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Tema 2. CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS
1. Introducción
2. Campo y potencial eléctricos en conductores
3. Dieléctricos
4. Capacidad y condensadores
5. Energía almacenada en un condensador
(Puede usarse la misma bibliografía que para el Tema 1).
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Asignatura: Física General II, Profesor: , Carrera: Física, Universidad: UGR
Tipo: Apuntes
2016/2017
1 / 45
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Tema 2. CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS
**1. Introducción
- Campo y potencial eléctricos en conductores
- Dieléctricos
- Capacidad y condensadores
- Energía almacenada en un condensador**
(Puede usarse la misma bibliografía que para el Tema 1).
1. Introducción
En el tema anterior, sin especificarlo explícitamente, se consideraba que los
materiales cargados eran aislantes. Sin entrar en detalles, eso significa que la carga
eléctrica no puede trasladarse en ellos, cualquiera que sea la fuerza (el campo
eléctrico) aplicada. Se dice que presentan una resistencia eléctrica infinita, y ello
supone (se trata de un modelo, todo material presenta resistencia eléctrica finita,
aunque pueda ser muy elevada) que si se sitúa una carga eléctrica o un conjunto de
ellas en cualquier punto de su volumen, la carga permanecerá en ese punto
indefinidamente.
En este tema, consideraremos de manera más realista el comportamiento de la
materia frente a la aplicación de campos eléctricos. Por un lado, se habla de
conductores , en total contraste con lo descrito antes, refiriéndonos a materiales
en los que las cargas eléctricas se mueven con extrema facilidad (con resistencia
eléctrica despreciable) cuando se las somete a campos eléctricos. Por ello, es difícil
cargarlos por fricción y la carga que adquieren se pierde muy fácilmente. Así, una
esfera metálica cargada conectada al suelo por medio de un poste metálico se
descarga en millonésimas de segundo, mientras que tarda días si el poste es de
vidrio. Asociamos por ello el carácter conductor con los metales (aunque no sea el
único caso: si un vaso de agua contiene sal o vinagre en solución también conduce
muy bien las cargas).
La razón última para este comportamiento reside en la existencia en el interior
del conductor de una elevada concentración (del orden de 10
28
m
- 3
) de electrones
prácticamente libres (sin interacciones entre sí ni con los restos atómicos de los
que provienen) que se mueven bajo la acción de cualquier campo eléctrico
aplicado sin más obstáculo que las inevitables colisiones (Figura 1 .). Tales
portadores libres de carga no existen en los aislantes.
al acercar la varilla cargada negativamente a la esfera metálica aislada de tierra, los
electrones se repelen hacia el lado opuesto, dejando el polo cercano a la varilla con
un defecto de carga negativa, o sea con carga positiva neta. Si se establece la
conexión a tierra, el exceso de electrones se pierde y el metal queda cargado
positivamente.
Esta es la base de los generadores electrostáticos , siendo los de van de Graaff
y máquina de Wimshurst los más comunes, representados en la Figura 3.
Figura 3. Generador de van de Graaff y máquina de Wimshurst.
Por brevedad, solo nos referiremos al primero de ellos. Ideado en 1931 por
Robert J. Van de Graaff, en el MIT, consta de:
- Una esfera metálica hueca, en la parte superior.
- Dos rodillos de diferentes materiales: el superior de metal conductor, y el
inferior de material aislante.
- Dos “peines” metálicos (superior e inferior) para ionizar el aire. El inferior
está conectado a tierra y el superior al interior de la esfera.
- Una cinta transportadora hecha de material aislante (comúnmente de látex).
- Un motor eléctrico para rotar el cilindro inferior.
Cuando el motor comienza a girar, los repetidos procesos de adhesión y
separación entre el rodillo inferior y la cinta, producen una cierta cantidad de
carga en el rodillo y la misma y opuesta en la cinta (Figura 3 , Figura 4 ). Debido a su
menor superficie, la densidad de carga superficial del rodillo es bastante más alta
que la de la cinta de látex o teflón. La carga positiva del rodillo atrae electrones del
“peine” inferior (conectado a tierra, v. Figura 4 ) que se depositan en la cinta, la cual
se encarga de transportar dichas cargas hacia la parte superior del generador
donde se encuentra el otro peine. Cuando la cinta entra en contacto con el rodillo
superior, le transfiere algo de carga a este último, y así junto con las cargas sobre la
superficie externa de la cinta, generan un campo eléctrico suficientemente alto
para ionizar nuevamente el aire cercano a las puntas del peine superior. De esta
manera se produce una transferencia de carga desde el peine (conectado a la
esfera metálica) hacia la cinta, quedando la esfera cargada, y la cinta descargada
(Figura 4 ). Mientras la esfera va acumulando carga, la diferencia de potencial entre
ésta y tierra va aumentando pudiendo llegar a millones de voltios (respecto de
tierra; en los modelos didácticos no pasa de 10
4
V).
