Sucesiones, límites y continuidad en R, Apuntes de Matemáticas

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2. Sucesiones, límites y continuidad en R

2.1 Sucesiones de números reales

{an} = a 1 , a 2 , ..., an, ... es una sucesión: a cada natural n corresponde un real an.

Matemáticamente, como una función asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro:

Def. Una sucesión de números reales es una función de N en R a^ :^ N n →→ aR(n) ≡ a

n

Una sucesión tiende hacia a si en todo entorno de a , por pequeño que sea, están casi todos los términos de la sucesión (todos salvo un número finito). Por ejemplo { (^1) n } = 1 , 12 , 13 , ... tiende hacia 0 ya que

fijado un entorno cualquiera del origen todos los términos de la sucesión a partir de uno dado acaban metiéndose dentro. Precisando:

Def.

{an} tiene por límite a (o tiende hacia a o converge hacia a ) si para todo ε >0 existe

un número natural N tal que para todo natural n ≥ N es |an −a| < ε. Se representa por

l´ım

n→∞

an = a ó an −→

n→∞

a. Si una sucesión {an} no es convergente se dice divergente.

Esta definición es la primera de las definiciones rigurosas de límite de aspecto similar que veremos en los apuntes. Hagamos unas cuantas observaciones sobre ella: Decir que |an −a| < ε es equivalente a que an ∈ B(a, ε). Para todo ε hemos de encontrar un N tal que aN , aN+ 1 , aN+ 2 , ... estén dentro del entorno. El N no es único: si los an ∈B(a, ε) para n≥N , también están dentro para n≥N∗^ si N∗^ ≥N. No se trata de hallar el menor N , basta con dar uno para el que se cumpla. En sucesiones escribiremos simplemente an → a , pues sólo tiene sentido el límite para n → ∞ (en funciones, la x podrá tender a 0 , a ∞ , a −∞ ,... y sí habrá que precisarlo).

( )

1/

-ε 0 ε

Ej. Formalicemos que (^) N 1 n →^ 0 : dado cualquier^ ε^ (por pequeño que sea) existe N tal que (^) N^1 < ε. Por tanto, si n ≥ N , | (^1) n − 0 | ≤ (^) N^1 < ε. Se ve que N depende del ε dado (si ε = 0.1, basta tomar N = 11, pero si ε = 0.001 debemos tomar N = 1001 o un número mayor).

Ej. La sucesión^ {(−^1 )n}^ =^ −^1 ,^1 ,^ −^1 ,^1 , ...^ diverge, pues está claro que no todos sus términos a partir de un N están en todo entorno de −1 , ni de 1 , ni de cualquier otro real. Aunque haya infinitos términos en cualquier entorno de 1 (por ejemplo) otros infinitos se escapan. Si ε = 2 todos los an pertenecen al entorno B( 1 , 2 ) , pero esto debe ocurrir ∀ε y no sólo para ε grandes.

El cálculo de límites con ε y N es, en general, complicado. Pero, gracias a los teoremas que veremos (demostrados utilizando los ε ), sólo en contadas ocasiones y para sucesiones muy extrañas deberemos en el futuro acudir a la definición. Para manejar ésta (en ejemplos y en teoremas) se suele partir de lo que uno quiere hacer pequeño ( |an − a| ) y, tras algunos < ó ≤ (la desigualdad triangular suele aparecer), se llega a una expresión de la que sea ya fácil decir para qué n es < ε :

Ej. Probemos sólo con la definición (pronto será innecesaria) que {an} =

{ 2 √n+ 5 −n

√ n+ 1

2 √ √n+ 5 −n n+ 1 −^2

| (^5) √−n− 2 | n+ 1 ≤^

5 −√n+ 2 n ≤^ √^3 n <^ ε^ ⇔

n > (^3) ε ⇔ n > (^) ε^92

Por tanto, dado cualquier ε , si N es un natural > 9 /ε^2 , para n≥N se cumple que |an − 2 | < ε. [No es la única forma de precisar el N, podríamos, por ejemplo, no haber quitado el 1 del denominador y habríamos llegado a otro N; lo que, desde luego, no funcionaría sería empezar haciendo |an − 2 | ≤ |an|+2 , pues no habría forma de hacer esto menor que cualquier ε ].

Teorema: {an} convergente ⇒ {an} acotada.

Sea ε = 1 (por fijar un número); sabemos que ∃N tal que si n ≥ N ⇒

|an|−|a| ≤ |an−a| < 1 ⇒ |an| ≤ |a|+.

Por tanto, llamando M = máx

|a 1 |,... , |aN− 1 |, |a|+ 1

se tiene |an| ≤ M ∀n.

No es cierto que toda {an} acotada sea convergente. Por ejemplo, {(− 1 )n} es acotada y diverge.

Lo que sí se deduce del teorema (no q ⇒no p) es que diverge seguro una sucesión no acotada.

Definimos ahora un par de tipos importantes de sucesiones divergentes (y no acotadas):

Def.

{an} diverge hacia +∞

l´ım n→∞

an = ∞

si ∀K ∃N / ∀n ≥ N se cumple an ≥ K.

{an} diverge hacia −∞

l´ım n→∞

an = −∞

si ∀K ∃N / ∀n ≥ N se cumple an ≤ K.

