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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA E INVESTIGACIONES TECNOLÓGICAS
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
TALLER DE PRECÁLCULO
APUNTES TEÓRICOS
JEFA DE CÁTEDRA: ING. ISABEL WEINBERG
APUNTES PREPARADOS POR LA LIC. NORMA SARTOR
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Apunte teorico de precalculo, Apuntes de Análisis Matemático
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TALLER DE PRECÁLCULO APUNTES TEÓRICOS
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 31
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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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JEFA DE CÁTEDRA: ING. ISABEL WEINBERG
APUNTES PREPARADOS POR LA LIC. NORMA SARTOR
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES: ( N )
Surgen del concepto de cardinal de un conjunto. En él se pueden realizar operaciones de adición y multiplicación. No siempre se pueden resolver las restas y divisiones. N = {0, 1, 2, 3, 4,...........,+∞}
CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS: ( Z )
Surgen como necesidad de dar solución a la resta de Números Naturales. Se crean por lo tanto, a los números opuestos a los naturales (negativos). El conjunto de números positivos y negativos nos da el conjunto de Números Enteros. En él se pueden realizar sin dificultad las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. No siempre se pueden realizar divisiones. Z= {-∞; .....;-2; -1; 0; 1; 2; .......; +∞}
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES: ( Q )
Surgen como necesidad de dar solución a la división de Números Enteros. Por lo tanto se crea la fracción que representa la división entre dos números enteros que no tiene resultado exacto. La fracción se la puede expresar también como número decimal, que podrá ser exacto o periódico. El conjunto de las fracciones o números decimales junto con el conjunto de Números Enteros nos da el conjunto de Números Racionales. En él se pueden realizar las cuatro operaciones fundamentales y las potenciaciones. No siempre se pueden resolver radicaciones. Ej: ¾; -1/5; 6; -7; 12/3; etc
CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: ( I ) Está formado por todos lo números decimales que no son ni exactos ni periódicos. Incluimos todas las raíces de números racionales no exacta. Ej: √2; 3 √5; π; e; 5 √4/3; etc.
CONJUNTO DE NÚMEROS REALES: (R) Está formado por la unión de los conjuntos de los números Racionales e Irracionales. En él se pueden realizar todas las operaciones, menos las raíces de índice par de radicandos negativos. Q ∪∪∪∪ I = R Q ∩∩∩∩ I = φφφφ
Regla de signos para la radicación:
- Si el radicando es positivo y el índice par, el resultado es positivo o negativo. (Por lo general consideramos para operar siempre el primero). En cambio si el índice es impar el resultado es siempre positivo.
- Si el radicando es negativo y el índice impar, el resultado es negativo. Si el índice es par, no tiene solución dentro de los Reales. La solución es un número que pertenece al conjunto de los imaginarios. Ej: √16 = +4 ó –4 3 √-8 = - (^3) √8 = +2 √-16 = +4i ó –4i ∈ Imaginarios.
