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C O L E C C I Ó N D E

E J E R C I C I O S

E S TA D I S T I C A I I

G R A D O D E E C O N O M I A

C U R S O 2 0 1 2 - 1 3

D I S T R I B U C I O N D E

E S TA D I S T I C O S

PROBLEMA 1.

La variable aleatoria  es N ( 0 , 1 ), y las variables  1   2 ............  10 son N ( 0 , 3 ). Se

pide, supuesta la independencia calcular P (   7 / 30 ), siendo

2 10

2 2

2

PROBLEMA 2.

Sea ,

siendo las ξi, N(0,2) e independientes. Se pide

PROBLEMA 3.

Sea la variable

siendo ξ N(0,2) y las restantes N(0,3). Supuestas independientes todas las ξ, se pide

PROBLEMA 4.

Dada una población representada por la variable aleatoria^ ^ con distribución de probabilidad:

2 2 2

100, muestreo aleatorio simple, determinar la probabilidad de que el estadístico media muestral

a x , esté comprendido entre los valores 23,55 y 28,1.

PROBLEMA 9.

Se considera una población representada por la variante^ ^ , de suerte que la distribución de

probabilidad de la población es normal, con desviación típica igual a 10. Determinar la probabilidad de que el estadístico media muestral supere el valor medio poblacional en por lo menos 0,2, supuesto extraídas muestras de tamaño 100, muestreo aleatorio simple.

PROBLEMA 10.

Se considera una población representada por la variante^ ^ de suerte que la distribución

poblacional es una distribución

N ( 5 , 0 ' 1 )

. Supuesto extraídas muestras de tamaño 16, muestreo aleatorio simple, determinar:

P ( 5  ax  5 ' 2 )

2

PSx 

PROBLEMA 11.

De una población N(5,) se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral tome valores entre 5,8 y 6,1, si:

a) n = 21

b) n = 100 Suponiendo en ambos casos (^)  ( x (^) i  ax )^2  1280

PROBLEMA 12.

Si X e Y - muestras aleatorias simples de tamaños n y m respectivamente-, representan la

información obtenida acerca de dos fenómenos aleatorios representados por las variables  1 y  2

respectivamente, de cuyo comportamiento en probabilidad se sabe que:

E (  1 )  1

2

V (  1 ) 1

E (  2 )  2

2

V ( 2 )  2

Determine la media y la varianza del estadístico t X Y (^ ,^^ )^ x^ ^ y , diferencia de medias muestrales.

PROBLEMA 13.

Un economista piensa que el incremento salarial de los empleados del sector bancario sigue una distribución normal con desviación típica 3.37. Se toma una muestra aleatoria de 16 empleados del sector.

1. Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que 1.99.
2. Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 2.89.

PROBLEMA 14.

Sea una población de Poisson de parámetro   2. En el muestreo aleatorio simple, se pide:

1. Distribución exacta de la media muestral para muestras de tamaño n=
2. Probabilidad de que la media muestral se desvíe de la media poblacional a lo sumo 0, unidades, en muestras de tamaño n=.

PROBLEMA 15.

De una población B(1;0,4) se extrae una m.a.s de tamaño n. Discutir la distribución de probabilidad del estadístico proporción muestral y calcular las siguientes probabilidades:

1. Si n=

P (^)  0.15  p 0.45

2. Si n=

P (^)  p 0.45

PROBLEMA 16.

Sea una población representada por la variable aleatoria X cuya función de densidad es la siguiente:

  2

x

f x e x



Si extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño 100, contestar a las siguientes cuestiones

1. Discutir razonadamente la distribución de probabilidad de la media muestral
2. Calcular

P (^) 1.8  ax 2.3

3. Determinar el valor de Z tal que

P a  (^) x  Z  0.

PROBLEMA 17.

Los productos de un fabricante A tienen una duración media de 1400 horas, con una desviación típica de 200 horas. Los de otro fabricante B tienen una caducidad media de 1200 horas con desviación típica de 100 horas. Si tomamos muestras al azar de 125 unidades de cada fabricante.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los productos del fabricante A tengan una duración media al menos de 1440 horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los productos de A tengan una duración media de más de 250 horas que los del fabricante B?