[+∞ y −∞ son sólo símbolos, no números; estas sucesiones no convergen a ningún número real].

Ej. n (^2) + 1 2 n →^ ∞^ , pues^ ∀K^ ,^

n^2 + 1 2 n ≥^

n 2 >^ K^ si^ n^ ≥^ N^ con^ N^ cualquier natural^ ≥^2 K^. − 1 , 0 , − 2 , 0 , − 3 , 0 , − 4 , ... no diverge hacia −∞. A pesar de contener términos tan pequeños como queramos, no es cierto que dado cualquier K queden a su izquierda todos los términos a partir de un N (para los K < 0 es evidente que es falso). Claramente, tampoco tiende a 0.

Def.

{an} es creciente si an ≤ an+ 1 ∀n. {an} es decreciente si an ≥ an+ 1 ∀n.

Cualquiera de las dos se dice monótona.

Ej. 13 , 23 , 33 , 43 , 53 ,... (no acotada, divergente hacia +∞) es creciente. 1 , 1 , 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 4 , ... es decreciente (y tiende hacia 0 ).

Teorema:

{an} creciente y acotada superiormente ⇒ {an} convergente.

{an} decreciente y acotada inferiormente ⇒ {an} convergente.

a N

(

a- a

El axioma del extremo superior asegura que {an} tiene supremo

al que llamamos a. Veamos que a es el límite de {an} :

Sea ε > 0 , ∃N tal que aN > a−ε (si no, habría cotas más

pequeñas que a ). Por tanto, si n ≥ N , a ≥ an ≥ aN > a−ε

⇒ |an − a| = a − an < ε. [Análoga la otra].

Dada una sucesión {an}, se llama subsucesión de {an} a cualquier sucesión formada escogiendo

ordenadamente infinitos términos de {an} , es decir:

Def. {an j } = an 1 , an 2 , · · · con los n j ∈ N tales que n 1 < n 2 < · · · es subsucesión de {an}.

Ej. 12 , 14 , 16 , 18 , 101... , 1, 111 , 1111 , 11111 , 111111... ó 251 , 261 , 271 , 281 ,... son subsucesiones de { 1 n }.

No lo es, en cambio, 12 , 1 , 14 , 13 , 16 , 15 ,... , formada con elementos desordenados de { 1 n }.

Está claro que si {an} → a también cualquier subsucesión suya {an j } → a. Por tanto, una

forma de probar que una sucesión no tiene límite es encontrar dos subsucesiones suyas

que converjan hacia límites distintos o alguna subsucesión que no converja.

[A las subsucesiones de las sucesiones divergentes pueden pasarle, sin embargo, todo tipo de cosas. Por ejemplo, 1, 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... tiene subsucesiones convergentes a infinitos límites distintos (a cada número natural), otras que divergen a +∞ y otras que no tienen límite ni finito ni infinito; − 1 , 0 , − 2 , 0 , − 3 , 0 , − 4 , ... tiene subsucesiones que tienden a 0 y otras a −∞ ; 1, 2 , 3 , 4 , ... no tiene subsucesiones convergentes... Si {an} es acotada veremos que sí podemos sacar alguna conclusión].

A pesar de tanto teorema aún quedan las llamadas indeterminaciones que resumimos:

∞ − ∞ , 0 · ∞ , 00 , ∞∞ , 1 ∞^ , 00 , ∞^0

Hay que leerlas en términos de sucesiones. Según la primera, si dos sucesiones → ∞ no se puede, en principio, decir hacia qué tiende su diferencia (por ejemplo: n−n^2 → −∞ , n−n → 0 y n^2 −n → ∞ ). Para resolver algunas bastará un truco algebraico como los de los ejemplos siguientes, pero en otros casos, insistimos, se necesitará L’Hôpital o Taylor para halla los límites. Observemos que las tres de potencias (por la definición general de pb^ ) son en esencia del tipo 0 · ∞ : elog 1·^ ∞^ , elog 0^ ·^0 , elog^ ∞^ ·^0.

Ej. Gracias a todo el trabajo con los ε ahora ya casi nunca habrá que acudir a la definición. n^2 + (− 1 )n 3 n^3 + 2 n

= 1 /n + (− 1 )n/n^3 3 + 2 /n^2

→ 0 + 0 3 + 0 = 0 , n^3 + (− 1 )n 3 n^3 + 2 n

= 1 + (− 1 )n/n^3 3 + 2 /n^2

→ 1 + 0 3 + 0 = 1 3 ,

n^4 + (− 1 )n 3 n^3 + 2 n = n + (− 1 )n/n^3 3 + 2 /n^2 → “ ∞ + 0 3 + 0 = ∞”.

[Las tres son indeterminaciones y hay que reescribir la sucesión; en el cálculo hemos utilizado varios teoremas: n^3 = n · (n · n) → ∞ porque el producto de dos sucesiones que tienden a ∞ tiende a ∞ ; (− 1 )n/n^3 → 0 porque “acotado/∞ = 0" ; 1 + (− 1 )n/n^3 → 1 porque la suma de sucesiones tiende a la suma de los límites; límites de cocientes, más límites con ∞ ...].

Ej.