FUNCIÓN LINEAL
Es la función que tiene asociada un polinomio de primer grado, cuya representación gráfica corresponde a una recta. Su ecuación es: f(x) = mx + b donde m representa la pendiente de la recta (m > 0, función creciente; m < 0, función decreciente), y b el valor de la ordenada al origen ( f(0) ). Para graficar una función lineal marcamos el valor de la ordenada al origen y a partir de dicho punto marcamos el punto que corresponde a la pendiente (∆y/∆x)
∆x
b α ∆y
Ecuación de la pendiente: Dados dos puntos P 1 =(x 1 ;y 1 ) P 2 =(x 2 ;y 2 ), decimos que la recta que pasa por dichos puntos tiene pendiente equivalente a la tangente del ángulo de inclinación que determinan: pendiente ( m ) = tg α = ∆y/∆x
2 1
2 1 x x
y y m −
Ecuación de la recta que pasa por un punto: Conocida la pendiente a y las coordenadas del punto ( x 1 , y 1 ) , en base a la ecuación anterior podemos escribir: y = m (x – x 1 ) + y 1 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Conocidas las coordenadas de los dos puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), y en base a las dos ecuaciones anteriores, podemos expresar:
y = 2 1
2 1 x x
y y −
(x – x 1 ) + y 1
Otras formas de expresar la función lineal: Forma explícita o polinómica: f(x) = y y= mx + b Forma implícita: f(x,y) = 0 mx + b – y = 0
Forma segmentada: + = 1 q
y p
x donde p es la intersección con el eje X (0; p )
q es la intersección con el eje Y (0, q )
Distancia entre dos puntos: Representa la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por las coordenadas de dichos puntos. Por lo tanto resulta: P 2 y 2
dp1p2 = ( x (^) 2 − x 1 ) 2 +( y 2 − y 1 )^2 y 1 P 1
x 1 x 2
Punto medio de un segmento: Tiene por coordenadas la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Es decir:
PM (^) p1p2 = (^)
x 1 x 2 y 1 y 2
Condición de paralelismo y perpendicularidad: Dos rectas son paralelas si tienen las misma pendiente, y son perpendiculares si sus pendientes son opuestas e inversas. Paralelas: m 1 = m 2 Perpendiculares: m 1 = -1/m 2 o bien m1. m 2 = - 1
Intersección entre dos rectas: Representa el punto de coordenadas por donde pasa ambas rectas. Se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por dichas funciones. El sistema puede dar origen a tres tipos de situaciones:
- RECTAS CONCURRENTES: Son aquellas rectas que se cortan en un punto. El sistema formado por ambas ecuaciones se llama COMPATIBLE DETERMINADO, puesto que tiene una sola solución que es el punto de intersección entre ambas.
- RECTAS COINCIDENTES: Son aquellas donde sus ecuaciones representan a la gráfica de una misma recta. En este caso cada punto de la recta es la solución del sistema. Por lo tanto se llama COMPATIBLE INDETERMINADO.
- RECTAS PARALEAS: son aquellas que tienen la misma dirección y diferente ordenada al origen, es decir distinto término independiente, no son coincidentes. Por lo tanto no se cortan, el sistema no tiene solución. Se llama INCOMPATIBLE.
R 1 m 1 x + b 1 = y R 2 m 2 x + b 2 = y
R 1 S=∞ R 1 R 1 //R 2
S.C.D S.C.I. S={}
y 1 R 1 =R 2 R 2 S.I. R 2 x 1 S = {( x 1 ,y 1 ) }
Estudio de la función lineal : El dominio y la imagen son todos los números reales, salvo en la función constante donde la imagen es el valor de dicha constante. La ordenada al origen representa el punto de intersección con el eje de ordenadas y corresponde al término independiente ( f(0)) y el cero es la solución de la ecuación asociada a dicha función (f(x) = 0), representando el punto de intersección con el eje de abscisa. El crecimiento o decrecimiento está determinado por el signo de la pendiente de la ecuación.
FUNCIÓN MÓDULO
f: R R+
x x ≥≥≥≥ 0 f(x): y = | x | =.
- x x < 0
y=-x y=x
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es la función que tiene asociada un polinomio de 2° grado, cuya representación gráfica corresponde a una parábola. Sus ecuaciones son:
Forma polinómica o explícita : f(x) = ax^2 + bx + c donde a representa la concavidad (a>0 positiva, a<0 negativa) y c el valor de la ordenada al origen
Forma factorizada : f(x) = a (x-x 1 ) (x-x 2 ) donde x 1 y x 2 representan los ceros de la función (abscisa al origen, intersección con el eje x)
Forma canónica : f(x) = a (x-xv) + yv donde xv e yv representan las coordenadas del vértice.
