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IIN INNTTTEEEGGGRRRAAALLL DDDEEEFFFIIINNNIIIDDDAAA
Hemos visto que, por el cálculo diferencial o proceso de derivación, es posible definir con precisión la recta tangente a una curva en un punto. Veremos aquí que es posible definir con precisión el área de una región plana utilizando el concepto de Integral Definida. Si bien estos dos problemas, la recta tangente a una curva en un punto y el área de una figura plana, se resuelven por procesos independientes, ambos están vinculados. Esta vinculación se manifiesta en el Teorema Fundamen- tal del Cálculo Integral, que relaciona el concepto de Derivada con el de Integral Definida, concep- tos que forman el núcleo del Cálculo Diferencial e Integral.
En geometría elemental se deducen fórmulas para calcular el área de ciertas figuras (triángulos, rectángulos, círculos, etc.), pero si reflexionamos un poco, veremos que rara vez se da un def inición aceptable del área.
A veces, se define el área de una región como el número de cuadrados de lado unidad que cabe en la región. Esto es claro si la región es un rectángulo:
En este rectángulo caben 8 cuadraditos cuyo lado es la unidad, y todos sabemos que el área del mismo es A = base x altura = 4x2 = 8
Pero si consideramos que la región es el círculo de radio r = 2, por ejemplo :
Sabemos que su área es A = . r 2 = .2^2 =4 Pero no queda claro en absoluto el significado de que 4 cuadrados caben en esta región
En el caso general, si consideramos una región R como la de la siguiente figura:
Vemos que no sólo es complicado calcular su área, sino que además es dificultoso dar una definición de área
Para “definir” en forma precisa el área, tratemos en principio el problema de “calcular” el área de la
región plana R, limitada por una función continua y positiva , el eje x y las verticales x = a y
x = b:
Dividamos el intervalo cerrado [a , b] en n subintervalos de igual longitud. Si la longitud del interva-
lo [a , b] es igual a b - a entonces la longitud de cada subintervalo será Δx = 0
n
b-a. De ma-
nera que los extremos de estos subintervalos son:
x 0 =a, x 1 = a+ Δx , x 2 = a+ 2 Δx , x 3 = a+ 3 Δx , x 4 =a+ 4 Δx ,.. ., xn = b
A los subintervalos [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , ... , [ xn-1 , xn ] , con x 0 = a y xn = b los podemos simboli-
zar más brevemente con [ x i - 1 , x i ] donde 1 i n.
Ahora tomemos en cada subintervalo [ x i -1 ,xi ] , 1 i n , un punto muestra x * i cualquiera y
formemos el rectángulo cuya base es el intervalito y cuya altura es f ( x * i ), o sea la imagen de x * i
:
Como el área de cada rectángulo es el producto de Δx ( base ) y f ( x * i )( altura ) , se ve que la su-
ma de las áreas de todos los rectángulos nos da una medida aproximada del área de la región R.
Esta suma se puede expresar usando la notación sigma :
f^ ( xi ). x
n i= 1
* = f x x f x x f x x f x x f x x
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( n )
4
3
2
(^) 1 (1)
Sabemos que es continua y positiva en el intervalo cerrado [0 , 1].
Dividamos al intervalo cerrado [0 , 1] en n partes de igual longitud Δx =
n
b-a =
n n
1 -^0 ^1. O sea
que el ancho de los rectángulos es
n
1 y quedan determinados los subintervalos
[ 0 ,
n
1 ] , [
n
n
2 ] , [
n
n
3 ], [
n
n
4 ]... , [
n
n-^1 , 1
n
n ]. Como un punto muestra puede ser
cualquier valor del subintervalo correspondiente, podemos tomar como puntos muestras x * i a los
extremos derechos de cada subintervalo: x 1 * n^1 , x * 2 n^2 , x 3 * n^3 , x 4 * n^4 ,.. ., xn^ * nn.