√ n^3 − 1 − n 5 n^2 − 7 √ n =

√ 1 − (^) n^13 − √^1 n 5 √ n − (^7) n

→ “ (^51) ·∞−−^00 = 0 ” , o bien,

√ n^3 − 1 − n 5 n^2 − 7 √ n =

√ 1 n −^

1 n^4 −^

1 n 5 − (^) n√^7 n

→ 05 −−^00 = 0.

[Aquí hemos utilizado además que l´ım

an =

l´ım an y “

∞ = ∞” que son casos particulares de los límites de potencias vistos; lo probaremos directamente en problemas]. Como se ve, para calcular límites de cocientes de polinomios o raíces de ellos basta comparar los términos con la máxima potencia de numerador y denominador (y se pueden hacer a ojo: si el numerador es más pequeño, el cociente → 0 , si ambos son del mismo orden aparecen los coeficientes de los términos más gordos y si el denominador es mayor el límite será + o – infinito).

Ej. (− 1 )n^ n^13 +n 1 diverge, pues hay subsucesiones con distintos límites

pares → 13 impares → − 13

Ej.

n^3 − 1 − n = n

[√

n − (^) n^12 − 1

]

[Hemos sacado factor común (lo habitual para ∞ − ∞ ) para dejar claro que término mandaba].

Ej.

n −

n − 1 = [

√ n −

√ n − 1 ][

√ n +

√ n − 1 ] √ n +

√ n − 1

= 1 √ n +

√ n − 1

[Los ∞ eran del mismo orden y ha habido que racionalizar; sacar factor común no servía aquí].

Ej.

[ (− 1 )n^ +

√ n

] 3 → “(acot+∞)^3 = ∞^3 = ∞".

Ej. n

2 (n− 7 )! =^

n^2 (n− 7 )(n− 8 )

1 (n− 9 )! →^1 ·^0 =^ 0.^ Ej.^

3 n+ 2 n+^1 3 n+^1 + 2 n^ =^

1 + 2 ( 2 / 3 )n

3 +( 2 / 3 )n^ →^

1 + 0 3 + 0 =^

1

Ej.

1 + · · · + n n^2 + 1 =

n(n + 1 ) 2 (n^2 + 1 ) →

1 2

[El número de sumandos crece con n ; no es cierto que como n/n^2 → 0 nuestra sucesión también lo haga].

Ej. Hallemos el límite de an^ para todos los a ∈ R sin hacer uso de teoremas no demostrados: si a>1 , a= 1 +h , con h> 0 ⇒ an^ = ( 1 +h)n^ = 1 +nh+· · ·>nh>K , ∀K si n gordo ⇒ an^ → ∞ ; si a = 1 , { 1 n} = 1 , 1 , 1 , ... → 1 ; si a = 0 , { 0 n} = 0 , 0 , 0 , ... → 0 (no son indeterminaciones); si a∈( 0 , 1 ) , 1/a>1 , an^ = (^) ( 1 /^1 a)n → “ (^) ∞^1 = 0” ; si a∈(− 1 , 0 ) , an^ =(− 1 )n(−a)n^ → “acot· 0 = 0” ; si a = −1 , {(− 1 )n} = − 1 , 1 , − 1 , 1 , ... diverge; si a < −1 , como (−a)n^ → ∞ , an^ = (− 1 )n(−a)n^ toma valores grandes positivos y negativos ⇒ diverge (ni siquiera tiende a +∞ o −∞).

Otros temas más teóricos de sucesiones.

Damos para acabar definiciones y teoremas importantes en matemáticas avanzadas (las usaremos en las demostraciones de 2.3). El primer teorema es uno de esos típicos de matemáticas que aseguran que existe algo pero no dicen ni cómo es ese algo ni cómo buscarlo (y parecen no servir para nada):

Teorema: Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente.

c 0 [ ] b 0

c 1 [ ]b 1

c 2 [ ]b 2

c 3 [ ]b 3

Como {an} es acotada, existe un intervalo cerrado [c 0 , b 0 ] ⊃ {an}. Di- vidimos [c 0 , b 0 ] en otros dos iguales. En uno de ellos, al menos, hay infinitos términos de {an}. Le llamamos [c 1 , b 1 ]. Volvemos a dividir y a elegir [c 2 , b 2 ] con infinitos an ... Tenemos así una sucesión de interva- los [ck, bk] , cada uno con infinitos términos de la sucesión. La sucesión c 0 , c 1 , ... es creciente y acotada superiormente por b 0. La b 0 , b 1 , ... es decreciente y acotada inferiormente por c 0. Así ambas tienen límite y es intuitivamente claro que el límite de las dos es el mismo. Le llamamos a. Construimos una subsuce- sión de {an} que tiende hacia a : elegimos an 0 ∈ [c 0 , b 0 ] , an 1 ∈ [c 1 , b 1 ] con n 1 > n 0 (podemos, pues hay infinitos an en [cn 1 , b 1 ] ),... No es difícil formalizar que an (^) j → a.

Ej. {sen n} = 0.841.., 0.909.., 0.141.., –0.757.., –0.959.., –0.279.., 0.656.., 0.989.., 0.412..,... [funciones trigonométricas siempre en radianes]; parece no tener límite y se prueba (es difícil) que es así. Como es acotada, tendrá subsucesiones convergentes, pero no sabemos cuáles.