E S T I M A C I Ó N P U N T UA L.

P R O P I E D A D E S Y M É T O D O S

D E O B T E N C I Ó N D E

E S T I M A D O R E S

PROBLEMA 21.

Una variable se distribuye uniformemente en ^0 ,^ . Mediante una m.a.s. se estima^ ^ de forma

que x

 * Ka

. Determinar el valor de K para que el estimador  * sea insesgado.

PROBLEMA 22.

En una población N^ (^ ,^1 )se estima^ ^ a través de una m.a.s. de tamaño 2, empleándose dos

estimadores

 1 y

 2 tales que:

1 2

1

  x  x

1 2

2

  x  x

¿Son eficientes estos estimadores?

PROBLEMA 23.

Estimamos el parámetro poblacional^ ^ , de una población N^ (^ ,^ )a través de la primera

componente muestral, muestreo aleatorio simple, establecer si dicho estimador es:

1. Consistente.
2. Eficiente.

PROBLEMA 24.

Supongamos una Población con distribución Normal, de la que se va a extraer una muestra

aleatoria simple de tamaño “n”. Y fijémonos en los estadísticos varianza muestral

2 S n (^) ,

cuasivarianza muestral

2 Sn (^)  1 y estadístico

V (^) definidos en este Tema y en los estadísticos

elaborados a partir de ellos:

n

n

nS

n

n

n S

1. Deduzca el siguiente resultado:

2 n

nV





2. Basándose en las propiedades de la distribución

 (^) (concretamente en las expresiones de su media y su varianza) determine razonadamente:

2.1:

2 2 *

E ^ S n ^ , E ^ Sn  1 ^ y E V ^ 

2.2:

2 2 *

V  Sn  , V  S n  1  y V V 

Compare los resultados obtenidos.

PROBLEMA 25.

Averiguar si es eficiente el estimador

  ax

para estimar el parámetro^ ^ de una población

B (4,  ). ( a^ x es la media muestral).

PROBLEMA 26.

Verificar que las familias de distribuciones que se indican al final, son exponenciales, determinando en cada caso la forma del estadístico suficiente:

1. Binomial (n,p)
2. Binomial (1,p)
3. Poisson

4. Normal (,^ )

PROBLEMA 27.

Sea una población^ ^ que se distribuye N (^ ^ ,^ ^ ). Obtener el estimador verosímil de



y^ ^.



PROBLEMA 32.

Con objeto de planificar su producción, una empresa supone que el artículo que ofrece puede ser adquirido por el 40 % o por el 50% de los habitantes de una gran ciudad. Consultado diez de estos, solo tres de ellos se muestran dispuestos a la adquisición del producto. ¿Qué proporción, de las dos contempladas, será tomada en consideración si la elección entre ambas la efectúa la empresa, con base en el criterio de la máxima verosimilitud?

PROBLEMA 33.

Determinar, por el método de los momentos, el estimador del parámetro poblacional^ ^ , y comprobar si el estimador obtenido es o no un estimador insesgado, para los casos en que la distribución poblacional sea:

1) La distribución binomial B ( h ,^ )

2. La distribución de Poisson, de parámetro^ 
3. La distribución uniforme

 

si 0

0 para el resto de valores

x

f x

 ^ 

4) la distribución normal, N (,^ )

(Supuesto extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio simple).

PROBLEMA 34.

Sea^ ^ el parámetro de la distribución de Poisson asociada a la población que se desea

estimar a partir de una muestra aleatoria simple

X  (^)  X (^) 1 , X (^) 2 , X 3 

. Comparar lo errores cuadráticos medios de dos estimadores:

• (^1 2 ) 1

• 1 2 3 2

X X X

X X X

PROBLEMA 35.

