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An´alisis Num´erico

Notas de clase

An´alisis Num´erico

Notas de clase

Jorge Vel´asquez Zapateiro

Virgilio Obeso Fern´andez

Ediciones Uninorte Barranquilla-Colombia 2007

´Indice general

• 1. N´umeros en la Computadora
  • 1.1. Sistemas Decimal y Binario
  • 1.2. Del Sistemas Decimal al Sistema Binario
  • 1.3. N´umeros en Punto Flotante
  • 1.4. Notaci´on Cient´ıfica Normalizada
  • 1.5. Errores y Notaci´on fl(x)
    • 1.5.1. Norma Vector
    • 1.5.2. Error Absoluto y Relativo
  • 1.6. An´alisis de Error
  • 1.7. Epsilon de la M´aquina
  • 1.8. Notaci´on O de Landau
  • 1.9. P´erdida de D´ıgitos Significativos
• 2. Soluci´on de Ecuaciones no lineales
  • 2.1. Ratas de Convergencia
  • 2.2. Punto Fijo
  • 2.3. An´alisis Gr´afico del M´etodo de Punto Fijo
  • 2.4. M´etodos de Localizaci´on de Ra´ıces
    • 2.4.1. M´etodo de Bisecci´on o B´usqueda Binaria
  • 2.5. M´etodo de Falsa Posici´on o Regula Falsi
  • 2.6. M´etodo de Newton
    • 2.6.1. Convergencia del M´etodo de Newton
  • 2.7. M´etodo Modificado de Newton
  • 2.8. M´etodo de la Secante
  • 2.9. M´etodo ∆^2 de Aitken
• 3. Soluci´on de Sistema de Ecuaciones
  • 3.1. Vectores y Matrices
  • 3.2. Matrices
  • 3.3. Determinantes
    • 3.3.1. Norma Matriz vi J Vel´asquez Zapateiro/ V. Obeso Fern´andez
  • 3.4. Sistema de Ecuaciones Lineales
    • 3.4.1. Sistemas Triangulares Superior
  • 3.5. Eliminaci´on de Gauss y Pivoteo
    • 3.5.1. Transformaciones Elementales
    • 3.5.2. Operaciones Elementales en los Renglones
  • 3.6. Estrategias de Pivoteo
    • 3.6.1. Pivoteo Trivial
    • 3.6.2. Pivoteo Parcial
    • 3.6.3. Pivoteo Parcial Escalado
  • 3.7. Factorizaci´on LU
  • 3.8. M´etodo de Jacobi
  • 3.9. M´etodo de Gauss- Saidel
  • 3.10. Sistema de Ecuaciones no Lineales
    • 3.10.1. M´etodo de Newton
    • 3.10.2. Ventajas y Desventajas de M´etodo de Newton
    • 3.10.3. M´etodo de Punto Fijo
• 4. Interpolaci´on Polinomial
  • 4.1. Interpolaci´on de Lagrange
  • 4.2. Cotas de Error
  • 4.3. Polinomio Interpolador de Newton
  • 4.4. Polinomios de Hermite
  • 4.5. Aproximaci´on de Pad´e
  • 4.6. Interpolaci´on a Trozos
    • 4.6.1. Interpolaci´on Lineal a Trozos
    • 4.6.2. Interpolaci´on C´ubica o Cercha C´ubica
  • 4.7. Aproximaci´on con Polinomios Trigonom´etricos
• 5. Derivaci´on e Integraci´on Num´erica
  • 5.1. Derivaci´on Num´erica
    • 5.1.1. An´alisis de Error
  • 5.2. Extrapolaci´on de Richardson
  • 5.3. Integraci´on Num´erica
  • 5.4. Integraci´on Compuesta
    • 5.4.1. Regla Compuesta del Trapecio
    • 5.4.2. Regla Compuesta de Simpson
    • 5.4.3. Regla Compuesta de los 38 Simpson
    • 5.4.4. Cotas de Error para las Reglas Compuestas
  • 5.5. M´etodo de Integraci´on de Romberg
  • 5.6. Cuadratura Adaptativa
  • 5.7. Integraci´on Gauss-Legendre An´alisis Num´erico. Notas de clase vii
  • 5.8. Integrales Impropias
  • 5.9. Integraci´on Doble
  • ciales 6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Condiciones Ini-
    • Iniciales 6.1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden con Condiciones
  • 6.2. M´etodos de Euler y de Taylor
    • 6.2.1. M´etodo de Euler
    • 6.2.2. Cotas de Error
    • 6.2.3. M´etodo de Taylor
  • 6.3. M´etodos de Runge-Kuta
  • 6.4. M´etodos Expl´ıcitos de Adams- Bashforth
    • 6.4.1. M´etodo de Adams- Bashforth de dos pasos
    • 6.4.2. M´etodo de Adams- Bashforth de tres pasos
    • 6.4.3. M´etodo de Adams- Bashforth de cuatro pasos
  • 6.5. M´etodos de Adams-Moulton
    • 6.5.1. M´etodo se Adams-Moulton de dos pasos
    • 6.5.2. M´etodo se Adams-Moulton de tres pasos
  • 6.6. M´etodos Predictor-Corrector
    • 6.6.1. M´etodo de Milne-Simpson
  • 6.7. Sistema de Ecuaciones Diferenciales
    • 6.7.1. Aproximaci´on Num´erica
  • 6.8. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
• Bibliograf´ıa.........................................................................