La siguiente definición tampoco tendrá mucha utilidad práctica para nosotros:

Def. {an} es sucesión de Cauchy si ∀ε ∃N ∈ N tal que ∀n, m ≥ N se tiene que |an −am| < ε.

[la diferencia entre dos términos suficientemente altos es tan pequeña como queramos]

Parece claro que si todos {an} se acercan a un límite se acercarán también entre sí, es decir, que toda sucesión convergente será de Cauchy. Lo contrario también es cierto para las sucesiones en R:

Teorema: {an} converge ⇔ {an} es de Cauchy

⇒ ) ∀ε ∃N / k ≥ N ⇒ |ak −a| < ε 2 ; así pues, si n, m ≥ N, |an −am| ≤ |an −a| + |am −a| < ε 2 + ε 2 = ε.

⇐) Se puede probar que: {an} de Cauchy ⇒ {an} acotada (la demostración es parecida a la de las convergentes). Por lo tanto, existe subsucesión {an (^) j } convergente hacia algún real a. Veamos que toda la sucesión {an} tiende hacia ese a : {an} de Cauchy ⇒ ∃N 1 tal que n, n (^) j ≥ N 1 ⇒ |an − an (^) j | < ε 2. {an (^) j } convergente ⇒ ∃N 2 tal que n (^) j ≥ N 2 ⇒ |an (^) j − a| < ε 2. Por tanto: |an − a| ≤ |an − an (^) j | + |an (^) j − a| < ε 2 + ε 2 = ε si n ≥ N = máx{N 1 , N 2 }.

Un conjunto se dice completo si toda sucesión de Cauchy converge hacia un elemento del propio conjunto. Acabamos de ver que R lo es. Pero, por ejemplo, Q no lo es: hay sucesiones de Cauchy en Q que no convergen a un racional (como la 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ... obtenida añadiendo decimales de π , que es de Cauchy pero su límite se escapa de Q). Ello se debe a la inexistencia en Q del axioma del extremo superior (por esta misma razón, en Q hay sucesiones monótonas y acotadas sin límite en Q o sucesiones acotadas sin subsucesiones convergentes en Q). La definición de conjunto completo es importante en ‘análisis funcional’.

El último resultado relaciona conjuntos cerrados y sucesiones y lo utilizaremos en demostraciones:

Teorema: Si {an} → a y {an} ⊂ A cerrado ⇒ a ∈ A.

Pues el límite de una sucesión, si tiene infinitos términos distintos, es un punto de acumulación de ella, y, por tanto, también de A que es cerrado. Y si {an} toma sólo un número finito de valores, debe ser an = a a partir de un N, con lo que, claramente, a ∈ A. [Para abiertos es falso: hay {an} ⊂ A abierto cuyo límite ∈/ A , como le ocurre a { (^1) n } ⊂ ( 0 , 1 ) ].

Def.

f → L por la derecha (izquierda) cuando x → a

[

l´ım x→a+^

f (x) = L ( l´ım

x→a−^

f (x) = L )

]

si ∀ε > 0 ∃δ >0 tal que si x cumple 0<x−a<δ ( 0<a−x<δ ) ⇒ | f (x)−L|<ε.

Como 0 < |x − a| < δ ⇔ 0 < x − a < δ y 0 < a − x < δ , es inmediato que:

Teorema: l´ım x→a

f (x) = L ⇔ existen l´ım

x→a+^

f (x) y l´ım

x→a−^

f (x) , y coinciden con L

Por tanto, si no existe un límite lateral, o si existiendo no coinciden, no existe el límite.

Ej. f 4 (x) → x→ 0 +^

1 , pues ∀ε, para cualquier δ que escojamos, si 0 < x < δ es | f 4 (x) − 1 | = 0 < ε.

f 4 (x) → x→ 0 +

−1 , pues ∀ε para cualquier δ , 0 <−x< δ ⇔ −δ <x< 0 ⇒ | f 4 (x)−(− 1 )| = 0 < ε.

Esto prueba que no existe el l´ım x→ 0

f 4 (x).

[

Sí existen l´ım x→ 1 −^

f 4 (x) = l´ım x→ 1 +^

f 4 (x) = 1 = l´ım x→ 1

f 4 (x)

]

En general, para ver si f tiene límite no será necesario calcular los laterales. Sólo lo haremos

cuando la f sea diferente a ambos lados de a (como en el ejemplo anterior en x = 0 ).

Este teorema será muy útil para demostrar fácilmente bastantes otros usando las propiedades de

las sucesiones y, en el futuro, para calcular límites de sucesiones que aún no sabemos hacer:

Teorema:

l´ım x→a

f (x) = L ⇔ toda sucesión {an} ⊂ dom f −{a} con {an} →

n→∞

a

satisface { f (an)} →

n→∞

L.

L

a

⇒) Sabemos que ∀ε ∃δ / si 0 < |x−a| < δ ⇒ | f (x)−L| < ε.

Como an → a , ∃N / n ≥ N ⇒ |an−a| < δ ⇒ | f (an)−L| < ε,

con lo que { f (an)} → L.

