Análisis Estadístico: Variance, Desviación Tipica y Rectas de Regresión - Prof. 2652, Apuntes de Sociología

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MATERIAL DIDÁCTICO

Matemáticas nº 6

Zenaida Hernández Martín

MÉTODOS DE ANÁLISIS DE DATOS

(APUNTES)

UNIVERSIDAD DE LA RIOJA

SERVICIO DE PUBLICACIONES

2012

Pr´ologo

Este libro no pretende ser nada m´as que lo que es: unos apuntes completos de lo que se imparte en las clases de M´etodos de An´alisis de Datos. Un documento de ayuda a los estudiantes, para que puedan dedicarse a escuchar atentamente las explicaciones del profesor y a resolver los ejemplos y ejercicios planteados en clase y, a la vez, que sus apuntes est´en completos, las definiciones correctas, las explicaciones est´en recogidas y que las f´ormulas est´en correctamente escritas. Aunque se incluyen algunos ejemplos, en estos apuntes no se incluye, como suele ser habitual, una lista de problemas, al menos en esta primera versi´on. Por otra parte, los contenidos te´oricos impartidos en clase se deben completar con unas pr´acticas en aula inform´atica, en las que se aprender´a a hacer un an´alisis estad´ıstico utilizando un software adecuado. Estas pr´acticas abarcan desde la obtenci´on de datos a partir de las fuentes m´as habituales de informaci´on estad´ıstica, al an´alisis de los mismos, tanto de forma descriptiva como mediante la realizaci´on e interpretaci´on correcta de los contrastes de hip´otesis m´as habituales (los apuntes de estas pr´acticas tampoco est´an contenidos en este libro). La mayor´ıa de los gr´aficos y tablas que aparecen en estos apuntes se han realizado con el software de StatSoft, Inc. (2007). STATISTICA (Sistema inform´atico de an´alisis de datos), versi´on 8.0. www.statsoft.com, que es el que se est´a utilizando actualmente en las clases pr´acticas. Hablemos del contexto. La asignatura de M´etodos de An´alisis de Datos es una asig- natura de Estad´ıstica B´asica, que se imparte en varias titulaciones, sobre todo de las llamadas de letras y cuyos contenidos est´an pensados para familiarizar a los estudiantes con las t´ecnicas m´as elementales de la Estad´ıstica, con su manejo y su interpretaci´on. El objetivo de la asignatura es que los estudiantes conozcan distintas medidas y t´ecni- cas estad´ısticas, sepan cu´ando aplicarlas y sobre todo, c´omo interpretarlas. No se pre- tenden grandes sesiones de c´alculo y tampoco se hace mucho hincapi´e en el fundamento matem´atico, sino que se busca la comprensi´on de los estad´ısticos, cu´ando, para qu´e y por qu´e aplicarlos. Seg´un los objetivos descritos para esta asignatura en los distintos Grados en los que se imparte, el estudiante debe adquirir una serie de competencias y habilidades, entre las que se encuentran las siguientes:

Deber´a ser capaz de enfrentarse a una situaci´on y reconocer, si lo hay, un problema 3

estad´ıstico. Por otra parte, a la vista de una serie de resultados estad´ısticos, debe ser capaz de interpretarlos, resumiendo la informaci´on y/o describiendo la situaci´on de una forma coherente. Deber´a adquirir conocimientos estad´ısticos b´asicos suficientes para comprender y defender o rechazar argumentos estad´ısticos de la vida cotidiana. Deber´a conocer y aplicar las t´ecnicas m´as utilizadas para la presentaci´on y resumen de datos unidimensionales y bidimensionales, tanto cuantitativos como cualitativos. Deber´a ser capaz de elaborar, presentar y defender un informe de la materia bien estructurado, utilizando el lenguaje correcto y la terminolog´ıa adecuada.

Para conseguirlo, se ha pensado en un temario que incluye 10 temas y que son los que constituyen este curso. Este documento est´a basado en el desarrollo del temario de la asignatura durante los cursos 2009-2010 y 2010-2011, de modo que se ajusta en tiempo y contenidos a los objetivos que se pretenden, por lo que es v´alido no solo para los estudiantes, sino tambi´en, como marco de referencia, para cualquier profesor que tenga que abordar por primera vez esta asignatura o alguna similar. Como dec´ıa al principio, este libro no pretende ir m´as all´a de los apuntes, completos, de clase. Tras el ´Indice, se comentan cuatro libros que se ajustan bastante al temario y al nivel de esta asignatura. Para acceder a otras explicaciones y/o ampliar conocimientos tienen en la Biblioteca de la Universidad bibliograf´ıa actualizada m´as que suficiente. Por ´ultimo, no ser´ıa justo terminar esta peque˜na introducci´on sin agradecer a mis compa˜neros Montse San Mart´ın, Juan Carlos Fillat y David Ortigosa, sus aportaciones y correcciones y sobre todo por su apoyo para que estos apuntes pudieran salir a la luz.