Como la altura de cada rectángulo es la imagen por de estos puntos, las alturas son:
2 ,..., 42 , 32 , 22 , 12 n
n n n n n
Entonces R n f ( xi ). x
n i= 1
- = n n n n n n nn. n^1 ( 1 )^2.^1 (^2 )^2.^1 (^3 )^2.^1 ...( )^2
=^1.^12 ( 12 22 32 ... n^2 ) n (^) n
=^13 ( 12 22 32 ... n^2 ) n
Utilizando la fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros naturales:
♣ 12 22 32 ... n^2 n ( n ^1 )( 62 n ^1 )
La suma queda 2 6
( 1 )( 2 1 ) 6
3 n
nn n n n
n
Rn ^
Ahora hagamos:
6 2
( 1 )( 2 1 )
^
n n n
n n
n
n
n n
n n
n n
lím lím
lím Rn lím
Y confirmamos que nuestra intuición no falló, el área descripta es 1/3.
Observación importante: Recuérdese que la altura de un rectángulo siempre es positiva, entonces
para que f ( x * i )sea la altura de un rectángulo de aproximación, debe ser positiva en el interva-
lo [a , b]. En otras palabras: sólo si f(x) 0, x a, b , el límite (^) nlím Rn da el valor exacto del
área de la región limitada por la gráfica de la función continua , el eje x y las verticales
x = a y x = b.
Ejercicio: Calcular el área de la región encerrada por la gráfica de f ( x ) x^2 , el eje x, x = 0 y
x = 1, tomando como punto muestra en cada subintervalo el extremo izquierdo del subintervalo. ¿Cuál será el resultado?. ¿ Por qué ?.
El límite (^) nlím Rn = (^) nlím f ( x 1 *) x f ( x * 2 ) x f ( x * 3 ) x ... f ( xn *) x que utilizamos para cal-
cular área aparece en muchas situaciones, incluso cuando la función no es positiva. El mismo se utiliza para calcular longitudes de curvas, volúmenes de sólidos ( como veremos más adelante), centros de masa, trabajo, etc. Es por ello que le damos una definición especial:
Definición: Si es una función continua en un intervalo cerrado [a , b] , dividimos el intervalo
[a , b] en n subintervalos de igual ancho Δx =
n
b-a. Hacemos que a=x
0 ,x 1 , x 2 , ... , xn-1 , xn =b
sean los puntos extemos de estos subintervalos y elegimos x 1 * , x * 2 , x * 3 , …, x * n como los puntos
muestra en estos subintervalos, de modo que x * i se encuentre en el i-ésimo subintervalo
[ xi -1 , xi ]. Entonces la Integral Definida de , desde a hasta b , se define como
a
b ^ f (x) dx =nlím ^ f ( xi ). x
n i= 1
y diremos que es integrable sobre el intervalo cerrado [a , b].
Observación 1 : Como es continua, este límite siempre existe y da el mismo valor independien-
temente de cómo se elijan los puntos muestra x * i.
Observación 2 : Se puede probar que el límite de la definición anterior existe también si la función es acotada y tiene un número finito de discontinuidades en [a , b]. O sea que existe la Integral De-
finida
b a
(x) dx para tales funciones. Si los puntos de discontinuidad son t 0 , t 1 , t 2 , ... , tn-1 ,tn
tales que a < t 0 < t 1 < t 2 < ... < tn-1 <tn < b la integral es igual a
b a
(x) dx =^0
a
t (^) (x) dx +
t 1 t 0
(x) dx +^2
1
t t
(x) dx+... +
b tn
(^) (x) dx
Observación 3 : La integral definida a
b (^) (x) dx , es un número real, positivo, negativo ó cero.
Observación 4 : Si comparamos la definición de Integral Definida con la definición de área dadas,
sólo en el caso en que (x) 0 en [a , b], las sumas R n f ( xi ). x
n i= 1
valor del área de la región limitada por la gráfica de la función continua , el eje x y las verticales
x = a y x = b, y la Integral Definida da el valor exacto de este área.
Nota: El símbolo se llama signo de integral y fue introducido por Leibniz. Es una S alargada y
fue elegida pues la integral es un límite de sumas. En el símbolo a
b (^) (x) dx , a (x) se lo llama
integrando, a y b son los extremos inferior y superior de integración y x se denomina variable
de integración. El símbolo dx carece de significado aisladamente.