⇐ ) Si f (x) no tiende a L existe ε > 0 tal que para todo δ > 0

existe algún x con 0 < |x − a| < δ pero | f (x) − L| > ε.

En particular, para todo n existe algún an con 0 < |an − a| < 1 n pero | f (an) − L| > ε :

existe, pues, {an} que converge hacia a pero con { f (an)} 6 → L.

Gracias al teorema, para ver que una f no tiene límite en a bastará encontrar una {an}

(formada por puntos de dom f ) que tienda hacia a y tal que { f (an)} diverja, o bien encontrar

dos sucesiones {an} y {bn} tales que { f (an)} y { f (bn)} tiendan hacia distintos límites. Esto

puede permitir formalizar de forma sencilla la no existencia de límites sin tener que acudir a la

negación de la definición:

Ej. Como an = (−^1 )

n n →^ 0 pero^ {^ f^4 (an)}^ =^ −^1 ,^1 ,^ −^1 ,^1 , ...^ diverge^ ⇒^ f^4 no tiene límite en^ x=. [Para otras bn → 0 sí tiene límite { f 4 (bn)} (por ejemplo, para cualquier {bn} con bn >0 dicho límite es 1 ); pero el teorema pide que todas converjan y que el límite de todas sea el mismo].

Ej. f 5 (x) =

{ (^) 1 si x racional 0 si x irracional

1

a

. Intuitivamente parece claro que f 5 no tiene límite para ningún a (ra- cional o irracional). Por ejemplo, no puede tender f 5 hacia 1 cuando x → a pues por pequeño que sea el δ hay x del entorno (los irracionales) con | f 5 (x)− 1 | > ε (para los ε <1 ). Lo mismo sucede con otros posibles límites. Esto es mucho más fácil de formalizar con sucesiones: f 5 no tiene límite en a pues si {an} es una sucesión de racionales y {bn} de irracionales tendiendo hacia a , se tiene que f 5 (an) → 1 mientras que f 5 (bn) → 0. (Estas sucesiones siempre existen, pues en todo entorno de a hay infinitos racionales e irracionales).

Las siguientes definiciones incluyen "∞" (no son límites normales; como siempre ∞ es sólo

un símbolo; en sentido estricto no tiene límite una f que tiende a +∞ o a −∞ ):

Def. l´ım x→∞

f (x) = L

[

l´ım x→−∞

f (x) = L

]

si ∀ε > 0 ∃M tal que si x > M [ x < M ] ⇒ | f (x)−L| < ε

Def. l´ım x→a

f (x) = ∞ [ −∞ ] si ∀K ∃δ > 0 tal que si 0 < |x−a| < δ ⇒ f (x) > K [ f (x) < K ]

Def. l´ım x→∞

f (x) = ∞ si ∀K ∃M tal que si x > M ⇒ f (x) > K

[Análogamente l´ım

x→a−^

f (x) = −∞ , l´ım

x→−∞

f (x) = ∞ , ... ]

Un par de interpretaciones geométricas: f (x) →

x→a

f (x) →

x→∞

L

L

M a

K

Ej. La función f 6 (x) = (^1) x → 0 si x → ∞ pues ∀ε > 0 ∃M = (^1) ε tal que si x > (^1) ε ⇒

x −^0

∣ (^) < ε ,

y tiende a ∞ cuando x → 0 +^ pues ∀K ∃δ = (^1) K tal que si 0 < x − 0 < (^) K^1 ⇒ (^1) x > K. [ Análogamente se vería que f 6 −→ x→−∞ 0 y que f 6 −→ x→ 0 −^

−∞. No existe el l´ım x→ 0

f 6 (x)

]

Ej. f 7 (x) = 3

x + th x → x→∞ ∞ , porque ∀K ∃M tal que f 7 (x) > 3

x − 1 > K si x > M = (K+ 1 )^3.

Se pueden probar relaciones entre estos nuevos ‘límites’ y los de sucesiones. Por ejemplo:

Teorema:

l´ım x→∞

f (x) = L ⇔ toda sucesión {an} ⊂ dom f con an →

n→∞

∞ cumple f (an) →

n→∞

L

En particular, como la sucesión {n} → ∞ , deducimos que f (x) →

x→∞

L ⇒ f (n) →

n→∞

L.

Teorema:

l´ım x→a

f (x) = ∞ ⇔ toda sucesión {an} ⊂ dom f −{a} con an →

n→∞

a cumple f (an) →

n→∞

Como consecuencia de los límites de sucesiones se puede demostrar ahora fácilmente:

Teorema:

f (x) →

x→a

L , g(x) →

x→a

M ⇒ f ± g →

x→a

L ± M , f · g →

x→a

L · M.

Si además M 6 = 0 ⇒ gf →

x→a

L

M.

Lo anterior es válido si se sustituye a por a+^ , a−^ , +∞ ó −∞.

Todas se demuestran igual, relacionando sucesiones y funciones. Por ejemplo, la primera:

Sea cualquier an → a , an 6 = a. Por tender la suma de sucesiones a la suma de los límites:

l´ım n→∞

( f ± g)(an) = l´ım

n→∞

f (an) ± l´ım

n→∞

g(an) = L ± M ⇒ l´ım

n→∞

( f ± g)(x) = L ± M.