Para graficar la función marcamos cinco puntos:
- (0, c ) ordenada al origen (intersección con el eje Y)
- ( x 1 ,0) y ( x 2 ,0) abscisas al origen (intersecciones con el eje X), que los obtenemos resolviendo la ecuación de 2° grado. Si es completa utilizamos la fórmula resolvente:
a
b b ac x 2
− ±^2 − 4
- ( xv;yv ) coordenadas del vértice, donde a
b xv 2
= o bien 2
x x^1 x^2 v
= e yv = f(xv)
- el punto simétrico de la ordenada al origen respecto al eje de simetría x = xv
Ejemplo: f(x) = x^2 – 4x + 3
-2 2 4 6
1
2
3
4
5
6
Estudio de la función cuadrática:
- Dominio por ser una función polinómica, son todos los Reales
- Imagen: si a > 0 ( yv;+ ∞∞∞∞ ) si a < 0 (- ∞∞∞∞ ; yv )
- Ord. al origen: (0; c ) Ceros: ( x 1 ;0) ( x 2 ;0)
- Si a > 0, Punto máximo: no tiene Punto mínimo: ( xv ; yv ) Si a < 0, Punto máximo: ( xv ; yv ) Punto mínimo: no tiene
- Vértice: ( xv ; yv ) Eje de simetría: x = xv
- Intervalo de positividad: f(x) > 0 Intervalo de negatividad: f(x) < 0
- Si a > 0, concavidad positiva: Reales concavidad negativa: no tiene
Si a < 0, concavidad positiva: no tiene concavidad negativa: Reales
Ejemplo: en la función f(x) = x^2 – 4x + 3 Dm: Reales Im: (-1,+∞) Ord. al origen: (0,3) Ceros: (1,0) y (3,0) Eje de simetría: x = 2 Vértice (punto mínimo): (2,-1) Simétrico de la ord. al origen: (4,3) Intervalo de positividad: (-∞;1) ∩ (3,+ ∞) Intervalo de negatividad: (1;3) Es cóncava positiva
Propiedad de las Raíces:
- La función cuadrática puede tener dos raíces, una raíz doble o ninguna, esto depende del valor del discriminante b^2 -4ac :
- b^2 -4ac > 0: la función tiene dos raíces reales, por lo tanto corta al eje X en dos puntos
- b^2 -4ac = 0 : la función tiene una raíz doble, por lo tanto el vértice se encuentra sobre el eje X
- b^2 -4ac < 0: la función no tiene raíces reales, la función no corta al eje X
- La ecuación de segundo grado normalizada la obtenemos dividiendo todos los términos por a ,
nos quedaría de esta forma: 2 + + = 0 a
c x a
b x , donde x 1 x 2 a
b = +
y x 1. x 2 a
c
- Si b= 0, la ecuación quedaría incompleta, ax^2 +c= 0, en este caso las raíces son simétricas, es decir, x 1 = -x 2 , donde la función asociada a esta ecuación tiene como eje de simetría al eje Y, y como vértice la ordenada al origen.
- Si c= 0, la ecuación incompleta quedaría ax^2 +bx= 0, donde siempre x1= 0 y x 2 =-b/a, por lo tanto un brazo de la función asociada a dicha ecuación pasa por el origen de coordenadas
Intersección entre una recta y una parábola: Las posiciones relativas entre una recta y una parábola son las siguientes:
- Recta secante a la parábola: Es cuando la intersecciona en dos puntos
- Recta tangente a la parábola: Es cuando la intersecciona en un punto
- Recta exterior a la parábola: Es cuando no tienen puntos en común, no se cortan.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1.- ADICIÓN: Para sumar dos o más polinomios, escribimos el primero en forma ordenada y completa. Debajo ubicamos los términos del segundo polinomio respetando los grados del primero. A continuación ubicamos los términos del tercer polinomio y así sucesivamente respetando siempre las columnas de los grados del primero. Por último procedemos a sumar columna por columna. Ej: Sumamos de los ejemplos anteriores D(x) + C(x) + B(x) -3x^5 + 2x^4 + 0x^3 + 6x^2 – 7x + 0 6x^2 – 2x + 1 7x^3 - 2x^2 -3x^5 + 2x^4 + 7x^3 +10x^2 – 9x + 1