Observación 5 : La Integral Definida es un número que no depende de x. Por ello:
n i= 1
i = 1 2 3 ... n n ( n 2 ^1 ) Suma de los n primeros naturales
n i= 1
i^3 =
2
2 13 23 33 ...^3 (^1 )
n ^ nn
Suma de los cubos de los n primeros
naturales
Entonces el límite queda:
3 0
(x^3 - 6x)dx
^
2
2 4
n n
n
nn
n
nlím
^
^2
2 2
n
nn
n
lím nn
n
nlím n n
Esta integral no se puede interpretar como el valor del área de la región limitada por la gráfica de
f(x) x^3 - 6x , el eje x, entre x = 0 y x = 3, porque esta función no es positiva en todo el intervalo
[0 , 3], sino que toma valores tanto positivos como negativos allí. En todo caso se puede decir que esta integral es la diferencia ( área de A 1 - área de A 2 ), siendo A 1 y A 2 como se muestra en la fi- gura:
Propiedades de la Integral Definida
Antes dijimos que tanto las funciones continuas en un [a , b] , como las funciones acotadas y con- tinuas salvo en un número finito de puntos del [a , b] son integrables sobre este intervalo. Las si- guientes propiedades se refieren a todas ellas.
P 1 ) Sean a , b , c ℜ donde a < c < b. es integrable sobre [a , b] si, y sólo si, es integrable
sobre [a , c] y sobre [c , b]. En este caso
a
b ^ (x) dx = a
c (^) (x) dx + c
b (^) (x) dx
P 2 ) Si y g son funciones integrables sobre [a , b] , entonces g es integrable sobre [a , b]
y además:
a
b ^ [^ (x) dx^ ^ g (x) ] dx = a
b (^) (x) dx a
b (^) g (x) dx
P 3 ) Si es integrable sobre [a , b] y c ℜ cualquiera, entonces c es integrable sobre [a , b]
y además:
a
b ^ c^ (x) dx = c a
b (^) (x) dx
En particular a
b (^) - (x) dx = - a
b (^) (x) dx.
Ejemplo:
1 0 5x^2 dx = 5
1 0 x^2 dx = 5.(1/3) = 5/
P1, P 2 y P 3 valen también si a b.
P 4 ) Si es integrable sobre [a , b] , entonces es integrable sobre cualquier [c , d] tal que
[c , d] [a , b].
P 5 ) Si es integrable sobre [a , b] , entonces
a
b (^) (x) dx a
b (^) (x) dx
P 6 ) Sean y g integrables sobre [a , b] tales que (x) g (x) en [a , b] , entonces
a
b ^ (x) dx^ a
b (^) g (x) dx
(en particular: si (x) 0 en [a , b]
a
b (^) (x) dx 0 )
P 7 ) Si es integrable sobre [a , b] y m (x) M x [a , b] , entonces
m (b - a) a
b (^) (x) dx M (b - a). En particular: m y M pueden ser ínfimo y supremo de en
[a , b]. Además si es continua , m y M pueden ser el mínimo y el máximo de en [a , b].
Otra definición de Integral Definida
De la definición de Integral Definida a
b (^) f (x) dx =nlím ^ f ( xi ). x
n i= 1
^ * se desprende que en la suma
de Riemann f ( xi ). x
n i= 1
- cuando n tiende a ∞, Δx tiende a 0.
Hay situaciones en que es más apropiado subdividir al intervalo cerrado [a , b] en n subintervalos de
distinta longitud. Si designamos con Δx 1 , Δx 2 , Δx 3 , Δx 4 ,... , Δxn a las longitudes de estos subinter- valos, debemos asegurarnos que, en el proceso del límite, estas longitudes tiendan a 0. Esto se consigue si el ancho más grande, que se simboliza con máx Δxi , tiende a 0. En este caso la defini- ción de Integral Definida queda:
a
b ^ f (x) dx = máxlím x^ f xi xi i
^
n i= 1
0
Nota: Existe otra definición de Integral Definida que en las sumas de Riemann considera como puntos muestra los extremos izquierdos de cada subintervalo y luego toma el supremo de estas
El miembro central de la doble desigualdad, , es un valor numérico comprendido entre el mínimo
y el máximo absoluto de en [a , b]. Como es continua en [a ,b] , entonces es la imagen
de algún c. Es decir, existe c (a , b) / (c) = .