Hemos definido la continuidad en un punto. En intervalos:

Def.

f es continua en (a, b) si es continua en todo x de (a, b).

f es continua en [a, b] si es continua en (a, b) , l´ım

x→a+^

f (x) = f (a) y l´ım

x→b−^

f (x) = f (b).

[No podemos decir simplemente ‘continua en todo x ∈ [a, b]’, pues a y b no son puntos interiores].

Comprobemos que

todas las funciones elementales (de 1.4) son continuas en su dominio

Los polinomios P(x) = a 0 xn^ + a 1 xn−^1 + · · · + an son continuos en todo R

(ya que son sumas y productos de funciones continuas en todo a de R).

Las funciones racionales

cocientes de polinomios

P(x) Q(x)

son continuas ∀a con Q(a) 6 = 0.

Las raíces n

x son continuas en su dominio: R si n impar, R+ si n par (en x = 0 hablamos

de l´ım

x→ 0 +

2 √nx ), por ser inversas de funciones estrictamente crecientes y continuas.

Las funciones trigonométricas y sus inversas también son continuas en su dominio:

Comencemos probando que f (x) = sen x es continua ∀a ∈ R : ∀ε > 0 , si |x−a| < δ = ε

se cumple: | sen x − sen a| = |2 sen x− 2 acos x+ 2 a| ≤ 2 | sen x− 2 a| ≤ 2

|x−a|

2 <^ ε^.

cos x = sen (x+ π 2 ) es continua ∀a por ser composición de funciones continuas ∀a.

tan x = sen cos^ xx es continua si cos x 6 = 0 , es decir, si x 6 = π 2 +kπ , k ∈Z.

arc sen x , arc cos x en [− 1 , 1 ] y arctan x ∀x son inversas de monótonas continuas.

Para probar la continuidad de exponenciales y logaritmos, con la definición dada, hay que

esperar al estudio de las integrales. El teorema fundamental de cálculo integral que probaremos

en 5.2 asegurará que

log x ≡

∫ (^) x 1

dt

t es continua^ ∀x^ >^ 0. De ahí deducimos la continuidad de las demás:

ex^ es continua en R por ser inversa de continua. Y por ser composición de continuas:

xb^ ≡ eb^ log^ x^ continua en ( 0 , ∞) [si b > 0 en [ 0 , ∞) , tomando 0 como su valor en 0 ],

bx^ ≡ ex^ log^ b^ ( b > 0 ) continua ∀x , logb x ≡ log log^ xb ( b > 0 , b 6 = 1 ) continua ∀x > 0.

Las funciones hiperbólicas, que son sumas, diferencias y cocientes con denominadores no

nulos de funciones continuas, son también continuas en todo su dominio R.

Combinando todo lo anterior podemos afirmar que muchísimas funciones son continuas en casi todos los puntos sin necesidad de aplicar la definición (el trabajo con los ε lo hemos hecho en los teoremas, sobre todo en sucesiones, y sólo para funciones muy raras habrá que acudir a ella).

Ej. f 8 (x) = ex/(x−^1 )^ + arctan [log (x^2 + 1 )] − cos^3 x + 4

x sh x [ 3 + arc sen x 3 ]

es continua en ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ] :

el numerador lo es en [ 0 , ∞) − { 1 } , pues arctan [log (x^2 + 1 )] − cos^3 x es continua en R (suma de composiciones de continuas), la raíz en R+ y la exponencial si x 6 =1 ; el denominador es continuo en [− 3 , 3 ] (por el arc sen x 3 ) y sólo se anula en 0 ( arcsen como mucho vale − π 2 y sólo sh 0 = 0 ).

Con tantas funciones continuas el cálculo de límites es casi siempre un cálculo tonto, pues basta

sustituir x por a en la expresión de la función: f 8 (x) → f 8 ( 2 ) si x → 2 , por ejemplo, por ser

f 8 continua en 2. También son sencillos algunos límites con infinitos, utilizando propiedades

análogas a las de sucesiones (demostrables basándose en aquellas, y utilizando los teoremas que

relacionan límites de funciones y de sucesiones (o directamente)) que podemos esquematizar:

“c ± ∞ = ±∞” , “acot ±∞ = ±∞” , “∞ + ∞ = ∞” , “∞ · ∞ = ∞” , “0 · acot = 0” ,

“ ±c∞ = 0” , “ acot ±∞ = 0” , “p · (±∞) = ±∞” (p > 0) , “ ± p∞ = ±∞” (p > 0) , “ ±p 0 = ±∞” (p > 0) ,

“log (+ 0 ) = −∞” , “log (∞) = ∞” , “e∞^ = ∞” , “e−∞^ = 0” , “arctan (±∞) = ± π 2 ” ,...

Como siempre, hay que leerlo en sentido de límites; por ejemplo, “c ± ∞ = ±∞” significa

que si f tiende a c y g hacia +∞ ó −∞ (cuando x → a , a+, a−, +∞ ó −∞), la suma

f +g , respectivamente, tiende a +∞ ó −∞.

La notación +0 ( −0 ) significa aquí que f → 0 siendo f > 0 ( f < 0 ).

