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2016 - 2017 Academia Montero Espinosa

TEORÍA DEL

CONSUMIDOR

(TEMAS 1- 7 )

2016 - 2017 Academia Montero Espinosa

TEMA 1. PREFERENCIAS

1. Introducción y conceptos previos

Modelizaremos los gustos de los consumidores mediante un sencillo tratamiento formal. Por

simplicidad, trataremos en nuestro estudio con dos bienes: x e y. A las combinaciones de ambos

las llamaremos cestas de consumo.

Definición : Llamaremos cesta a la combinación de un número de unidades del bien X y un

número de unidades del bien Y. Por ejemplo, la cesta (X, Y) = (2,5) es una cesta compuesta por

2 unidades del bien X y 5 unidades del bien Y.

Para caracterizar las relaciones entre cestas, utilizaremos una serie de relaciones de preferencia,

en concreto las denominadas relaciones de preferencia débil. Como alternativa, utilizaremos

también relaciones de preferencia estricta. Recogemos a continuación los símbolos que

utilizaremos y su interpretación.

Relaciones de preferencia entre bienes:

Símbolo Interpretación Ejemplo

Indiferente a A (2,5) ~ B (3,6) Ambas

cestas son indiferentes para

el consumidor.

˃ Preferido a A (2,5) > B (3,6) la cesta A es

preferida a la B.

Al menos tan preferido

como/ preferido o

indiferente a

A (2,5) ≥ B (3,6) la cesta A es

al menos tan preferida como

la B.

Las preferencias estrictas implican no estrictas, pero al contrario no es cierto

I MPORTANTE : utilizaremos para el caso de las preferencias una noción ORDINAL, no CARDINAL.

Lo que nos importará será el orden de las cestas que resulte de aplicar la función de utilidad a

las cestas. El número concreto de utilidad de cada cesta NO TIENE SIGNIFICADO.

Las FUNCIONES DE UTILIDAD serán el instrumento matemático que utilizaremos para ordenar

cestas. El valor numérico que den a las distintas cestas nos permitirá averiguar las preferencias,

de la manera que se desarrolla en el siguiente ejemplo.

Ejemplo : Ordene las siguientes las cestas conociendo que la función de utilidad del

individuo es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 2 𝑥 + 𝑦

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3. IMPORTANTE TEST: Implicaciones de cada uno de los supuestos

Supuesto 1.1 Completitud.

El consumidor es capaz de establecer un

orden entre cualquier par de cestas.

Formalmente

Para cualquier par de cestas A y B, A≿B, o

B≿A, o ambos.

Implicación 1. Por cada cesta pasa al menos

una curva de indiferencia.

Implicación 2. Todas las cestas se pueden

ordenar.

Supuesto 1.2. Transitividad

Si la cesta A es preferida a B y B es preferido

a C, entonces A debería ser preferido a C.

Formalmente

A≿B y B≿C implica A≿C.

(Se puede plantear también una transitividad

estricta)

Implicación 1. Las curvas de indiferencia no

se pueden cortar.

Implicación 2. Las preferencias no

presentan ciclos.

Supuesto 1.3 Monotonía

El consumidor prefiere mayores cantidades

de los bienes a cantidades más pequeñas.

Formalmente

Sean A=(x,y), B=(x’,y’): x ≥ x’, y ≥ y’ implica

A≿B x > x’, y > y’ implica A≻B.

Implicación 1. Las curvas de indiferencia no

son “gruesas” (no tienen área)

Implicación 2. Las curvas de indiferencia

son decrecientes.

Implicación 3. Se prefieren cestas situadas

en curvas de indiferencia más alejadas del

origen.

Implicación 4. En el equilibrio del

consumidor, el individuo se gasta toda la

renta.

Supuesto 1.4 Continuidad

Las curvas de indiferencia se dibujan en el

primer cuadrante “sin saltos”, es decir, con la

forma de funciones matemáticas continuas.

Implicación1. Si además se cumplen

transitividad y completitud, la continuidad

garantiza que se obtendrán soluciones de

equilibrio del consumidor para precios

positivos.

Supuesto 1.5 Convexidad

Las curvas de indiferencia se dibujan en el

plano como funciones convexas.

Implicación 1. Se prefieren medias a

extremos. El consumidor prefiere consumir

cantidades “equilibradas” de los bienes a

combinaciones extremas de los bienes. La

utilidad es cóncava (NO las curvas).