OTRA FORMA: Podemos escribir un polinomio a continuación del otro y luego agrupar y sumar los términos de igual grado: ( -3x^5 +2x^4 +6x^2 -7x) + (6x^2 –2x +1) + (7x^3 –2x^2 ) = = -3x^5 + 2x^4 + 7x^3 + (6 + 6 – 2) x^2 + (-7 – 2) x + 1 = -3x^5 + 2x^4 + 7x^3 +10x^2 – 9x + 1
2.- SUSTRACCIÓN: Para restar dos polinomios, al primero se le suma el polinomio opuesto del segundo, es decir, se le cambian de signo a todos los términos del segundo polinomio. Ej: De los polinomios anteriores resolvemos D(x) – E(x)
-3x^5 + 2x^4 + 0x^3 + 6x^2 – 7x + 0 +5x^4 -3x^2 - 1 -3x^5 + 7x^4 + 0x^3 +3x^2 – 7x – 1
OTRA FORMA: Podemos escribir un polinomio a continuación del otro, suprimimos los términos, luego agrupamos y sumamos los de igual grado: ( -3x^5 +2x^4 +6x^2 -7x) – (3x^2 –5x^4 + 1) = = -3x^5 +2x^4 +6x^2 -7x - 3x^2 +5x^4 – 1 = -3x^5 + (2 + 5)x^4 + (6 – 3) x^2 -7x – 1 = -3x^5 + 7x^4 +3x^2 – 7x – 1
3.- MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar dos polinomios, escribimos uno debajo del otro. Comenzamos multiplicando el último término del segundo polinomio por cada término del primero colocando los resultados en la tercera fila. ( Cuando multiplico dos términos, recuerden que lo hacemos resolviendo el producto entre los números por un lado y entre las letras por el otro. Al multiplicar las letras , sumamos sus exponentes.). Luego multiplicamos el anteúltimo término del segundo polinomio por todos los términos del primero, ubicando estos segundos resultados parciales debajo de los anteriores respetando los grados. Seguimos así hasta terminar con todos los términos del segundo polinomio. Por último, realizamos la suma algebraica de todos los resultados parciales. 6x^2 –2x + Ej: Multiplicamos C(x) por B(x) 7x^3 –2x^2 -12x^4 + 4x^3 –2x^2 63x^5 – 14x^4 + 7x^3 63x^5 – 26x^4 + 11x^3 –2x^2
OTRA FORMA: Podemos escribir un polinomio a continuación del otro y luego aplicamos la propiedad distributiva, realizando al final la agrupación y suma de términos de igual grado. (6x^2 –2x +1).( 7x^3 –2x^2 ) = = 42 x^5 -12 x^4 -14 x^4 + 4 x^3 + 7x^3 – 2 x^2 = 42 x^5 – 26 x^4 11x^3 –2x^2
PRODUCTOS ESPECIALES
BINOMIO AL CUADRADO: “Es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.”
(a + b)^2 = a^2 + 2.a.b + b^2
BINOMIO AL CUBO: “Es igual al cubo del primer término, mas el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.
(a + b)^3 = a^3 + 3.a^2 .b + 3.a.b^2 + b^3
PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS: “Es igual al cuadrado del primer término por el cuadrado del segundo término”.
(a + b).(a – b) = a^2 – b^2
EJEMPLOS: (3x^3 +2x)^2 = (3x^3 )^2 + 2.3x^3 .2x + (2x)^2 = 9x^6 + 12x^4 + 4x^2
(2x –3)^3 = (2x)^3 + 3.(2x)^2 .(-3) + 3.2x.(-3)^2 + (-3)^3 = 8x^3 + 3.4x^2 .(-3) + 3.2x.^9 + (-27) = 8x^3 - 36 x^2 + 54x - 27
(4x^3 +5x^2 ). (4x^3 – 5x^2 ) = (4x^3 )^2 – (5x^2 )^2 = 16x^6 - 25x^4
4.- DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios, colocamos el polinomio dividendo en forma ordenada y completa. El divisor deberá estar simplemente ordenado. Buscamos el cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor. Lo multiplicamos por cada término del divisor y lo ubicamos debajo del dividendo en forma ordenada (respetando los grados) con signo cambiado para realizar la resta. Una vez que hicimos la suma algebraica, nos fijamos que este resultado parcial tenga mayor o igual grado que el divisor. En caso afirmativo comenzamos del principio, buscando el cociente entre el primer término de este resultado parcial y el primer término del divisor. Si el grado del resultado parcial es menor que el divisor, entonces ha concluido la división.