[

Con esto, se tiene que l´ım x→ 1 +^ f 8 (x) = ∞

( (^) c+∞ p

y l´ım x→ 1 −^ f 8 (x) = arctan [log 2] − cos^3 1 + 1 sh 1 [ 3 + arc sen 13 ]

] .

Como en sucesiones, a pesar de tanto teorema quedan límites difíciles: los indeterminados,

la mayoría de los cuales (los que no admitan trucos algebraicos como los de sucesiones) sólo

sabremos hallar una vez que estudiemos las derivadas (por ejemplo, el límite de f 8 cuando

x → 0 +^ , que es de la forma 00 ). Recordamos que las indeterminaciones son:

∞ − ∞ , 0 · ∞ , 00 , ∞∞ , 1 ∞^ , 00 , ∞^0

El siguiente teorema permite calcular un límite indeterminado que pronto necesitaremos:

Teorema:

Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) y l´ım f = l´ım h = L ⇒ l´ım g = L.

( x → a, a+, a−, +∞ ó −∞, todos valen)

L−ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L+ε ⇒ |g(x)−L| < ε ,

y los < de los extremos se dan pues f , h → L.

Calculemos el siguiente límite indeterminado (que será inmediato con L’Hôpital o Taylor), usan-

do sólo propiedades trigonométricas (basadas en la no muy rigurosa definición de sen x , que ya

hemos dicho que aceptamos) y el teorema anterior:

0

x senx

tanx

1

sen x x

x→ 0

1. Si x > 0 , por el significado geométrico de sen x y tan x :

sen x < x < sen cos^ xx ⇒ 1 < senx x < cos^1 x ⇒ cos x < senx x< 1.

Como cos x →

x→ 0 +

1 , el teorema anterior prueba el límite para x > 0.

Si x < 0 , por ser senx x= sen −^ (−x x), reducimos el límite al anterior.

Mucho más fáciles de calcular serían (no son indeterminados):

Ej. l´ım x→ π 2

sen x x =^

sen(π/ 2 ) π/ 2 =^

2 π , por ser esta función continua en^ x^ =^

π

[Hay una idea errónea que suele estar muy extendida: esta función (como otras) no es continua en el punto porque al sustituir x por π 2 salga f ( π 2 ) (faltaría más). Lo es (y por eso es fácil el límite y basta con sustituir) porque se ha demostrado que sen x y x son continuas y que el cociente de continuas con denominador no nulo también lo es]. Ej. (^) x→±l´ım∞^ senx x= 0 , pues sabemos que “ acot ±∞ = 0”.

2.3 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos

Teorema:

f continua en c y f (c) > 0 [< 0] ⇒ ∃δ > 0 tal que f (x) > 0 [< 0] si x ∈ (c − δ , c + δ )

Dado ε = f (c) , ∃δ > 0/ si |x − c| < δ ⇒ | f (x) − f (c)| < f (c) ⇒

f (x) − f (c) > − f (c) ⇒ f (x) > 0 [si f (c) < 0 tomamos ε = − f (c)]

c

Teorema de Bolzano para funciones continuas:

f continua en [a, b] , f (a) < 0 < f (b) ⇒ existe algún c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

[La gráfica corta el eje x en algún punto (el teorema no dice dónde), quizás en más de uno].

a b

Sea A =

x ∈ [a, b] : f (x) ≤ 0

= ∅ (a ∈ A) y acotado superiormente

(por b) ⇒ existe c = sup A. Probemos que f (c) = 0 :

c

cota más pequeña

c

no es cota de A

Si f (c) < 0 ⇒ ∃δ / f (x) < 0 en (c − δ , c + δ )

y c no sería cota de A.

Si f (c) > 0 ⇒ ∃δ / f (x) > 0 en (c − δ , c + δ )

y habría cotas menores.

En ninguno de los dos casos c podría ser el supremo de A.

Teorema:

f continua en [a, b] ⇒ f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b).

a a b b

[Normalmente tomará más y si f no es continua, no tiene que tomarlos, como muestran los dibujos de la izquierda].

Si f (a) < f (b) , sea p con f (a) < p < f (b). La función

g = f − p es continua en [a, b] con g(a) < 0 < g(b). El teorema de Bolzano asegura que

existe c ∈(a, b) con g(c) = 0 , es decir, con f (c) = p. Si f (a)> p > f (b) , como − f es

continua y − f (a) < −p < − f (b) ⇒ ∃c ∈ (a, b) tal que − f (c) = −p.

Hemos hablado de conjuntos acotados y del máximo de un conjunto, pero no de una función.

De modo natural, f se dice acotada en A ⊂ R si lo está el conjunto f (A) = { f (x) : x ∈ A}

y se define valor máximo de f en A como el máximo del conjunto f (A) (en caso de que

exista). Análogamente se define valor mínimo de f en A.

a (^) b

Ej. La función del dibujo (que sí es acotada) no tiene valor máximo en [a, b] , aunque sí valor mínimo (se alcanza en b y su valor es 0 ); está claro que no es continua en [a, b].

Teorema: f continua en [a, b] ⇒ f acotada en [a, b].

Si f no estuviese acotada superiormente podríamos escoger un xn ∈ I ≡ [a, b] con f (xn) > n para cada n ∈ N. Como {xn} acotada, existe {xn (^) j } → xo ∈ I (por ser cerrado). Como f es continua en xo tendríamos f (xn (^) j ) → f (xo) , lo que es imposible pues { f (xn (^) j )} no está acotada (> n (^) j) y no puede converger. [Análogamente se vería que está acotada inferiormente].