3. Mapas de curvas de indiferencia de distintas formas de preferencias. 1. Cobb Douglas

Es el tipo más frecuente de preferencias

regulares.

Forma general:

J

K

/ 𝑈 = ln 𝑥 + ln (𝑦)

Para calcular las demandas, se utilizan dos

condiciones:

R

S

R

T

V

W

Mapa de curvas de indiferencia

Convexas y decrecientes

X

Y

+preferido

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2. Complementarios perfectos

Se consumen conjuntamente en

proporciones fijas.

Ejemplo: raquetas y pelotas de tenis.

Forma general:

Para calcular las demandas, se utilizan dos

condiciones:

V

W

Mapa de curvas de indiferencia

En forma de “L”. a/b unidades de y

acompañan a cada unidad de x.

3. Sustitutivos perfectos

Se trata de bienes que se consumen alternativamente (“o uno u otro”)

Ejemplo: Coca cola-Pepsi

Forma general 𝑈 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)

_

Para calcular la demanda, se consideran tres casos.

(1) si 𝑅𝑀𝑆 >

R S

R T

b

V

W

c

R S

b

V

W

(2) si 𝑅𝑀𝑆 <

R

S

R

T

b

V

W

b

V

W

c

R

T

(3) si 𝑅𝑀𝑆 =

R

S

R

T

V

W

Pendiente de las curvas de

Indiferencia: −

l

m

El individuo está dispuesto a

Intercambiar a/b unidades de y

Por cada unidad de x.

4. Cuasilineales (“casi-lineales”)

Forma general :

Con una de las dos funciones lineal, y la otra no lineal. No incluimos un dibujo genérico

porque existen muchos casos dependiendo de las formas funcionales que supongamos.

Casos más frecuentes: lineal + logaritmo/lineal +potencia.

Ejemplos:

𝑈=𝑥+ 𝑦 (ex mayo 2014)

𝑈 = 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑦) (ex junio 2014)

Para resolver, hay que tener siempre en cuenta que existen dos tipos de soluciones:

interiores y esquina.

X

Y

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6. Saciedad

Forma general

=

=

Siendo (a,b) el punto de saciedad

Representan individuos que se consideran

satisfechos con una determinada

combinación de bienes. Cantidades que o

bien no lleguen o bien se pasen de esa

combinación generan menos utilidad.

7. Preferencias cóncavas

Forma general

=

=

Se trata de las preferencias de un

extremista. Para calcular la demanda óptima

se comprueba cuál de las dos combinaciones

extremas posibles da mayor utilidad. Se

toma como solución la que lo haga (pueden

ser a la vez los dos extremos).

8. Preferencias lexicográficas (IMP)

Una cesta será preferida a otra si tiene más

de uno de los bienes (que es considerado

como principal). En caso de que tenga igual

de ese bien, entonces se miran las

cantidades del otro-

A≿B si x > x’ o [x = x’ e y ≥ y’].

Importante: las preferencias lexicográficas

incumplen el supuesto de continuidad (A.4).

9. Preferencias de Pareto (IMP)

Una cesta es preferida a otra si cumple una

de estas condiciones.

• Tiene más de ambos bienes
• Tiene igual de uno de los bienes y

más del otro.

De manera formal:

A≿B si x ≥ x’ e y ≥ y

Importante: las preferencias de Pareto

incumplen el supuesto de completitud

(A.1 ).

a

b

Y

X

Y

X

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TEMA 2. RESTRICCCIÓN PRESUPUESTARIA

DESPLAZAMIENTOS BÁSICOS

a. INCREMENTOS DE LA RENTA

Si la renta sube, la ordenada en el origen también, por lo que la R.P se desplaza

paralelamente a la derecha (ya que la pendiente no cambia ). Si la renta baja, lo hará

paralelamente a la izquierda.

I ¯ I

La RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA o

RECTA DE BALANCE representa las

posibilidades máximas de consumo

de los bienes

El CONJUNTO PRESUPUESTARIO

contiene todas las cestas de bienes

cuyo coste no supera la renta

monetaria dada.

ECUACIÓN FUNDAMENTAL

x= cantidad de x

Y= cantidad del bien y

Px y Py = precios de los bienes

I = renta (también la podemos llamar

R)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

(𝑥 𝑚á𝑥)

(𝑦 𝑚á𝑥)

IMPORTANTE

• La pendiente de la restricción

presupuestaria es −

RV

RW

• En valor absoluto representa el

coste de oportunidad del bien x.

