementar susdos productos: tetraciclina (cápsulas) y lasix (comprimidos), a fin de incrementar sus
utilidades dada la creciente demanda de los citados productos en los últimos meses.utilidades dada la creciente demanda de los citados productos en los últimos meses. Ambos productos deben pasar por las 3 fases de las que consta la planta productora:Ambos productos deben pasar por las 3 fases de las que consta la planta productora: Requerimiento de tiempoRequerimiento de tiempo (HRs./caja)(HRs./caja)
FasesFases TetraciclinaTetraciclina LasixLasix 1ra fase1ra fase 2da. Fase2da. Fase 3ra. Fase3ra. Fase
2.2 Hrs.2.2 Hrs. 2.5 Hrs.2.5 Hrs. 1.5 Hrs.1.5 Hrs.
1.5 Hrs.1.5 Hrs. 3.0 Hrs.3.0 Hrs. 1.0 Hrs.1.0 Hrs. La planta tiene la siguiente capacidad de operación al día para cada fase: 30 horas paraLa planta tiene la siguiente capacidad de operación al día para cada fase: 30 horas para la primera fase, 40la primera fase, 40 horas para lahoras para la segunda ysegunda y 20 horas para20 horas para la tercera.la tercera. Determinar lasDeterminar las cantidadescantidades dede cadacada productoproducto (cajas)(cajas) aa finfin dede conseguirconseguir lala máximamáxima utilidadutilidad parapara lala compañía, si lacompañía, si la caja de tetraciclina generacaja de tetraciclina genera una ganancia netauna ganancia neta de 4.5 Bs. yde 4.5 Bs. y caja de lasixcaja de lasix
genera un beneficio neto de 4 Bs.genera un beneficio neto de 4 Bs.
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PROBLEMA No. 3PROBLEMA No. 3
El Ministerio de Desarrollo económico y el Plan Bolivia por la lucha contra la pobreza, estánEl Ministerio de Desarrollo económico y el Plan Bolivia por la lucha contra la pobreza, están tratando de determinar el número de anuncios que deberán comprar en cada uno de dostratando de determinar el número de anuncios que deberán comprar en cada uno de dos periódicos de circulación nacional para hacer conocer la Licitación pública MDE/UL-0044/03.periódicos de circulación nacional para hacer conocer la Licitación pública MDE/UL-0044/03. Para dicho cometido, se ha recopilado los siguientes datos:Para dicho cometido, se ha recopilado los siguientes datos: Exposición por anuncioExposición por anuncio PeriódicoPeriódico HOMBRESHOMBRES MUJERESMUJERES CostCost /anuncio/anuncio (Bs.)(Bs.) 11 40.00040.000 30.00030.000 300300 22 40.00040.000 11.00011.000 400400
El ministerio y el Plan Bolivia requieren llegar por lo menos a 160.000 hombres y a 330.000El ministerio y el Plan Bolivia requieren llegar por lo menos a 160.000 hombres y a 330. mujeres a un costomujeres a un costo mínimo.mínimo.
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PROBLEMA No. 5PROBLEMA No. 5
Un EMPRESARIO tiene $us.Un EMPRESARIO tiene $us. 10.000 para invertir, está considerando dos tipos de inversión: bonos10.000 para invertir, está considerando dos tipos de inversión: bonos
y acciones. Después de cony acciones. Después de consultar con su corredor, eldos bondos bonos queos que lele interesaninteresan particularmensultar con su corredor, elparticularmente.te. La utilLa utilidad p (^) idad promedioinversioniinversionista ha escogido dos acciones yromedio en elsta ha escogido dos acciones yen el trimestre quetrimestre que puedepuede
esperar de las inversiones es como sigue:esperar de las inversiones es como sigue: TipoTipo dede inversión:inversión: AcciónAcción 1 1 AcciónAcción 2 2 BonoBono 1 1 BonoBono 2 2 UtilidadUtilidad promedio:promedio: 5%5% 6%6% 3.5%3.5% 4%4% Además su corredor le recomendó muy especialmente que invirtiera por lo menos $us. 4.000 enAdemás su corredor le recomendó muy especialmente que invirtiera por lo menos $us. 4.000 en bonos y no mas de $usbonos y no mas de $us. 3.000 en la acción 2. Este con. 3.000 en la acción 2. Este consejosejo es tomando en cues tomando en cuenta los éxitosenta los éxitos financieros y los riesgos que está dispuesto a correr, de modo que el inversionista se atenga afinancieros y los riesgos que está dispuesto a correr, de modo que el inversionista se atenga a estas limitaciones y requerimientos. Su objetivo esestas limitaciones y requerimientos. Su objetivo es maximizamaximizar lasr las utilidades bajo éstas condicionesutilidades bajo éstas condiciones ¿Cuál es¿Cuál es el planel plan de inversiónde inversión óptimo?óptimo?
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PROBLEMA No. 6PROBLEMA No. 6
Una compañUna compañía deía de transportes disptransportes dispone deone de $ 400.000$ 400.000 para comprapara comprarr nuevo enuevo equipoquipo y considy considera laera la
adquisición de 2 tipoadquisición de 2 tipos de camionetas.promedio 35 milpromedio 35 millas /hr. Su costo es de $ 8.000.las /hr. Su costo es de $ 8.000.s de camionetas. El tipo A puede transportar 10 tonelEl tipo A puede transportar 10 toneladas y se separa que El tipo B tiene capacidEl tipo B tiene capacidad de 20 toneladas y sead de 20 toneladas y seadas y se separa que
esperaespera que promedioque promedio 30 millas/hr su30 millas/hr su costo es dcosto es de $e $ 13:000.13:000. La camionetaLa camioneta tipo Atipo A requiere de unarequiere de una tripulación de un hombre y si opera en 3 turnos por día puede trabajar un promedio de 18 horastripulación de un hombre y si opera en 3 turnos por día puede trabajar un promedio de 18 horas diarias.diarias. El camión tipo B requiere una tripulacEl camión tipo B requiere una tripulación de dos hombres cada uno y en 3 turnos por díaión de dos hombres cada uno y en 3 turnos por día puede trabajarpuede trabajar un promedioun promedio de 18de 18 horas diarias.horas diarias. La Cia. poseeLa Cia. posee una tripulación deuna tripulación de 150 y150 y no tieneno tiene posibilidposibilidadesades dede obtenerobtener más.más. LasLas facilidadesfacilidades dede mantenimientomantenimiento restringenrestringen lala flotaflota aa 30 30 camionetas.camionetas. Se desea saSe desea saber cuántas camiober cuántas camionetas de cada tipnetas de cada tipo debe comprarse sio debe comprarse si la compañíala compañía desea maximizar su capacidad (ton-milla)/día. Considerar la diversificación de los tipos dedesea maximizar su capacidad (ton-milla)/día. Considerar la diversificación de los tipos de camionetascamionetas aa trestres introducieintroduciendondo unauna modificaciónmodificación dede tipotipo BB alal queque llamaremosllamaremos tipotipo C.C. LaLa modificación comodificación consiste en adnsiste en adaptarle una casaptarle una caseta para queeta para que duerma elduerma el chofer lo quechofer lo que reduce sureduce su capacidad a 18 toneladas, eleva su costo a $/15.000 y amplia su capacidad de trabajo a 21capacidad a 18 toneladas, eleva su costo a $/15.000 y amplia su capacidad de trabajo a 21 horas/día trabajado en 3 turnos. Las limitaciones de capital, mantenimiento y personal sehoras/día trabajado en 3 turnos. Las limitaciones de capital, mantenimiento y personal se mantienen invariables.mantienen invariables.