O sea: c (a , b) / (c) =^1
b - a a
b (^) (x) dx , que es lo que queríamos demostrar.
Este teorema tiene una interesante interpretación geométrica si f(x) 0, x a, b :
Analicemos la igualdad (c) (b - a) =
a
b (^) (x) dx. Como f(x) 0, x a, b , el miembro de la derecha representa el área de la región encerrada por el gráfi-
co de , el eje x
y las verticales x = a y x = b. Por otro lado, el miembro de la izquierda representa el
área de un rectángulo de base (b - a) y altura (c).
Es decir el Teorema afirma que, si es continua en [a , b] y en particular mayor ó igual que
cero en [a , b] , existe un c (a , b) tal que su imagen (c) es la altura de un rectángulo de ba-
se (b - a) cuya área es igual a la de la región encerrada por la gráfica de , el ejex
y las vertica- les x = a y x = b.
Observación : aunque en el gráfico dado pareciera que c equidista de a y de b , esto sucede
sólo a veces y depende de la función en particular. Idem para (c), m y M.
Función Integral
Hasta ahora, el concepto de Integral Definida ha aparecido desvinculado del concepto de derivada. Ya hemos comentado que si bien históricamente ambos aparecieron por caminos diferentes, bus- cando resolver problemas diferentes, existe una íntima conexión entre ambos conceptos. Newton y Leibniz fueron los primeros en relacionar estos conceptos fundamentales, lo cual se pone de mani- fiesto en el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.
Antes de ver este teorema, consideremos la siguiente situación:
Sea una función continua en cierto [a , b]. Entonces, sabemos que existe
a
b (^) (x) dx.
Consideremos ahora que el límite inferior de integración, a , es fijo y que el límite superior b es va- riable en [a , b]. Entonces la integral es función de su límite superior. Designemos a este límite
superior con x (que para nosotros denota generalmente una magnitud variable), y pongamos (t)
dt en vez de (x) dx para evitar confusiones.
Queda así definida la función: F(x) = a
x (^) (t) dt , x [a , b]
pues x [a , b] , existe a
x (^) (t) dt ( si es integrable sobre [a , b], entonces lo es sobre
[a , x] [a , b] ) y este valor real es único. En otras palabras, F asigna a cada x [a , b] un único
número real que es a
x (^) (t) dt. A F(x) la llamaremos función integral.
Teorema Fundamental del Cálculo Integral : Si es una función continua en un in-
tervalo [a , b] y F(x) = a
x (^) (t) dt , se verifica que F’(x) = (x) para todo x [a , b].
Este teorema expresa que si primero integramos y luego derivamos el resultado, volvemos a la
función original
Demostración: Por lo visto antes de este teorema, la continuidad de en [a , b] asegura la exis-
tencia de la función integral F(x) = a
x (^) (t) dt.
Para calcular la derivada de F(x) , en cierto x [a , b] (en a y b se consideran derivadas latera-
les), busquemos primero su cociente incremental
F x
y luego calculemos su límite cuando x 0.
Sea x [a , b]. Demos a partir de él, un incremento x (el cual puede ser positivo o negativo):
F(x + x) = a
x+ x (^) (t) dt
Lo cual podemos expresar, usando la propiedad P 1 : F(x + x) = a
x (^) (t) dt + x
x+ x (^) (t) dt ,
para x > 0 ó x < 0.
F = F(x + x) - F(x) = a
x (^) (t) dt + x
x +x (^) (t) dt - a
x (^) (t) dt
F = x
x +x (^) (t) dt
Como es continua en [a , b] es continua en cualquier intervalo [x , x + x] ó [x + x, x]
(según sea x > 0 ó x < 0 ) se verifica el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Es decir, existe un c (x , x + x) (ó c (x + x , x) ) tal que:
(c) =^1
x + x - x x
x+ x (^) (t) dt
(verificar que esta expresión no cambia si x >0 ó x < 0 ).
