MATEMATICAS I ADE
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus
1
BLOQUE III: INTEGRACIÓN Y SERIES
7. Definición de sucesión. Límite de una sucesión
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Limites de Sucesiones en Matemáticas I ADE, Universidad de Alicante, Apuntes de Matemáticas
Documento que presenta conceptos relacionados con el cálculo de límites de sucesiones en matemáticas, incluyendo sucesiones de números reales, sucesiones monótonas, convergencia y divergencia, y ejemplos de cálculo de límites de funciones y cocientes de exponenciales.
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 53
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MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus BLOQUE III: INTEGRACIÓN Y SERIES7. Definición de sucesión. Límite de una sucesión
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus Sucesiones de números reales.^ Una sucesión de números reales es un conjunto
ordenado
de infinitos valores reales.
{^
1 2
3 4
a , a , a , a ,...........
a^ Elemento de la sucesión que está en la posición^ k
k.
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus Las sucesiones se obtienen calculando la imagen de losNúmeros Naturales por una función de variable real.
n f(n)^
a= (^1) n n f(x)^ x
2 1 f(n)^ a =^ +^ =^ =^ n^2 + (^1) n 2 ∈ ^ ^ +^
ℕ
ejemplo
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus Representación de sucesiones.En la recta real.
1
2
3
4
a^
a^
a^
a
-^ -^ -^
n (^2) { }n∈ℕ 1
2
3
4
a^2
a^4
a^8
a^16
-^ -^ -^
=^
=^
=^
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus
n^7
1 n
(^1) n^ ^ n∈ℕ
Si observamos la representación lostérminos mayores de la sucesión seaproximan a cero.
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus (^ )
n (^1) − n
n n ( )^ n
1 n^ N∈
^
^
^
^
^
Si observamos la representación lostérminos mayores de la sucesión seaproximan a cero.
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus Convergencia. Límite de una sucesión.^ Una sucesión
se dice que tiene límite L si y sólo si
0 0
n
0, existe n
tal que
si^ n
n^
a^
L
≥^
⇒^
a^ {^ }n^ n∈ℕ
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus Convergencia. Límite de una sucesión.^ Una sucesión
se dice que tiene límite o
converge a
L^ si y sólo si
0 0
n
0, existe n
tal que
si^ n
n^
L- <a
L
≥^
⇒^
ε^
ℕ <^ + ε
a^ {^ }n^ n∈ℕ
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus
13
n n^1 n^
- ∈ ^
^
^
^ ℕ
n^ n 1 lim^
(^1) n
- →+∞
=^1
a^2 =^1
(^3) =a 22 0’
1’
]^
[
(^4) = (^) a 33
(^5) = (^) a 44
(^6) = (^) a 55
(^7) = (^) a 66
(^8) =a 77
n^6 =^0
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus 1
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus Una sucesión
es^ divergente a
si y sólo
si
0 0
n
K^ 0, existe n
tal que
si^ n
n^
a^
K
∀^ >
≥^
⇒^
a^ {^ }n^ n∈ℕ
Divergentes
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus
a^ { }n^ n∈ℕ
Una sucesión
es^ divergente a
si y sólo
si^
0
n
K^
0, existe n
tal que
si^ n
n
a^
k,
∀^
^ ≥^
⇒^
∈^
+∞ ^
^
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus Una sucesión
es^ divergente a
si y sólo
si
0 0
n
K^ 0, existe n
tal que
si^ n
n^
a^
K
∀^ >
≥^
⇒^
a^ {^ }n^ n∈ℕ
MATEMATICAS I ADEUNIVERSIDAD DE ALICANTE
Jose Angel Silva Reus
a^ { }n^ n∈ℕ
Una sucesión
es^ divergente a
si y sólo
si
0 0
n