Logro˜no, julio de 2011

Bibliograf´ıa comentada

En la Biblioteca de la Universidad se dispone de abundante bibliograf´ıa actualizada, con la que se pueden completar estos apuntes y profundizar m´as en el temario. Aqu´ı se recomiendan algunos libros, que permiten completar la informaci´on de cada tema, tanto por su facilidad de comprensi´on como por ajustarse bastante a los contenidos que nos interesan.

Introducci´on a la Estad´ıstica Econ´omica y Empresarial, Mart´ın-Pliego L´opez, F. J.; Ed. Thomson. Madrid. 2004 (3a^ edici´on). Incluye los temas: 2, 3, 8, 9 y 10. Lecciones de Estad´ıstica Descriptiva. Curso te´orico-pr´actico, Tomeo Perucha, V. y U˜na Ju´arez, I.; Ed. Thomson. Madrid. 2003. Incluye los temas: 2, 3, 8, 9 y 10. An´alisis de datos en Psicolog´ıa I. Teor´ıa y ejercicios. Botella, J. y otros; Ed. Pir´ami- de. Madrid. 2001. Incluye los temas: 2, 4, 5, 6, 8 y 9. Estad´ıstica para las ciencias del comportamiento. Pagano, R.; Ed. Thomson. M´ejico. 1999 (5a^ edici´on). Incluye los temas: 2, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

12 TEMA 1. ESTAD´ISTICAS ECON OMICAS Y SOCIALES´

total de los 27.94 millones de personas que perciben alg´un ingreso (asalariados, pensionistas, parados y aut´onomos), el 63 % tiene unos ingresos brutos mensuales inferiores a los 1100 euros). Mientras que por otro lado nos dicen que el sueldo medio mensual en Espa˜na es de m´as de 1500 euros. Tenemos que renovar el alquiler con la subida del IPC. Nos dicen que los precios suben un 2 % (y no nos suben m´as el sueldo), pero a nosotros no nos llega para comprar lo mismo que el a˜no pasado. Estamos viendo un partido de baloncesto y tenemos la informaci´on de la diferencia de puntos en cada minuto. Son muchas las situaciones en las que vamos a tener que tomar decisiones importantes. Para ello tendremos que conocer, de alguna forma, la situaci´on concreta que estamos analizando por lo que debemos manejar informaci´on sobre la misma. Desgraciadamente no siempre podremos basar nuestras decisiones en la experiencia, pero cuando esto es posible, entra en juego la Estad´ıstica. Por lo tanto, las situaciones que nos interesan aqu´ı son aquellas en las que vamos a manejar datos para ayudarnos a tomar nuestras decisiones. Una vez que tenemos los datos, la investigaci´on social se puede utilizar con dos enfo- ques: para describir el fen´omeno o para tomar decisiones. A partir de una masa de datos, la Estad´ıstica Descriptiva nos permite describir la situaci´on analizada. Para ello se utilizan m´etodos de reducci´on de la masa de datos, c´alculo de promedios, dispersi´on o tendencias, que nos permiten sacar conclusiones de estos datos. Supongamos, por ejemplo, que conocemos las notas de selectividad de los 225 estu- diantes que se matricularon en septiembre en una universidad peque˜na. Esto constituir´ıa una masa de datos. Vamos a manejar una tabla ficticia para este ejemplo, pero m´as adelante veremos que en muchas ocasiones (no en todas) se pueden conseguir los datos reales sin mucha dificultad. 7.3 4.2 6.5 4.0 4.7 7.7 8.0 2.2 6.6 3.4 5.6 8.9 7.0 9.9 7. 7.9 4.4 4.1 3.5 4.0 5.3 3.0 7.8 6.2 6.5 4.3 7.1 7.5 3.0 3. 5.0 7.4 6.0 6.9 8.8 5.7 6.8 5.1 4.0 6.1 3.3 8.4 9.3 7.2 3. 5.0 9.8 5.8 9.1 8.3 4.4 8.4 5.4 7.0 5.6 6.3 7.7 6.4 5.8 3. 0.9 8.1 8.1 6.3 5.7 3.0 4.5 8.5 9.6 7.6 1.8 7.0 2.6 3.2 4. 3.7 4.3 6.7 3.9 8.5 8.3 3.3 6.4 4.2 8.5 5.9 7.2 7.2 5.8 2. 5.1 1.2 4.0 5.4 5.2 6.6 1.0 2.7 6.2 9.3 8.1 2.0 9.6 4.5 4. 6.0 9.2 9.0 8.8 7.3 5.4 6.5 5.1 6.0 8.2 4.7 5.1 4.9 5.6 8. 8.0 5.4 6.5 3.2 8.1 4.2 2.3 4.0 4.6 7.8 6.7 5.9 6.8 6.2 8. 6.2 4.8 6.8 7.5 7.4 6.7 4.7 4.5 1.4 3.3 2.1 6.8 6.1 7.6 4. 1.3 6.7 7.2 8.2 6.2 2.6 5.4 5.0 8.5 6.1 8.7 6.1 0.3 3.9 6. 4.1 1.7 7.0 6.1 4.8 9.0 5.7 6.2 7.3 8.7 8.5 4.6 8.7 7.3 9. 5.1 9.1 8.0 1.2 6.3 3.4 3.6 8.7 9.2 3.1 5.4 6.5 3.8 8.2 9. 3.9 7.7 9.4 5.9 7.7 8.8 6.2 2.3 6.4 7.8 3.6 7.1 4.8 3.6 6. 7.1 7.8 4.6 6.0 8.9 4.7 8.7 4.3 5.3 6.8 1.8 2.3 6.3 9.1 8.