Para estimar la proporción de clientes de un banco que están insatisfechos con cierto producto financiero, se ha extraído una muestra aleatoria simple de clientes. A partir de la información obtenida se ha calculado la proporción de clientes de la muestra que están insatisfechos. Demuestre si la proporción muestral es o no una estimación consistente de la verdadera proporción de clientes insatisfechos.

PROBLEMA 36.

Sea (x 1 ,…..,x (^) n) una muestra aleatoria simple de tamaño n de una variable aleatoria ξ que sigue

una distribución de probabilidad uniforme en el intervalo (θ-2 , θ+1).

Se sabe que :  ^ 2

1 E    y   4

3 Var  

Se pide: a) Discutir si la media muestral a (^) x es un estimador insesgado de θ. Calcular la varianza de la media muestral a (^) x b) Basándose en el apartado anterior proponga un estimador de θ que sea insesgado.

PROBLEMA 37.

De una población representada por la variable aleatoria^ ^ con función de densidad:

 

2

3

; para 0

x

f x  x 



   (^) y con    

y

E    V    , se va a

extraer una muestra (m.a.s.) X de tamaño “n”.

1º: Obtenga el estimador

 (^) , por el método de los Momentos , del parámetro .

2º: Deduzca su valor medio  

E  (^) y su varianza  

V  (^).

3º: ¿Es

 un estimador insesgado? ¿Por qué?

4º: ¿Es

 (^) un estimador consistente? Razone el cumplimiento de la condición suficiente.

2. Si se toma como desviación típica de la población en el apartado anterior, determinar un intervalo de confianza para la demanda media del 95 %. a) sin efectuar hipótesis sobre la distribución de la demanda. b) Suponiendo que la demanda se comporte con arreglo a la ley normal.

 : demanda del bien

 

 

2

E

V

Muestra (m.a.s.) X^ :^ ^ x 1^ ,^ x 2^ ,...,^ xi^ ,..., x 10 

PROBLEMA 42.

Dada una población representada por la variante  cuya distribución de probabilidad se supone

N(  ,4), elaborar el intervalo de confianza para la estimación del parámetro  al nivel de significación del 5 %, con base en una muestra aleatoria simple de tamaño 100. Una vez obtenido dicho intervalo, cuál deberá ser el nuevo tamaño muestral si se pretende:

a) aumentar la confianza de la estimación hasta el 99 %, manteniendo constante la precisión. b) Aumentar al doble la precisión de la estimación obtenida, manteniendo constante la confianza de la estimación en el 95 %.

PROBLEMA 43.

Una empresa desea determinar la proporción de clientes dispuestos a demandar el producto que ofrece. Para ello consulta al azar a 100 de ellos, siendo los resultados obtenidos los siguientes: el 20 % estaría dispuesto a demandar el producto y el 80 % restante no. Establecer: a) la estimación de la proporción poblacional.

Si se toma como desviación típica poblacional la que resulta de hacer uso de la estimación anterior, determinar el intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional,

PROBLEMA 44.

De dos poblaciones normales se extraen sendas muestras aleatorias simples de tamaños

n 1  21 y n 2  31 respectivamente, y resultando ser las varianzas muestrales respectivas 16

y 36. Construir el intervalo de confianza del 90% para

2 1 2 2

y

2 2 2 1

PROBLEMA 45.

Una empresa se dedica a la producción de una determinada pieza del sistema eléctrico del automóvil. En el turno de la mañana el tiempo que se tarda al construir esta pieza tiene una media de 50 minutos. El gerente sospecha que el tiempo empleado en el turno de la tarde, X, presenta una media diferente de 50 minutos. Para verificarlo toma una muestra de tamaño 10 con el siguiente resultado:

10

1

^  i 

xi

a) Encontrad un intervalo de confianza al 90% para la media, suponiendo que el tiempo sigue una distribución normal con desviación estándar de 2 minutos. ¿Creéis que el gerente tiene razón con su sospecha? b) Encontrad el intervalo de confianza al 90% para la media si suponemos X sigue una distribución normal pero ahora no conocemos la desviación estándar, de los datos de la muestra sabemos que:

10

1

2   i 

xi

PROBLEMA 46.