viii J Vel´asquez Zapateiro/ V. Obeso Fern´andez

´INDICE GENERAL

2 J Vel´asquez Zapateiro/ V. Obeso Fern´andez

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

N´umeros en la Computadora

La aparici´on de los computadores ha hecho posible la soluci´on de problemas, que por su tama˜no antes eran excluidos. Desafortunadamente los resultados son afectados por el uso de la Aritm´etica de Precisi´on Finita, en la cual para cada n´umero se puede almacenar tantos d´ıgitos como lo permita el dise˜no del computador.

As´ı por ejemplo, de nuestra experiencia esperamos tener siempre expresiones verdaderas como 2 + 2 = 4, 3^2 = 9, (

5)^2 = 5, pero en la aritm´etica de precisi´on finita

5 no tiene un solo n´umero fijo y finito, que lo representa.

Como

5 no tiene una representaci´on de d´ıgitos finitos, en el interior del computador se le da un valor aproximado cuyo cuadrado no es exactamente 5, aunque con toda probabilidad estar´a lo bastante cerca a ´el para que sea aceptable.

1.1. Sistemas Decimal y Binario

El sistema num´erico de uso frecuente es el sistema decimal. La base del sis- tema decimal sabemos es 10. Ahora bien la mayor´ıa de las computadoras no usan el sistema decimal en los c´alculos ni en la memoria, sino que usan el sis- tema binario que tiene base 2, y su memoria consiste de registros magn´eticos, en los que cada elemento solo tiene los estados encendido o apagado.

La base de un sistema num´erico recibe el nombre de ra´ız. Para el sistema decimal como se dijo es 10 y para el binario es 2. La base de un n´umero se denota por un sub´ındice as´ı que (3.224) 10 es 3. 224 en base 10, (1001.11) 2 es 1001.11 en base 2.

An´alisis Num´erico. Notas de clase 5

con lo que P 0 2

= P 1 +

a 1 2

donde

P 1 = aK × 2 K−^2 + aK− 1 × 2 K−^3 + aK− 2 × 2 K−^4 + · · · + a 3 × 21 + a 2 × 20

o sea que a 1 es el resto de dividir a P 0 entre dos, y se continua este procedi- miento hasta que se encuentre un n´umero K, tal que PK = 0, de lo anterior se tiene el siguiente algoritmo

N = 2P 0 + a 0

P 0 = 2P 1 + a 1

PK− 2 = 2PK− 1 + aK− 1 PK− 1 = 2PK + aK PK = 0

Ejemplo 1.2.1. Utilizar el algoritmo anterior para escribir a 1357 en no- taci´on binaria.

Soluci´on

1357 = 678 × 2 + 1, a 0 = 1 678 = 339 × 2 + 0, a 1 = 0 339 = 169 × 2 + 1, a 2 = 1 169 = 84 × 2 + 1, a 3 = 1 84 = 42 × 2 + 0, a 4 = 0 42 = 21 × 2 + 0, a 5 = 0 21 = 10 × 2 + 1, a 6 = 1 10 = 5 × 2 + 0, a 7 = 0 5 = 2 × 2 + 1, a 8 = 1 2 = 1 × 2 + 0, a 9 = 0 1 = 0 × 2 + 1, a 10 = 1

1.2. Del Sistemas Decimal al Sistema Binario

6 J Vel´asquez Zapateiro/ V. Obeso Fern´andez

luego 1357 = a 10 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 = (10101001101) 2

Supongamos ahora se tiene Q ∈ R con 0 < Q < 1, entonces existen, b 1 , b 2 , b 3 , b 4 · · · ∈ { 0 , 1 }, tal que

Q = 0.b 1 b 2 b 3 b 4 b 5... ,

y por tanto

Q = b 1 × 2 −^1 + b 2 × 2 −^2 + b 3 × 2 −^3 + · · · + bk × 2 −k^ +...