Figura 4.
TRABAJO PERSONAL
Complete la descripción con un estudio de la máquina de Wimshurst.
determinado punto, se producirá una fuerte repulsión entre los electrones de
exceso, que tenderán a minimizarla haciendo máxima la distancia entre cualquiera
de ellos: ello se consigue situando ese exceso en la superficie. La reordenación de
las cargas cesa en cuanto se alcanza el equilibrio electrostático : si no se da
movimiento de cargas, eso significa que no hay campo eléctrico, luego podemos
afirmar que el campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es
nulo. Notemos que tampoco puede haber campo paralelamente a la superficie,
dado que ello supondría migración de los electrones, en contra de nuestra
hipótesis de equilibrio. Ello supone que la superficie del conductor es una
superficie equipotencial (el potencial es el mismo en todos los puntos del
interior del conductor), y las líneas de campo eléctrico serán perpendiculares a la
misma (v. Figura 6 ).
Figura 6.
Una consecuencia importante de este hecho es que toda la carga neta de un
conductor debe residir en su superficie. En efecto, basta con considerar un
conductor y una superficie gaussiana (no importa su forma) en su interior, como se
ilustra en la Figura 7. Como el campo es nulo en el interior del conductor también
lo será sobre la superficie, por lo que podemos concluir que la carga contenida será
nula, en esta y en cualquier otro volumen interno.
Figura 7
Imaginemos dos conductores separados A y B (Figura 8 ). Ambos son
equipotenciales, pero obviamente no tendrán necesariamente el mismo potencial.
Si ahora los conectamos mediante un hilo metálico, se establecerá un flujo de
electrones desde el conductor con menor potencial al de mayor potencial, hasta
que se produzca un nuevo equilibrio, y el conjunto tenga un valor común de V.
Figura 8.
Figura 10. Carga y corteza esférica conductora
Un caso particularmente importante desde el punto de vista conceptual y
también aplicado es el de las conexiones a tierra. Es un hecho experimental que si
la esfera de un electroscopio se conecta a tierra (por ejemplo a través de una
tubería, de una pica de cobre, de la toma de tierra de un enchufe, o incluso de
nuestro propio cuerpo si no estamos bien aislados), las hojas se unen y decimos
que el dispositivo se ha descargado. Describimos así el hecho de que la diferencia
de potencial entre el conductor cargado y la Tierra se hace cero. Debe notarse que
con ello nos referimos a que la carga (que nunca se destruye, recuérdese) se
redistribuye entre el electroscopio y la Tierra, capaz de recibir y ceder enormes
cantidades de carga, como ya veremos.
Consideremos el siguiente
Ejemplo:
Consideremos una esfera conductora A de radio a y carga total q A
rodeada de una
esfera hueca B de radios interior b y exterior c, concéntrica con la primera y de carga
total q B
. Si conectamos la esfera hueca a tierra, ¿cómo se redistribuye la carga del
sistema? ¿Y si conectamos su superficie interior con la esfera interior? (v. Figura 29 ).
Figura 11. Redistribución de cargas entre esferas conductoras.
Solución:
En la situación inicial,
int A
q q y
ext B int B A
q q q q q. Si conectamos la esfera
hueca externa a tierra, 0
ext
q y
int B A
q q q. Si lo que hacemos es conectar las
dos esferas, ambas estarán a igual potencial, y no debe existir carga en ningún
punto del interior. Como el exterior no se afecta (por el apantallamiento de la
corteza conductora), toda la carga queda en la superficie externa (
int
A ext A B
q q q q q
CUESTIÓN 2.
Como hemos dicho, es posible descargar un electroscopio simplemente tocándolo
con un dedo. ¿Se podrá descargar si se le acerca un cuerpo cargado aislado de
tierra?
CUESTIÓN 2.
Dibuje esquemáticamente las líneas de campo en las situaciones mostradas en la
Figura 12 ; se introduce una carga positiva en una caja conductora conectada a
tierra. Todos los cuerpos dibujados son conductores.
Figura 13.
0 0
0
E S Q S
E
es decir, el campo (normal a la superficie) es proporcional a la densidad de carga
en cada punto.
El teorema nos permite calcular la distribución de campo y potencial en
algunos casos. El primero que consideramos es la esfera cargada de radio a. Sea Q
su carga total (v. Figura 14 ). Lo primero que podemos decir es que la densidad de
carga superficial será uniforme, de valor
2
Q / 4 a
. Aplicando la ley de Gauss a
una esfera de radio r concéntrica con la esfera cargada:
2
0
2
2 2
0 0
, fuera de la esfera
, dentro
esfera
esfera
Q
d E r
Q a
E
r r
E
E S
El campo lleva, por simetría, dirección radial. Obsérvese que el campo en el
exterior coincide con el que crearía una carga puntual Q en el centro de la esfera
conductora, y que coincide con el resultado ( 2. 1 ) en la superficie de esta. El
potencial, por su parte, será constante (e igual al de la superficie) en el interior, y
coincidente con el de la carga puntual en el exterior:
0 0
2
0 0
( ) ( ) , en el interior
( ) , en el exterior
Q a
V r V a
a
Q a
V r
r r
Figura 14.