(c) =^1 x (t) dt
F
x
x + x
(^)
, para algún c entre x y x + x
(c) =
F x
, para algún c entre x y x + x
Aplicando límite cuando x 0 en ambos miembros de la igualdad:
La regla de Barrow nos indica que, para evaluar la integral definida a
b (^) (x) dx de una función
continua basta conseguir una función G cuya derivada coincida con en [a , b] y hacer la
cuenta G(b) - G(a). Indicaremos la cuenta G(b) - G(a) conG(x)ba
Ejemplo : Calculemos las siguientes integrales definidas:
a)
1
x^2 dx. Aquí es (x) = x^2. Revisando la regla de derivación de una potencia, la función
G(x) =
x^3 es tal que su derivada G’(x) =
3 '^22
x x x (x). Entonces
1
x^2 dx =
1
0
3
x
=
=
=^1
-^0
Como (x) = x^2 es mayor o igual a cero en [0,1], la integral definida hallada mide el área de la re-
gión encerrada por la gráfica de , el eje x, x=0 y x=1. Recordemos que habíamos obtenido por
definición el valor de esta integral.
Observación : Cuando uno busca G, trata de encontrar la más “sencilla” cuya derivada sea . Re-
cordemos una consecuencia del teorema de Lagrange: si y g son continuas en [a , b] y deriva-
bles en (a , b) y ’(x) = g ’(x) x (a , b) entonces (x) = g (x) + k, x [a,b]. Es decir, si
y g tienen igual derivada, entonces se diferencian en una constante.
Entonces podríamos haber exhibido G(x) =
x^3 +1, pues su derivada también es (x) y aplicar la
Regla de Barrow. Esto hace un poco más largas las cuentas, pero el resultado es el mismo:
1
x^2 dx =
1
0
3
x
1 =^1
1 -^0
¿ Qué otras funciones G cumplen con que su derivada coincide con ?.
b)
0 (^) x^3 dx .la función G(x) =
x 4
4
es tal que su derivada G’(x) =
x x (x). Entonces
0 ^ x^3 dx =
x 4
4
^0
=^04 - (-1) 4 = - (^14)
4 4 .
Aquí la función (x) = x^3 es negativa en el intervalo [-1,0], por lo que el valor de la integral no mide
el área entre su gráfica y el eje x desde x=-1 hasta x=0.
c) 0
/ (^) cos x dx = sen x 0
/ = sen 2 - sen 0 = 1
d)
2 (^) sen x dx = - cos x 0
2
= - cos 2 - (- cos 0) = -1 + 1 = 0
Como la función sen x es positiva en [0, ], y negativa en [, 2 ], la integral no mide el área ence-
rrada por su gráfica y el eje x, entre x=0 y x=2. Lo que hace es la resta ( A 1 – A 2 ) , donde A 1 es el
área de la región que está por encima del eje x y A 2 es el área de la región que está por debajo de éste. Como las áreas A 1 y A 2 son iguales, el resultado da 0 al efectuar la resta.
Observación : Es fácil ver que - cos x
0
2 = - cos x
0
2 , por lo que podríamos haber resuelto:
2 ^ sen x dx = - cos x
0
2 = - cos x
0
2 = - ( cos 2 - cos 0) = 0
Ejemplo : Calculemos el área de la figura plana encerrada por:
a) (x) = 2 x , el eje x
entre x = 1 y x = 3
La figura de la izquierda muestra la región plana corres-
pondiente. Como es positiva entre x = 1 y x = 3, esta-
mos seguros de que la integral 1
3 (^) 2 x dx nos va a dar el área pedida.
Tomemos G(x)=x^2 ya que su derivada es (x) = 2 x.
A = 1
3 (^) 2 x dx = x^2 1
3 = 3^2 - 1^2 = 8 u.a.
Observación : Se entiende este resultado como 8 unidades de área, independientemente de la escala utilizada en los ejes coordenados.
b) (x) = sen x , eje x
en [0 , ] También sen x es positiva en el intervalo dado, entonces el área pedida está dada por: A = 0
(^) sen x dx = A = - [ cos - cos 0 ] = - [- 1 - 1] = 2 u.a.