si multiplicamos a Q por dos se tiene que

2 Q = b 1 + b 2 × 2 −^1 + b 3 × 2 −^2 + · · · + bk × 2 −k+1^ +...

si F 1 = f rac(2Q), donde f rac(x) es la parte fraccionaria de x, y b 1 = [| 2 Q|], donde [|x|], es la parte entera de x, entonces

F 1 = b 2 × 2 −^1 + b 3 × 2 −^2 + · · · + bk × 2 −k+1^ +... ,

multiplicando ahora a F 1 por dos se tiene que

2 F 1 = b 2 + b 3 × 2 −^1 + · · · + bk × 2 −k+2^ + · · · = b 2 + F 2 ,

donde F 2 = f rac(2F 1 ), y b 2 = [| 2 F 1 |], continuando este proceso formamos dos sucesiones {bk} y {Fk}, dadas por bk = [| 2 Fk− 1 |] y Fk = f rac(2Fk− 1 ), con b 1 = [| 2 Q|] y F 1 = f rac(2Q) se tiene entonces que la representaci´on binaria de Q es

Q =

∑^ ∞

i=

bi 2 −i

Ejemplo 1.2.2. Utilizar el algoritmo anterior para escribir a 0.234 en no- taci´on binaria.

Soluci´on Sea Q = 0.234, entonces

2 Q = 0. 468 , b 1 = [| 0. 468 |] = 0 F 1 = f rac(0.468) = 0. 468

2 F 1 = 0. 936 , b 2 = [| 0. 936 |] = 0 F 2 = f rac(0.936) = 0. 936 2 F 2 = 1. 872 , b 3 = [| 1. 872 |] = 1 F 3 = f rac(1.872) = 0. 872

CAP´ITULO 1. N UMEROS EN LA COMPUTADORA´

8 J Vel´asquez Zapateiro/ V. Obeso Fern´andez

(β − 1) ββ ︸ ︷︷· · · β︸

t−1 factores

= (β − 1)βt−^1 , fracciones positivas.

Pero, como el n´umero de exponentes es U − L + 1 en total habr´an (β − 1)βt−^1 (U − L + 1) n´umeros de m´aquina positivos y tomando los n´umeros m´aquina negativos, el total de n´umeros de m´aquina es 2(β − 1)βt−^1 (U − L + 1) + 1, teniendo en cuenta que el cero es tambi´en un n´umero de m´aquina.

Esto significa que cualquier n´umero real debe ser representado por uno de los 2(β − 1)βt−^1 (U − L + 1) + 1 n´umero de m´aquina.

Ejemplo 1.3.1. Como ejemplo, tomemos β = 2, t = 3, L = − 2 y U = 2, en este caso, las mantisas ser´ıan (0.100) 2 , (0.101) 2 , (0.110) 2 y (0.111) 2 los

cuales son la representaci´on en base dos de los n´umeros reales

y 7 8

respectivamente, el total de n´umeros es m´aquina aparecen en la siguiente

tabla

(0.100) 2 × 2 −^2 (0.100) 2 × 2 −^1 (0.100) 2 × 20 (0.100) 2 × 21 (0.100) 2 × 22

(0.101) 2 × 2 −^2 (0.101) 2 × 2 −^1 (0.101) 2 × 20 (0.101) 2 × 21 (0.101) 2 × 22

(0.110) 2 × 2 −^2 (0.110) 2 × 2 −^1 (0.110) 2 × 20 (0.110) 2 × 21 (0.110) 2 × 22

(0.111) 2 × 2 −^2 (0.111) 2 × 2 −^1 (0.111) 2 × 20 (0.111) 2 × 21 (0.111) 2 × 22

TABLA 1

que corresponden respectivamente a los n´umeros reales de la siguiente tabla

CAP´ITULO 1. N UMEROS EN LA COMPUTADORA´

An´alisis Num´erico. Notas de clase 9

TABLA 2

El total de n´umeros de m´aquina es 2(2 − 1) × 22 (2 + 2 + 1) + 1 = 41 los cuales son

1.4. Notaci´on Cient´ıfica Normalizada

En la secci´on anterior, hablamos de representaci´on punto flotante y punto flotante normalizado, de acuerdo a eso si x ∈ R est´a en base 10 este se puede normalizar tomando x = ±r × 10 n

con 0. 1 ≤ r < 10 y n un entero. Obviamente si x = 0 entonces r = 0

Ejemplo 1.4.1. 1) 732. 5051 se puede representar como punto flotante nor- malizado escribiendo 732 .5051 = 0. 7325051 × 103.

2. De la misma manera − 0 .005612 = − 0. 5612 × 10 −^2

Por otro lado si x est´a en el sistema binario, se puede representar en punto flotante normalizado si se escribe de la forma

x = ±q × 2 m,

donde 0. 5 ≤ q < 1 y m es un entero.