1.1. LA UTILIDAD DE LA ESTAD´ISTICA 13

La simple observaci´on directa de esta masa de datos (son n´umeros) no nos permite sacar conclusiones respecto a los mismos. Sin embargo, utilizando las t´ecnicas de Estad´ısti- ca Descriptiva, incluso las m´as elementales, podemos describir el comportamiento de las calificaciones de los estudiantes con bastante precisi´on. En los pr´oximos temas veremos con detenimiento estas t´ecnicas, pero ahora, como ejemplo, vamos a ver su utilidad: Un primer paso para sacar alguna conclusi´on de esta masa de datos consiste en redu- cirla. Para ello se procede a ordenarlos y agruparlos en categor´ıas (este proceso se conoce como tabulaci´on):

De esta forma, podemos comenzar a hacernos una idea de la distribuci´on de la variable estudiada (calificaciones). La simple observaci´on de la tabla nos permite decir que la mayor´ıa de las calificaciones est´an en la parte central y que en los extremos hay pocas observaciones; que hay 74 suspensos que corresponden al 32.89 % de las observaciones o que lo m´as habitual es tener una nota en el intervalo [6,7). En la mayor´ıa de las ocasiones, tambi´en es interesante representar gr´aficamente esta informaci´on ya que la interpretaci´on suele ser m´as sencilla:

