CALCULO II
GRADOS DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y TELECOMUNICACION
Segunda Autoevaluaci´on
Pregunta 1.
a)
Z2
1Z1
−1Z1
0
(2x+ 3y+z)dz dy dx =Z2
1Z1
−1h2xz + 3yz +z2
2iz=1
z=0
dy dx
=Z2
1Z1
−1³2x+ 3y+1
2´dy dx
=Z2
1h2xy +3y2
2+y
2iy=1
y=−1
dx
=Z2
1
(4x+ 1) dx = [2x2+x]x=2
x=1 = 7 .
b)
Z1
0Z1
0Z1
0
z ex+ydz dy dx =Z1
0Z1
0hex+yz2
2iz=1
z=0
dy dx
=1
2Z1
0Z1
0
ex+ydy dx
=1
2³Z1
0
exdx´³Z1
0
eydy´=1
2[ex]x=1
x=0 [ey]y=1
y=0 =(e−1)2
2.
Pregunta 2. a) En el rect´angulo Ael m´ınimo valor de fes m= 0, mientras que el m´aximo valor de fes
M= 22(−3)2= 36. Por tanto, como el ´area de Aes |A|= 4,
0 = m|A| ≤ ZA
f(x, y)dx dy ≤M|A|= 36 ·4 = 144 .
b) Dividiendo Aen los cuatro sub-rect´angulos A1= [0,1] ×[−2,−1], A2= [1,2] ×[−2,−1], A3= [0,1] ×[−3,−2],
A4= [1,2] ×[−3,−2] tenemos que los m´aximos y m´ınimos de fen cada uno de estos sub-rect´angulos es:
m1= 0, M1= 4, m2= 1, M2= 16, m3= 0, M3= 9, m4= 4, M4= 36 .
Por tanto, como el ´area de todos los sub-rect´angulos es |Ai|= 1,
5 = 0 + 1 + 0 + 4 =
4
X
i=1
mi|Ai| ≤ ZA
f(x, y)dx dy ≤
4
X
i=1
Mi|Ai|= 4 + 16 + 9 + 36 = 65 .
Pregunta 3.
a)
Z1
0Zy
0
f(x, y)dx dy =Z1
0Z1
x
f(x, y)dy dx .
b)
Ze
1Zlog x
0
f(x, y)dy dx =Z1
0Ze
ey
f(x, y)dx dy .