Si la población esta representada por una variable aleatoria que se distribuye como una N(^ ^ ;

3) y se quiere estimar^ ^ mediante su estimador máximo verosímil. ¿Cuál debe ser el tamaño

de la muestra si se quiere obtener un error inferior 0,25 si el nivel de significación es del 5%?

¿Cuál seria el tamaño muestral si se quiere obtener la misma precisión con un nivel de significación del 1%?

PROBLEMA 47.

Los estudiantes de Bachillerato de una cierta comunidad autonomía duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley normal de media μ y una desviación tıpica de tres horas.

1. A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media muestral igual a siete horas. Hallar un intervalo de confianza al 96% para la media de horas de sueño de dicha población.
2. ¿Que tamaño de muestra serıa necesario si el error de estimación deseamos que sea menor de 30 minutos con un nivel de confianza del 96%?
3. ¿Que nivel de confianza obtendremos para el intervalo si consideramos muestras de tamaño 20 e imponemos un error de 1 , 3 horas?

PROBLEMA 48.

Con una muestra de tamaño 7 procedente de una población normal, elaborar el intervalo de confianza para la varianza del 90 %, sabiendo que según los datos muestrales:

 

n

i

xi ax

1

( )^2

PROBLEMA 49.

De una muestra aleatoria de 95 pequeñas empresas, 29 señalaron la mejora de calidad como “esencial” para mejorar su posición competitiva en el mercado.

1. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional.

C O N T R A S T E D E H I P O T E S I S

PROBLEMA 52.

Se desea contrastar la calidad de un gran lote de piezas. Sea X una característica aleatoria de

esas piezas, cuya distribución es N(  ,4). A causa de una seria de errores en la fabricación de

esas piezas se ignora si  es igual a 20 o igual a 22. Sin embargo, debe tomarse una decisión.

Para ello, se extrae del lote una muestra aleatoria de 25 piezas. ¿Qué decisión debe tomarse?. Constrúyase, para ello, la mejor región crítica para un nivel de significación del 5 %. ¿Qué potencia posee el contraste construido?.

PROBLEMA 53.

Se considera una población representada por la variante  , de suerte que la distribución de

probabilidad de la población es N (^ ^ ;^  ^ 5). Efectuadas dos hipótesis sobre el valor de

 (^) , H (^) 0 y H 1 tales que:

H 0 :   12

H 1 :   15

mediante una muestra aleatoria simple de tamaño 25 se contrasta la hipótesis H 0 respecto de

la hipótesis H 1^ , estableciéndose que si la media muestral es menor que 14 se aceptaría H 0.

Determinar:

1. La probabilidad de cometer el error de primera especie.
2. La probabilidad de cometer el error de segunda especie.
3. La potencia de contraste.
4. Utilizando la hoja Excel haga los cálculos necesarios para determinar y obtener la

gráfica de la función de potencia siendo la hipótesis alternativa H 1 :^ ^ ^12

5. Calcule el p-valor correspondiente en cada caso si se obtuvieran los siguientes resultados muestrales: a) x  13, 20 b) x 14, 40

PROBLEMA 54.

Al lanzarse un nuevo producto al mercado, el oferente supone que dicho producto puede ser adquirido por el 20 % de la población, si bien cabe suponer que también puede adquirirlo el 30 %. Seleccionada al azar una muestra de tamaño 400, y aceptándose la regla de decisión de que si en la muestra se manifiestan dispuestos a adquirir el producto menos del 25 % de los consultados se aceptará que el producto será adquirido por el 20 % de la población, determinar:

1. el nivel de significación del contraste.
2. la potencia de contraste.
3. Calcule el p-valor correspondiente en cada caso si se obtuvieran los siguientes valores para la proporción muestral: a) p^ ^ 0, 22 b) p^ 0, 27

PROBLEMA 55.

