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P1. Calcula la capacidad de un condensador esférico de radios R 1 y R 2. Un condensador esférico está formado por dos conductores esféricos concéntricos. Considerando las condiciones de simetría se observa que el campo eléctrico es radial y la carga en ambas armaduras está distribuida uniformemente. El campo eléctrico entre ambas armaduras, aplicando el Teorema de Gauss, es:
y la diferencia de potencial entre las armaduras:
así, para la capacidad nos queda la expresión:
Si consideramos que la distancia entre las armaduras ( R 2 – R 1 =d ), es muy pequeña frente a R 1 , podemos admitir y entonces la expresión de la capacidad es idéntica a la del condensador plano:
P2. Calcula la capacidad de un condensador cilíndrico de radios R 1 y R 2.
Las armaduras del condensador son superficies cilíndricas coaxiales de radios R 1 y R 2 respectivamente y lo consideramos de longitud infinita.
Sean V 1 y V 2 los potenciales de las armaduras y las cargas para la longitud L del condensador son Q y –Q. El campo eléctrico entre las armaduras, que se puede calcular aplicando el Teorema de Gauss (ver capítulo 3), resulta:
y la diferencia de potencial entre las armaduras:
Así, nos queda para la capacidad:
Si consideramos las armaduras muy próximas entre sí ( R 2 –R 1 =d y d<<R 1 ), tenemos:
y entonces la expresión de la capacidad se transforma en:
que coincide con la capacidad del condensador plano.
P3. Sea una esfera conductora, con centro en O y radio R. Dicha esfera, que se encuentra conectada a tierra (potencial nulo) está sometida a la influencia de una carga puntual q , situada a una distancia d de O ( d>R ). Calcular la carga que aparece en la esfera en función de q , R y d.
La esfera conductora adquiere una carga Q por influencia de la carga puntual q. El potencial en el punto O, será suma del creado por la carga puntual q y por la carga Q distribuida por la superficie del conductor. Por otra parte el potencial de la esfera al estar conectada a tierra es nulo. De esta forma tenemos:
Despejando, obtenemos el valor de la carga Q en la esfera:
P4. Dado el sistema de la figura, calcular la carga total Q de la esfera conectada a tierra, de radio interior R (^) 1 y exterior R 2.
Descomponemos el sistema en suma de dos situaciones, tal que aplicando el principio de superposición sea equivalente al sistema total. a) Si consideramos que sólo actúa la carga q 2 , estamos en idéntica situación que en el problema anterior, donde teníamos para la carga inducida en la esfera: (sobre la superficie esférica de radio R 2 ) b) Si ahora suponemos que sólo actúa la carga en el interior de la esfera, q 1 , la carga inducida por influencia total será: Q 1 = -q 1 (en la superficie interior de radio R 1 ).
De este modo la carga total inducida en la esfera será suma de las dos situaciones consideradas:
P5. Sea una distribución volumétrica de carga, cilíndrica de longitud L y radio R 1 , cuya densidad tiene por expresión F 0 7 2 =Kr , donde k es una constante positiva y r la distancia de cada punto al eje del cilindro. Rodeamos esta distribución con un cilindro conductor, conectado a tierra, coaxial con el anterior, de igual longitud y de radio R 2 y R 3 , siendo L >>( R 2 -R 1 ) y tal como se muestra en la figura. El espacio entre la distribución de carga y el conductor se rellena de un material dieléctrico de permitividad relativa F 0 6 5 r. Calcula:
a) Campo eléctrico y potencial en cada punto del espacio.
b) Energía almacenada en el sistema.
a) Al existir simetría cilíndrica, para el cálculo del campo eléctrico aplicamos el Teorema de Gauss a una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y cuyo eje coincide con el eje del sistema: Para r<R 1 : Por la simetría del problema la superficie lateral del cilindro es una superficie equipotencial, por lo tanto el campo eléctrico será perpendicular a dicha superficie y por las bases del cilindro el flujo será nulo ya que en esos puntos el vector campo eléctrico y el vector superficie son perpendiculares. Así mismo el módulo del campo eléctrico sólo depende de r , y tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie lateral. De este modo, tenemos:
La carga en el interior de esta superficie a través de la cual estamos calculando el flujo es:
donde se ha tomado como diferencial de volumen una corteza cilíndrica de espesor dr. Así, nos queda para el campo eléctrico en el interior del conductor de radio R 1 , la expresión:
En el interior del dieléctrico, para R 1 < r < R 2 , procediendo de forma análoga tenemos:
siendo la carga encerrada la total de la distribución volumétrica:
c) Si | Q |> q , halla en qué punto del interior de la esfera es nulo el potencial. Conocemos el campo eléctrico y el potencial creado por una distribución esférica de carga, Q , uniforme y de radio R , y los creados por una carga puntual q.
r > R
r < R
Aplicamos superposición: a) r < R b) r > R c) En 0 < r < R Si V =0F 0 D E Este mismo ejercicio se podría haber resuelto de la forma siguiente:
a) b) c)
a) r < R. Aplicando Gauss a la superficie de radio r de la figura:
b) b) r > R, aplicando Gauss a la superficie de radio r de la figura:
c) c) El potencial lo podemos calcular como: r > R Por simetría esférica V = V(r). Calculamos su variación en la dirección radial:
r < R
Luego, ; V =0 cuando:
P7. Una esfera metálica de radio R (^) 1 se encuentra rodeada por una capa de dieléctrico de permitividad F 0 6 5r y radio R (^) 2. Sabiendo que la carga total de la esfera conductora es Q , calcula: a) Campo eléctrico E (r) en función de la distancia r al centro de la esfera metálica, para r< R 1 , R 1 <r< R 2 , r> R 2. b) Potencial electrostático del conductor.
a) El campo eléctrico posee simetría esférica, es decir, es radial y su módulo es una función de r. La carga Q está distribuida sobre la superficie de la esfera metálica.