Ejemplo 1.4.2. 1) (101.01) 2 = 0. 10101 × 23

2. (0.0010111) 2 = 0. 10111 × 2 −^2 Nota: (0.1) 2 = 1 × 2 −^1 = 0. 5.

En una computadora los n´umeros se representan de la manera anteriormente comentada, pero con ciertas restricciones sobre q y m impuestas por la lon- gitud de la palabra. Si suponemos se tiene una computadora hipot´etica, la cual llamaremos NORM-32, y si adem´as suponemos que tiene una longitud de palabra de 32 bits (1bit = 1Binary digital), estos se distribuyen de la manera siguiente:

1.4. NOTACI ON CIENT´ ´IFICA NORMALIZADA

An´alisis Num´erico. Notas de clase 11

Ahora, hemos dicho que |m| no requiere m´as de 7 bits lo cual signifi- ca que |m| ≤ (1111111) 2 = 2^7 − 1 = 127 de modo que el exponente de 7 d´ıgitos binarios proporciona un intervalo de 0 a 127, pero el uso exclusivo de enteros positivos para el exponente no permite una representaci´on adecuada para n´umeros peque˜nos, para que esto pueda ser posible se toma el exponente en el intervalo [− 63 , 64]

Tambi´en hemos dicho que q requiere no m´as de 24 bits, por lo tanto los n´umeros de nuestra m´aquina hipot´etica tienen una precisi´on limitada que corresponde a entre 7 y 8 d´ıgitos decimales ya que el bit menos significativo en la mantisa representa unidades del orden 2−^24 ≈ 10 −^7. Esto quiere decir que n´umeros expresados mediante m´as de siete d´ıgitos decimales ser´an objeto de una aproximaci´on cuando se dan como datos de entrada o como resultados de operaciones.

1.5. Errores y Notaci´on fl(x)

1.5.1. Norma Vector

Definici´on 1.5.1. Sea V un espacio vectorial. Una funci´on g : V −→ R es una norma vector si ∀x, y ∈ V y α un escalar, se cumple que

1. g(x) ≥ 0 y g(x) = 0 si y solo si x = 0.
2. g(αx) = |α|g(x).
3. g(x + y) ≤ g(x) + g(y).

Entre las clases de norma est´an las denominadas p-normas las cuales se define como

Definici´on 1.5.2. Para 1 ≤ p < ∞ se definen as´ı

||x||p =

[ (^) ∑n

i=

|xi|p

] (^1) p .

Otra norma muy usada en an´alisis num´erico es la norma del m´aximo cuya definici´on presentamos ahora

1.5. ERRORES Y NOTACI ON FL(X)´

12 J Vel´asquez Zapateiro/ V. Obeso Fern´andez

Definici´on 1.5.3. Sea x ∈ Rn, definimos la norma del m´aximo como

||x||∞ = m´ 1 ≤axi≤n |xi|.

Nota: Si p = 1, se tiene que ||x|| 1 =

[ (^) ∑n

i=

|xi|

]

y si p = 2, se tiene que

||x|| 2 =

[ (^) ∑n

i=

|xi|^2

]^12

1.5.2. Error Absoluto y Relativo

Definici´on 1.5.4. Si x ∈ Rn^ y x?^ ∈ Rn, es una aproximaci´on a x, definimos el error absoluto como E = ‖x − x?‖.

Definici´on 1.5.5. Si x ∈ Rn^ y x?^ ∈ Rn, es una aproximaci´on a x, definimos el error relativo como

Er =

‖x − x?‖ ‖x‖

x 6 = 0.

NOTA: Si n = 1 entonces E = |x − x?| y Er =

|x − x?| |x|

x 6 = 0.

Definici´on 1.5.6. Si x ∈ R y x?^ ∈ R es su aproximaci´on, se dice que x? tiene por lo menos p - β cifras significativas exactas si E ≤ 12 β−p.

Definici´on 1.5.7. Si x ∈ R y x?^ ∈ R es su aproximaci´on, se dice que x? tiene por lo menos p - β d´ıgitos significativos exactos si Er ≤ 12 β−p+1.

Como hemos dicho los n´umeros pueden sufrir aproximaciones cuando se dan como datos de entrada o como resultados de operaciones, estas aprox- imaciones se pueden hacer de dos formas:

Truncamiento: En este proceso el n´umero se representa por medio del mayor n´umero de la m´aquina menor que el n´umero dado.

Redondeo: En este proceso el n´umero se representa por el n´umero de m´aquina m´as cercano al n´umero dado.

CAP´ITULO 1. N UMEROS EN LA COMPUTADORA´