Ejemplo
Se consideran dos capas conductoras delgadas, esféricas y concéntricas, de radios R 1
y R 2
, con cargas respectivas Q 1
y Q 2
. Suponiendo que el potencial se anula en r ,
calcule el potencial en cada esfera y en r 0.
Figura 15
2.3. El caso de la Tierra
La existencia de notables fenómenos eléctricos en la atmósfera terrestre nos
debe hacer pensar que nuestro planeta está lejos de ser inactivo desde el punto de
vista electrostático. Se ha determinado experimentalmente que en las
proximidades de la superficie terrestre existe un campo eléctrico de valor 130 V/m
en la superficie, y que decrece rápidamente con la altura, hasta 40 V/m a 1 km y
prácticamente nulo a 10 km. Además, la dirección del campo se corresponde con
una carga negativa en el planeta, del orden de 0.5 MC. Podemos preguntarnos
dónde está la carga positiva correspondiente: dicha carga está situada en una capa
atmosférica que contiene moléculas ionizadas ( ionosfera ) situada a varias decenas
de km. Se explican así las tormentas eléctricas.
2.4. Efecto de un campo externo aplicado
Nos preguntamos ahora qué ocurre con la distribución de carga en la esfera
metálica en equilibrio, supongamos que descargada, cuando se sitúa en el seno de
una campo eléctrico uniforme aplicado externamente, E (las líneas de este campo
se representan discontinuas en la Figura 16 ). Dado que el campo en el interior de
la esfera debe ser cero, se producirá una redistribución de los electrones en la
esfera conductora de modo que el campo externo se cancele exactamente. El
campo externo se perturba por la esfera (que se dice que está polarizada ) y
además lo hace manera que las líneas entren y salgan perpendicularmente a esta,
de modo que el campo en realidad se refuerza (se puede demostrar que se triplica
en el caso de la esfera) en puntos como A y B.
Figura 16.
2.5. La jaula de Faraday
En el interior de una cáscara esférica conductora, libre de carga, el potencial
debe ser constante y el campo eléctrico nulo, como consecuencia de la aplicación
del teorema de Gauss a una región libre de carga. Eso significa que sea cual sea la
distribución exterior de cargas, cualquier objeto situado en el interior NO estará
sometido a la acción del campo creado por ellas, por lo que se dice que la corteza
conductora apantalla el campo externo. Aunque ligeramente menos eficiente,
puede conseguirse el mismo efecto de protección con una tela metálica de
adecuado tamaño de celda, lo que se conoce como jaula de Faraday. Se ilustran
algunos ejemplos en la Figura 17.
Figura 18. Efectos de curvatura.
Sea V el potencial constante de la superficie. Para la esfera de radio
especificado, se tendrá:
, , ,
,
,
Q R
V
R
V R
R
R
V R
E R
R
1 2 1 2 1 2
1 2
0 1 2 0
0
Claramente el campo es más intenso en los puntos de menor radio de
curvatura, por lo que en las proximidades de las puntas el campo se intensifica, lo
que se conoce como efecto punta. Inversamente, un conductor con geometría muy
alargada puesto en la atmósfera será capaz de extraer carga de una nube con una
diferencia de potencial moderada, lo que se aprovecha en el diseño de pararrayos.
La Figura 19 lo ilustra.
Figura 19. Descargas en corona y efecto punta.
Si el campo es suficientemente intenso se producirá ionización del aire en las
proximidades, lo que se conoce como ruptura dieléctrica. El fenómeno asociado de
formación de chispas (a veces llamado descarga en corona) se produce para
campos superiores a 30 000 V/cm. Hay tanto emisión de sonido como producción
de fenómenos luminosos. El sonido se debe al calentamiento intenso del aire y su
aumento local de presión, seguida de posterior descompresión. La emisión
luminosa es consecuencia de la ionización, como se ha dicho: el gas contiene
pequeñas concentraciones de electrones o iones que son acelerados por el elevado
campo eléctrico local. En esas colisiones, además de transferencia de energía
cinética se podrá producir ionización de moléculas neutras, formando lo que se
llama avalancha iónica , que se muestra en la Figura 20. Por supuesto, aunque a
escala mucho mayor, es lo que ocurre en las tormentas, pero: con 100 MV de
diferencia de potencial entre la nube y el suelo, 100 000 A de corriente, y 10-20 cm
de canal del relámpago.