Vamos a dejar para más adelante el cálculo de áreas más complicadas como, por ejemplo, las de regiones limitadas por funciones que no siempre son positivas en el intervalo considerado. Además,
es evidente que hay funciones para las cuales no es tan sencillo encontrar la función G que cum-
pla G’(x) = (x) : ¿ cómo calcular la integral
1
3 (^) x^2. sen x dx ?. Nos dedicaremos ahora a encontrar
mecanismos para resolver este tipo de integrales.
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Dada una función (x) continua en cierto [a , b] nos proponemos ahora encontrar una función F(x)
también continua en el mismo conjunto, tal que su derivada sea (x): F’(x) = (x).
sen x dx = - cos x + k pues (-cos x)’ = -(-sen x) = sen x
cos x dx = sen x + k pues (sen x)’ = cos x
^1
x
dx = ln x + k pues (ln x)’ =^1 x
^1
1 - x 2
dx = arcsen x + k pues (arcsen x)’ =^1 1 - x 2
1 1 + x 2
dx = arctg x + k pues (arctg x)’ =
1 1 + x 2
ch x dx = sh x + k pues (sh x)’ = ch x
^1
x - 1
2 dx^ ^ arg^ ch x + k = ln ( x +^ x^2 ^1 )k
Así podríamos hacer una tabla de integrales, ayudándonos con la tabla de derivadas. Por supuesto
que esto no resuelve el problema de calcular, por ejemplo, 1
3 (^) x^2. sen x dx.
Veamos primero dos propiedades que ayudan al cálculo de integrales indefinidas.
Propiedad 2: Si y g son dos funciones continuas en un dominio D, F es una primitiva de y
G es una primitiva de g en D, entonces F ± G es una primitiva de ± g en D En símbolos:
^ (^ ±^ g ) = F ± G + k. =^ ^ g
Esta afirmación se extiende a un número finito de funciones.
Propiedad 3 : Si es una función continua en un dominio D, c un número real y F una primiti-
va de en D, entonces c F es una primitiva de c en D. En símbolos c = c F + k = c
Integración por Descomposición
Son integrales que se resuelven empleando las tres propiedades anteriores.
Ejemplo 1 : (x^6 + sen x - 2 ex^ ) dx = x^6 dx + sen x dx + - 2 ex^ dx
= x^6 dx + sen x dx - 2 ex^ dx =x
7
7
Ejemplo 2 : (x1/4^ + x7/2^ )^2 dx = [ (x1/4^ )^2 + 2 x1/4^ x7/2^ + (x7/2^ )^2 ] dx
= (x1/2^ + 2 x15/4^ + x^7 ) dx
= x1/2^ dx + 2 x15/4^ dx + x^7 dx
= x 1 2
21 + 1^154 + 1^8
= x +k
x +^1
x +^8
Ejemplo 3 :
x-^2 x
dx
^3
(^) = x
x
dx
^3
=
dx
x
x -^4 - 4 +^2
= x-4^ dx + 2^1
x
dx =
^1 x-3^ + 2 ln x + k
Método de sustitución
En general el método de sustitución resuelve integrales del tipo [ g (x) ]. g ’(x) dx (1)
Si se conoce una primitiva F de o sea que F’(x) = (x) entonces la integral (1) tiene resultado:
^ [^ g (x) ]^.^ g ’(x) dx = F[^ g (x)] + k
Este resultado se puede comprobar derivándolo mediante la regla de la cadena:
(F[ g (x) ] +k)’ = F’ [ g(x) ]. g ’(x) = [ g (x) ]. g ’(x).
El camino usual para resolver la integral (1) es hacer el “cambio de variable” o la “sustitución” :
u = g (x) (2)
donde u es la función más interna de la composición [ g (x) ].