El teorema no es cierto para (a, b) ó [a, ∞) : Ej. f (x) = (^1) x es continua pero no acotada en ( 0 , 1 ) (^0) ( )) 1 y le pasa lo mismo a^ f^ (x) =^ x^ en^ [^0 ,^ ∞)^.

x

Teorema: f continua en [a, b] ⇒ existen los valores máximo y mínimo de f en [a, b].

O sea, existen y, z ∈ [a, b] tales que

f (z) ≤ f (x) ≤ f (y) para todo x ∈ [a, b].

[Estos y, z pueden no ser únicos, desde luego]. a b

M m

Sea M =sup f (I). Existe {yn} ⊂ I tal que M− (^1) n < f (yn) ≤ M ∀n ⇒ f (yn) → M. Podría {yn} no converger pero, siendo acotada, hay seguro una {yn (^) j } subsucesión convergente hacia un y∈I. Como f continua en I , f (y) = l´ım f (yn (^) j ) = M y, por tanto, el supremo pertenece a f (I). Análogamente, o considerando − f , se ve que el ínfimo también se alcanza. [En la demostración se ve que el teorema es válido en conjuntos cerrados y acotados (se les llama compactos y son importantes en el cálculo más avanzado)].

Tampoco este teorema es cierto sustituyendo [a, b] por (a, b) o por [a, ∞) : Ej. f (x) = 1 /x es continua en ( 0 , 1 ) pero no alcanza su máximo ni su mínimo en ( 0 , 1 ). Ej. f (x) = x no tiene máximo en [ 0 , ∞) (su valor mínimo existe y vale 0 ).

Funciones uniformemente continuas en un intervalo I. [Definimos este concepto porque aparecerá en la demostración de algún teorema]. f era continua en I si lo era en cada x de I (límites laterales en los posibles extremos de I ), es decir, si ∀x ∈ I y ∀ε existe un δ (ε, x) tal que ∀y ∈ I si |y−x| < δ entonces | f (y)− f (x)| < ε.

1

1

Ej. Consideremos f (x) = (^1) x. En ( 0 , 1 ) sabemos que es continua:

∀x y ∀ε existe un δ tal que si |y − x| < δ ⇒ | (^1) y − (^1) x | < ε. Pero dado un ε se ve que el δ que debemos tomar es más pequeño según elijamos un x más pequeño. Intuitivamente está claro que no podemos encontrar un δ que valga para todos los x de ( 0 , 1 ): por pequeño que sea δ , si x es muy pequeño, la función tomará valores muy diferentes en (x − δ , x + δ ). Pero para la misma f en [ 1 , ∞) se ve que dado un ε existe un δ válido para cualquier x del intervalo (el que valga para x = 1 valdrá para también para los x > 1 ).

Def.

f es uniformemente continua en I si ∀ε existe un δ (ε) tal que ∀x, y ∈ I si |y−x| < δ entonces | f (y)− f (x)| < ε.

Ej. Acabemos de formalizar que f (x) = (^1) x no es uniformemente continua en ( 0 , 1 ) :

Sea ε = 1. Por pequeño que sea δ encontramos x, y ∈ ( 0 , 1 ) con |y−x| < δ pero | (^1) y − (^1) x | > ε. Por ejemplo, x = δ 4 , y = δ satisfacen |y−x| = 34 δ < δ pero | (^1) y − (^1) x | = (^) δ^3 > 1 (pues δ < 1 ). Formalizamos ahora que f (x) = (^1) x sí es uniformemente continua en [ 1 , ∞) : ∀ε ∃δ = ε tal que ∀x, y ∈ [ 1 , ∞) con |y − x| < δ ⇒ | (^1) y − (^1) x | = |y xy−x |≤ |y − x| < ε.

Evidentemente: f uniformemente continua en I ⇒ f continua en I.

La implicación ⇐ es falsa en general; aunque sí es válida cuando I = [a, b] :

Teorema: f continua en [a, b] ⇒ f uniformemente continua en [a, b].

Por reducción al absurdo. Supongamos a la vez f continua y no uniformemente continua en [a, b]. Existe, pues, ε > 0 tal que ∀δ > 0 podemos encontrar x, y con |y−x| < δ pero | f (y)− f (x)| ≥ ε. En particular, para cada δ = (^1) n tenemos {xn}, {yn}⊂[a, b] con |yn−xn|< (^1) n y | f (yn)− f (xn)|≥ε ∀n. {xn} acotada ⇒ ∃{xn (^) j } convergente a un c (∈ [a, b] por ser cerrado) ⇒ f (xn (^) j ) → f (c) ( f es continua). Como |yn (^) j −xn (^) j | < 1 /n (^) j → 0 también f (yn (^) j ) → f (c) y por tanto | f (yn (^) j )− f (xn (^) j )| → 0 , lo que está en clara contradicción con el hecho de que | f (yn (^) j ) − f (xn (^) j )| ≥ ε ∀n (^) j. [En la demostración se ve que también este teorema será válido en cualquier conjunto compacto].