Ej: Dados A = 4x^4 + 8x^2 – 6x + 7 y B = 2x^2 – x + 2 Hallar A:B
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio es transformar su expresión que está dada en forma de suma algebraica en el producto de factores.
1º CASO DE FACTOREO: FACTOR COMÚN.
Debemos buscar factores (números, letras o paréntesis) que tengan en común todos los términos del polinomio.
- Números: Debe ser el divisor común mayor entre todos los números de los términos del polinomios. Otra forma de encontrarlo el tomar el menor de todos, si éste es divisible por los demás es el factor común, sino buscamos divisores de este número que sea divisible por los demás.
- Letras: Deben estar en todos los términos, si tienen potencias será el que tenga menor exponente.
- Paréntesis: Debe estar en todos los términos, si tiene exponente será el que tenga el menor. Una vez que encontramos el o los factores en común, dividimos cada término del polinomio por esta expresión. El resultado de la factorización es el producto entre el factor común y este cociente.
EJ: 25 x^2 y^3 (a-b)^2 + 125 x^4 y^2 (a-b)^3 – 5 x^3 y (a-b) 5 x^2 y (a-b). [5 y^2 (a-b) + 25 x^2 y (a-b)^2 – x ]
2º CASO DE FACTOREO: FACTOR COMÚN POR GRUPOS
Se aplica cuando no hay un factor común a todos los términos pero sí hay factores en común agrupándolos convenientemente. Condición: El polinomio debe tener términos pares. (4, 6. etc.) Se resuelve sacando los factores en común de los términos agrupados, en estos resultados, los paréntesis que resultan deben ser iguales para aplicar en este momento el primer caso. EJ: 2 a + 2 b - x a - x b
- (a + b) - x. (a + b) (a + b). (2 – x)
3º CASO DE FACTOREO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Condición: Debe ser un polinomio con tres términos, dos de los cuales deberán tener raíces cuadradas exactas y si multiplicamos por dos las dos bases nos debe dar lo mismo que el término restante. La solución es la suma o resta de las bases al cuadrado. (Binomio al cuadrado)
EJ: 25 x^2 + 10 xy^3 + y^6 Verificación: 2. 5x. y^3 = 10 xy^3
5 x y^3 Solución: (5x + y^3 )^2
4º CASO DE FACTOREO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Condición: Debe ser un polinomio con cuatro términos, dos de los cuales deberán tener raíces cúbicas exactas. Se debe verificar que los otros dos términos respondan a las siguientes dos operaciones: * tres por el cuadrado de la primera base por la segunda
- tres por la primer base por el cuadrado de la segunda. La solución es la suma o resta de las bases al cubo. (Binomio al cubo)
EJ : 8 + 12 x + 6 x^2 + x^3 Verificación: 3. 2^2. x = 3. 4. x = 12 x
2 x 3. 2. x^2 = 6 x^2
Solución: (2 + x)^3
5º CASO DE FACTOREO: DIFERENCIA DE CUADRADOS
Condición: Deben ser dos términos que tengan raíces cuadradas exactas y que el segundo sea negativo. Solución: El producto entre la suma de las bases y la resta de las mismas.
EJ: 81 x^4 y^6 - 16 x^2 z^4
9 x^2 y^3 4 xz^2
Solución: (9 x^2 y^3 + 4 xz^2 ). (9 x^2 y^3 - 4xz^2 )
6° CASO DE FACTOREO: DIVISIÓN POR LA SUMA O RESTA DE BASES
Condición: Deben ser dos términos que estén elevados a una misma potencia.