Aplicamos el Teorema de Gauss para calcular el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de centro O y radio r , en las siguientes situaciones: r<R 1 ya que no hay carga en el interior del conductor y sabemos que el campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo. R 1 <r< R 2 En esta situación, en el interior del dieléctrico, tenemos:
de donde obtenemos el valor del campo eléctrico en esa región del espacio:
Para, r> R 2 :
quedando para el campo eléctrico la expresión:
b) Por las mismas razones de simetría antes expuestas, las superficies equipotenciales son superficies esféricas con centro en O, es decir V = V ( r ). Una vez conocido E ( r ), el potencial del conductor lo podemos calcular como:
P8. Una lámina de cobre de espesor b se introduce dentro de las armaduras planas de un condensador de superficie S , tal como se indica en la figura. ¿Cuál es la capacidad del condensador antes y después de introducir la lámina? Antes de introducir la lámina metálica la capacidad del condensador es:
Cuando introducimos la lámina metálica (conductor) estamos descomponiendo el condensador en dos condensadores en serie, uno con una distancia entre armaduras a y el otro con una distancia d-a-b , de tal forma que la capacidad de la asociación es:
siendo respectivamente: y con lo que nos queda para la asociación:
Podríamos haberlo resuelto también considerando la diferencia de potencial en los dos condensadores formados:
ya que la diferencia de potencial del conjunto de los dos condensadores es:
P9. Dados dos condensadores, C 1 de capacidad C y C 2 de capacidad 3C , el primero se carga a una d.d.p. V y el segundo se mantiene aislado. A continuación se conectan como se indica en la figura.
a) Calcula la carga y la energía de cada condensador. Compara
El potencial para r > R 1 ( R 1 < r < R 2 y r > R 2 ) ya sabíamos que era nulo, al estar conectada la esfera a tierra y constituir el sistema una pantalla eléctrica.
P11. La figura muestra una batería de condensadores idénticos, de capacidad C , conectados a una d.d.p. constante V = V 1 -V 2. a) Calcula la energía almacenada en el condensador 2. Posteriormente se rellena el condensador 2 con un dieléctrico de permitividad relativa F 0 6 5 r. b) Calcula la energía total almacenada. c) ¿Por qué factor debería multiplicarse la distancia entre las armaduras del condensador 3 para que no se modificase la capacidad total?
a) Para calcular la energía almacenada en el condensador 2 debemos conocer su carga o la d.d.p. en sus bornes. Para ello calculamos en primer lugar la capacidad equivalente del sistema:
La carga total del conjunto, conociendo la capacidad equivalente y la d.d.p. V = V 1 -V 2 , será:
Entonces, podemos calcular la d.d.p. en bornes tanto del condensador 2 como del 3, como:
así ya estamos en condiciones de calcular la energía almacenada en el condensador 2:
b) Al introducir un dieléctrico en el condensador 2, cambia su capacidad y la del conjunto:
La energía total almacenada en la asociación es:
c) Si no queremos que varíe la capacidad inicial de la asociación tendremos:
P12. Una esfera conductora de radio R , en el vacio, tiene una carga q. Calcula: a) La energía almacenada en el espacio circundante. b) ¿Cuál es el radio R (^) o de una superficie esférica tal que dentro de ella quede la mitad de la energía almacenada?
a) Calculamos la energía almacenada por medio de la relación que la liga con la densidad de energía:
Como vemos en la figura, el diferencial de volumen es: dv = 4 F 0 7 0 r^2 dr , y los límites de integración entre R e F 0 A 5, que es donde existe campo eléctrico. b) Para calcular el radio de la superficie esférica concéntrica en la que quede almacenada la mitad de la energía, integramos entre R y R 0 :
despejando, obtenemos:
R 0 = 2R
P9. Dados dos condensadores, C 1 de capacidad C y C 2 de capacidad 3C , el primero se carga a una d.d.p. V y el segundo se mantiene aislado. A continuación se conectan como se indica en la figura.
a) Calcula la carga y la energía de cada condensador. Compara la energía con la que tenía el condensador C 1 antes de conectarlo.
Por último, se reduce la distancia entre las armaduras del primer condensador a la mitad, y se introduce un dieléctrico de permitividad relativa F 0 6 5 r en el segundo condensador. b) Calcula la carga y la energía de cada condensador. Compara la energía con la del apartado anterior.
P10. La figura muestra una esfera metálica hueca de radios interior y exterior R 1 y R (^) 2 , respectivamente. Dicha esfera se encuentra conectada a tierra. Se coloca una carga puntual positiva Q , en el centro de la esfera.
a) ¿Cuál es la distribución de cargas en las superficies interior y exterior de la esfera?
b) Obten la expresión de V(r) para
r < R 1 , R 1 < r < R 2 , r < R 2.
P11. La figura muestra una batería de condensadores idénticos, de capacidad C , conectados a una d.d.p. constante V = V 1 -V 2. a) Calcula la energía almacenada en el condensador 2. Posteriormente se rellena el condensador 2 con un dieléctrico de permitividad relativa F 0 6 5 r. b) Calcula la energía total almacenada. c) ¿Por qué factor debería multiplicarse la distancia entre las armaduras del condensador 3 para que no se modificase la capacidad total?
P12. Una esfera conductora de radio R , en el vacio, tiene una carga q. Calcula: a) La energía almacenada en el espacio circundante. b) ¿Cuál es el radio R (^) o de una superficie esférica tal que dentro de ella quede la mitad de la energía almacenada?