En una población N(  ,10), se efectúan dos hipótesis H 0 :  =100, H 1 :  =120. Determinar:

1. Las expresiones de  y .

2 La zona de aceptación de H 0 si  =5 % y n=4.

1. El valor de  en tal caso.

2. El tamaño muestral si  =  =1%, así como la zona de aceptación de H 0.

PROBLEMA 56.

Al lanzarse un nuevo producto al mercado, el oferente supone que dicho producto puede ser adquirido por el 5 % de la población, si bien cabe suponer que sea adquirido por el 8 %. Seleccionada una muestra al azar de tamaño 400 y adoptándose la regla de decisión de que si en la muestra se manifiestan dispuestos a adquirir el producto hasta el 6 % de los consultados se aceptará que el producto será adquirido por el 5 % de la población, determinar:

a) La potencia de contraste. b) El nivel de significación.

PROBLEMA 57.

La demanda de un determinado tipo de artículo ha venido comportándose durante los últimos años con arreglo a una distribución N(200,20). A la empresa que lo produce se le ofrece una “campaña publicitaria” del artículo, con objeto de aumentar sus ventas. Si bien el precio de la campaña es alto, la empresa considera que si su aplicación eleva la venta media por encima de las 250 unidades, su contratación sería rentable, con objeto de tomar una decisión, tal campaña se aplica durante un cierto período de prueba, obteniéndose como venta media, en dicho período 260 unidades, correspondientes a 35 de sus clientes habituales ¿Qué decisión adoptará la empresa, al nivel de significación del 1 %?-

PROBLEMA 58.

Dada una muestra de tamaño 4000, cuya media es 43,7 y otra muestra de tamaño 6000 cuya media es 44, establecer al nivel de significación del 12%, si debe rechazarse la hipótesis de que ambas muestras proceden de una misma población N(θ;1,5).

PROBLEMA 59.

Para poder decidir sobre la dispersión en el comportamiento de una variable aleatoria que se

distribuye como una

N   , (^)  se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 16 resultando que la varianza muestral es de valor 25.

¿Con esta información se puede aceptar que la varianza poblacional no es inferior a 25,5 si el nivel de significación es del 1%.?

hipótesis alternativa H 1 , supuestas extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio

simple.

PROBLEMA 64.

Se considera una población representada por la variante  , de suerte que la distribución de

probabilidad de la población es la distribución de Poisson del parámetro  , determinar la

mejor región crítica al nivel de significación  , para contrastar la hipótesis H 0 respecto de la

hipótesis alternativa H 1 , supuestas extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio

simple.

PROBLEMA 65.

Se considera una población representada por la variante  , de suerte que la distribución de

probabilidad de la población es N (, ). Efectuadas dos hipótesis H 0 :    0 y

H 1 :    1 acerca del parámetro poblacional  , determinar la mejor región crítica al nivel de

significación  , para el contraste de la hipótesis H 0 respecto de la hipótesis alternativa H 1 ,

supuestas extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio simple.

PROBLEMA 66.

Se considera una población representada por la variante  , de suerte que la distribución de

probabilidad de la población viene definida por la función de densidad: x

f x e





( , ) para 0  x

f ( x ,) 0 para cualquier otro valor de x

Efectuadas dos hipótesis H 0 :    0 y H 1 :    1 acerca del parámetro poblacional  ,

determinar la mejor región crítica al nivel de significación  , para el contraste de la hipótesis

H 0 respecto de la hipótesis alternativa H 1 , supuestas extraídas muestras de tamaño n,

muestreo aleatorio simple.

PROBLEMA 67.

Sea una población representada por una variable aleatoria con distribución de probabilidad

 

2

N ,  . Se plantea el siguiente contraste de hipótesis:

0

1

H

H

Si se quiere utilizar un nivel de significación del 5 %, establezca el estadístico del contraste con su distribución de probabilidad bajo la hipótesis nula y determine la región crítica.

Considerando los siguientes resultados procedentes de una muestra aleatoria simple de 9

observaciones: x  7,6985y

2

S n  2 , resuelva el anterior contraste