1.1. LA UTILIDAD DE LA ESTAD´ISTICA 15

Podemos afirmar (porque es una creencia o porque nos da la impresi´on) que fuman m´as los hombres que las mujeres o que una determinada enfermedad tiene mayor incidencia en una provincia o en otra. Sin embargo, si tenemos que tomar una decisi´on basada en estos hechos, deber´ıamos saber cu´al es el nivel de confianza de estas afirmaciones, hasta qu´e punto podemos apoyarnos en ellas. Esto lo haremos con los contrastes de hip´otesis. Est´a claro que si tenemos informaci´on completa de un fen´omeno, no hay nada que contrastar. Si en la Universidad de La Rioja se han matriculado 3000 hombres y 3600 mujeres, podemos afirmar con certeza absoluta que hay m´as mujeres que hombres. Sin embargo, hay informaciones que nos interesa contrastar ya que depender del sentido com´un o de las experiencias cotidianas tiene sus limitaciones y son muchas las ocasiones en las que las ((creencias populares)) no coinciden con la realidad. Por ejemplo: ((En la Universidad de La Rioja es m´as probable que tengan el carn´e de conducir los hombres que las mujeres)); esta afirmaci´on se puede deber a una impresi´on por lo que se ve, pero no se sabe a ciencia cierta. Si queremos utilizarla con propiedad habr´a que contrastarla. Por otra parte, en la Universidad de La Rioja hay unos 6600 alumnos, por lo que quiz´as no nos sea posible entrevistarlos a todos para saber si tienen carn´e o no y distinguir por sexo a los conductores. En este caso habr´ıa que tomar una porci´on o muestra del grupo grande que queremos analizar (poblaci´on), probaremos la hip´otesis para la muestra y decidiremos si es posible y correcto extender el resultado a la poblaci´on de la que se obtuvo la muestra. El problema de generalizar, o hacer inferencia, es que al tomar una muestra estamos asumiendo que existe un error inevitable, por muy bueno y correcto que haya sido el muestreo. No podemos garantizar nuestra respuesta con una seguridad del 100 %. Si en la tabla de las notas tomamos varias muestras de 5 calificaciones, veremos que las me- dias para cada una de las muestras son distintas a la media global: 5.92. Esto es lo que llamaremos error de muestreo. Supongamos para simplificar que la mitad de los alumnos son hombres y la otra mitad mujeres, y que a partir de las listas de alumnos tomamos una muestra de 100 hombres (1 de cada 33) y otra de 100 mujeres (1 de cada 33), ahora les preguntamos si tienen el carn´e o no. Consideramos las siguientes tres respuestas: Respuesta 1 Respuesta 2 Respuesta 3 H M H M H M Carn´e SI 60 40 55 45 51 49 Carn´e NO 40 60 45 55 49 51 Totales 100 100 100 100 100 100

Las 3 respuestas est´an de acuerdo con nuestra hip´otesis, pero lo que a nosotros nos interesa es saber si estas diferencias son lo suficientemente importantes como para gene- ralizarlas a todos los estudiantes. Es decir, nos preguntamos si las diferencias encontradas

16 TEMA 1. ESTAD´ISTICAS ECON OMICAS Y SOCIALES´

se deben al comportamiento de toda la poblaci´on o solo se deben a la muestra elegida. ¿Hasta qu´e punto estamos dispuestos a aceptar la hip´otesis con estos resultados?, ¿en qu´e punto es suficientemente grande la diferencia como para considerarla real?, la Inferencia Estad´ıstica nos permitir´a tomar nuestra decisi´on de una forma sencilla y con un nivel de confianza determinado.

1.2. Definiciones iniciales

En los comentarios anteriores hemos estado utilizando algunos t´erminos estad´ısticos sin conocer cu´al es su definici´on correcta. Para poder trabajar en Estad´ıstica es conveniente tener claros los conceptos y utilizar un lenguaje com´un, que no d´e lugar a confusi´on, por lo que vamos a proceder a dar algunas definiciones b´asicas. Para poder realizar cualquier an´alisis estad´ıstico debemos disponer de unos datos. Y estos datos corresponden a los valores obtenidos al estudiar determinadas caracter´ısticas en los elementos de un conjunto de entes. Para fijar el lenguaje que utilizaremos, estableceremos los siguientes t´erminos:

Poblaci´on es el conjunto de entes (personas, animales o cosas) sobre los que se va a llevar a cabo la investigaci´on estad´ıstica.

Elemento es cada uno de los componentes de la poblaci´on (pueden ser simples o com- puestos).

Tama˜no de la poblaci´on es el n´umero de elementos que la componen.

Caracteres son las cualidades o rasgos comunes a toda la poblaci´on que vamos a estudiar. Pueden ser cuantitativos (variables) o cualitativos (atributos). Aunque existe el an´alisis estad´ıstico de los caracteres cualitativos (se ver´a al final del temario), cuando se habla de an´alisis estad´ıstico, generalmente nos referimos al an´alisis de las caracter´ısticas cuantitativas observadas en los elementos de una poblaci´on. Por lo tanto, generalmente trabajaremos con variables estad´ısticas que, atendiendo a los valores que pueden tomar, pueden ser discretas o continuas; y esta diferencia hace que en muchas ocasiones tengan un tratamiento diferente.

Diremos que una variable estad´ıstica es discreta si dados dos valores distintos de la variable, entre ellos no puede haber m´as que un n´umero finito de valores de la variable, por muy alejados que est´en entre s´ı. Por ejemplo: n´umero de hijos. Diremos que una variable estad´ıstica es continua si, dados dos valores distintos de la variable, entre ellos hay infinitos posibles valores de la variable, por muy pr´oximos que est´en entre s´ı. Por ejemplo: peso, tiempo...