Se debe buscar un factor que sea divisible por dicho binomio, de esta forma podemos transformar la suma algebraica en el producto de dicho factor por el cociente que resulta de la división con el polinomio a factorizar. Este divisor será la suma o resta de las bases. Seguimos las siguientes reglas de divisibilidad:
Sea xn^ + yn Si n es par, no se puede aplicar el 6° caso puesto que no tiene divisor. Si n es impar, el divisor es la suma de las bases (x + y) Sea xn^ - yn Si n es par, el divisor es la suma o resta de sus bases, (x + y) o (x – y) Si n es impar, el divisor es la resta de sus bases (x - y)
Ejemplo: x^3 + 8 = x 3 + 2^3 divisor: (x + 2)
El cociente entre (x^3 + 8) y (x + 2) podemos hallarlo por medio de la Regla de Ruffini. El resultado es (x^2 - 2x + 4).
Solución: (x^3 + 8) = (x + 2). (x^2 - 2x + 4)
3x^3 – 9x^2 -18x + 24 = 3. (x – 1). (x – 4). (x + 3)
Teorema de Gauss
Este teorema se utiliza para limitar la cantidad de números que vamos a utilizar en el teorema del resto para conocer las posibles raíces del polinomio. Las posibles raíces de un polinomio resultan del cociente entre algún divisor del término independiente con algún divisor del coeficiente principal. Por lo tanto lo que hacemos es buscar todos los divisores de ambas expresiones y luego calculamos su cociente. Ej:
P(x) = 2x^5 + 5x^4 +12 x^2 - 5x + 10 divisores de 10 = {10,-10,5,-5,2,-2,1,-1} divisores de 2 = {2,-2,1,-1}
Posibles raíces = { 1
Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Llamamos así a las expresiones del tipo A = Q
P
, siendo P y Q expresiones algebraicas enteras y Q
diferente a cero. Por lo tanto el dominio de una expresión racional son todos los Reales menos los valores de las variables que anulan al denominador, es decir, si son de una sola variable (ej, x) el dominio son todos los reales menos las raíces de Q(x). Ejemplo: E.A.F. dominio
g(x) = 2
x
x R^ – {2}
q(x) = .( 3 )
x x
x R^ – {0,-3}
r(x) = ( 5 ).( 2 )
x x
x
R – {5,-2}
Para hallar entonces el dominio de una expresión racional, basta con hallar las raíces del
denominador, ej: J(x)= 3 3
3 2
2
- − −
x x x
x
, donde x^3 + 3 x^2 − x − 3 =( x − 1 )( x + 1 )( x + 3 ), por lo
tanto tenemos que Dmj = R – {-3,-1,1}
Simplificación de expresiones racionales: Para trabajar con funciones racionales, conviene simplificar sus fórmulas, aclarando desde entrada siempre su dominio y siempre y cuando existan factores comunes al numerador y denominador. Ej, considerando la función anterior j(x), tenemos, al factorizarla, la siguiente expresión:
x x x
x x J x
simplificando los factores en común nos queda: 3
x x x x
x x J x
(con x = 1 y x = -1) sin olvidar que en esta fracción irreducible que es equivalente a la expresión original, el dominio es
R – {-3,-1,1}
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
1. Suma algebraica: Se resuelven como la suma de fracciones numéricas, es decir, factorizando los denominadores para calcular el m.c.m. y aplicando el algoritmo del común denominador. Luego se trabaja algebraicamente el numerador hasta obtener una expresión algebraica factorizada, de manera tal que se pueda reducir con el denominador (si es posible). Ej:
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
xx x
x x xx x
x x
xx x
x x x x x x
xx x
x x x x x x x
xx x
xx x x x
xx x
x x x
x
x x x
x x x
x
2. Multiplicación y división:
Se resuelven como las fracciones numéricas, es decir, factorizando el numerador y el denominador de cada expresión y simplificando convenientemente. Si es una división, la transformamos en producto primero invirtiendo el divisor.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 ^ =
m y
m m m y
y x x x
x x x x
x x x
- Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias:
Antes de comenzar a resolver una ecuación fraccionaria hay que determinar cuáles son los valores de x que anulan los denominadores, porque sino no se podrían simplificar las fracciones, y si luego de