El diferencial de (2) es du = g´ (x) dx. Entonces la integral (1) queda:
^ [^ g (x) ]^.^ g ’(x) dx =^ [ u ]^.^ du = F(u) + k
Luego reemplazando “u” por g (x) para volver a la variable original:
^ [^ g (x) ]^.^ g ’(x) dx =^ [ u ]^.^ du = F(u) + k =^ F[^ g (x)] + k
Ejemplo 1 : (x + 5 x) (2x+5)dx
(^5) '
2 5
g g
Hagamos el cambio de variable, llamando u = g (x) (función más interna): u = x^2 + 5 x
du = (2 x + 5) dx (1)
Si reemplazamos en la integral, queda u^5 du. También podemos despejar dx de (1):
A veces en el integrando [ g (x) ]. g ’(x) es posible que g ’(x) no aparezca “completa”. Si lo que
falta de ella es una constante, igual se puede aplicar el método de sustitución:
Ejemplo 5 : Calcular la integral 3 x 2 dx. Si consideramos que f ( g ( x )) 3 x 2
f ( x ) x y g ( x ) 3 x 2 , resulta que g ´( x ) 3 y esto no figura bajo el signo integral. Veamos
que esto no es un problema y planteemos igual la sustitución u 3 x 2 ,
du 3 dx dx du.
Reemplazando en la integral:
x dx x k
x dx u du u du u k u k
23
(^223) 3 21
(^13)
31 23
21 21
Veamos cómo se resuelve una Integral Definida por sustitución:
Ejemplo 6 : Supongamos que debemos calcular x dx
5
2 3 2. , Una manera es resolver la inte-
gral indefinida 3 x 2 dx y luego aplicar la Regla de Barrow. Del ejercicio anterior tenemos que
la integral indefinida resultó x dx x 2 k
3
3 2 133 2 , entonces:
3 2 3 2 ^ ^ 3. 5 2 ^ 3. 2 2 ^ ( 17 82 ) 23 23 23 23 3 31 31 31
5 (^132) 5
2 x dx x
La otra forma es aplicar la sustitución en la misma integral definida, con lo cual no es necesario vol-
ver a la variable original. En base a la sustitución u 3 x 2 encontramos los nuevos límites de in-
tegración: si x=2 →u=8, si x=5 →u=17:
3 2 ( / 2 ). ( 17 82 ) 21 23 23 23 3 31
17 31 8
17
(^28)
(^23)
(^171) (^28)
(^171) 8
5
x ^ dx u du u du u u
El método de sustitución se puede aplicar en ciertas integrales en las que el integrando tiene una forma particular:
- Integración de funciones racionales de la forma
dx a x 2 + b x + c
En este caso también empleamos el método de sustitución. No analizaremos si el polinomio a x^2 + b x + c con a, b, c en R tiene raíces reales o complejas, sólo observaremos si es completo o no.
i) Si no es completo, en particular nos interesan las integrales del tipo
dx a x 2 + c con c 0.
Veamos cómo procederemos.
Ejemplo 1 :
dx 2 x 2 + 3
Como sabemos que la
dx
1 + x 2
tiene a arctg x como primitiva inmediata, trataremos de llevar
a esta forma, la integral dada, haciendo un cambio de variable.
Entonces I =
dx
2 x 2 + 3
=
x + 1
dx
=^1
3 2 x
dx
2 2
Si u =
2 3 x du =
2 3 dx dx =
3 2 du , reemplazando tenemos:
I =
1 3
3 2
du
u + 1
=
1 3
3 2
du u + 1
=
1 3
.
1 2
Arctg u + k =
1 6
Arctg
2
2 2 3 x + k
ii) Si es incompleto de la forma a x^2 + b x ó completo, se procede de la misma forma.
Ejemplo 2: dx x 2 + x
Utilizando el método de completar cuadrados tenemos: x^2 + x = x + 1 2
^
2
dx
x + 1 2
=
dx
1 4
x + 1 2 1 4
= 4
dx
x +
1 2 1 2
^2 ^
^
^
Ahora hacemos
x +
1 2 1 2
= 2 x + 1 2
= 2 x + 1 = u entonces 2 dx = du dx =du 2
.
Volviendo a la integral tenemos:
I= 4
du 2 u - 1
= 4 2
du u - 1
= - 2 du
2 2 1 - u^2
= -2 Argth u + k = -2 Argth (2 x +1)+ k
Las integrales de la forma
dx
a x 2 + b x + c
tienen como primitivas inmediatas, previo cambio de
variables, a la función trigonométrica inversa arcotangente o a la función hiperbólica inversa argu- mento tangente hiperbólica.