Es decir, el número de unidades

del bien y a las que el individuo

TIENE que renunciar para poder

consumidor una más del bien x

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si

X Y

I = P X + P Y X £ X

Mínimo consumo. Imaginemos el caso de un bien del cual me exigen consumir un mínimo. La

restricción presupuestaria es bastante sencilla y además parecida al caso del racionamiento.

si

X Y

I = P X + P Y X ³ X

Bonos. Consiste en ofrecer una determinada cantidad de un bien a precio reducido. Un

ejemplo cercano sería el del bono (o cupón ) de 10 de viajes de Metro de Madrid. Imaginemos

que cada viaje individual tiene un coste de un euro (Px =1). El precio del resto de los bienes es

de dos euros (Py=2). Nos ofrecen la oportunidad de comprar un bono de 10 viajes por solo seis

euros (B=6) Si no existiese ese bono, la cantidad de viajes que podría comprar es seis en lugar

de diez con esos mismos 10 euros.

La restricción presupuestaria queda definida en tres tramos

(por sencillez suponemos que el bono solo se puede

comprar una vez).

si

si

( ) si

X Y

Y

X Y

P X P Y I X X

P Y I B X X X

P X X P Y I B X X

+ = Þ <

= - Þ £

• • = - Þ >

£

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Impuestos y subvenciones

Un impuesto es un pago que realizamos al estado sin recibir contraprestación directa, es decir,

por el mero hecho de tener renta “nos quitan” una cantidad de dinero. Una subvención es justo

lo contrario, una transferencia del estado hacia los consumidores. En general vamos a analizar

el caso de los impuestos, teniendo en cuenta que la subvención es lo mismo, pero de signo

contrario.

• Impuesto de suma fija

X y

P X + P Y = R - T

Se produce un desplazamiento paralelo de la RP:

Ø Hacia fuera si

T < 0

(subvención)

Ø Hacia dentro si

T > 0

(impuesto)

Impuesto sobre la cantidad (ad quantum). Se establece un impuesto t por cada unidad

consumida de alguno de los bienes. El nuevo precio de x aumentará en una cuantía de t.

Gráficamente se trata como una subida del precio de x. La restricción quedará:

X

Y Y

R P t

Y X

P P

Impuesto sobre el valor (ad valorem). Se establece un impuesto que representa un porcentaje

sobre el gasto total que se realice en el bien (por ejemplo, como ocurre en el IVA). Gráficamente,

se trata como una subida del precio de x. La restricción quedará:

X

Y Y

R P t

Y X

P P

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TEMA 3. EQUILIBRIO CONSUMIDOR

1. Introducción y equilibrio del consumidor con preferencias regulares.

Desarrollaremos en este tema un modelo completo y estilizado del comportamiento del

consumidor. Combinaremos los gustos del agente con sus posibilidades de consumo, hasta

definir la elección última del consumidor, según el siguiente esquema:

Como se puede observar en el cuadro, el objetivo de cualquier consumidor se puede expresar

matemáticamente como un problema de maximización, que aprenderemos a resolver para las

distintas funciones de utilidad estudiadas en el tema 1.

max ( , )

s.a

X Y

U X Y

P X P Y I

ì

í

î

El punto que resuelve el anterior problema se denominará equilibrio del consumidor. Nos

centraremos en primer lugar en el caso de PREFERENCIAS REGULARES.

Notas previas importantes:

• el supuesto A3 (monotonía) garantiza que el consumidor se gasta toda la renta en el

equilibrio. Es por ello que la restricción presupuestaria la planteamos con igualdad.

• Supondremos en todo caso, aunque no lo reflejemos en el problema de optimización,

que las cantidades obtenidas de los bienes x e y son mayores o iguales a 0.

Las dos condiciones que aplicaremos para resolver el problema del consumidor EN SOLUCIÓN

INTERIOR serán:

R

S

R

T

V

W

Gráficamente, la primera condición implica que las pendientes de la curva de indiferencia y de

la restricción presupuestaria se igualan en valor absoluto.

PREFERENCIAS (T1)

(“gustos”)

RESTRICCIÓN

PRESUPUESTARIA (T2)

(“posibilidades, dada la

renta y los precios”)

ELECCIÓN DEL CONSUMIDOR

“lo más preferido dentro de las

posibilidades”

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De las condiciones establecidas en el cuadro anterior, sin sustituir por valores ninguna de

las variables, obtendremos LAS FUNCIONES DE DEMANDA de cada uno de los bienes

p

V

W,

p

V

W,

En el caso de que sustituyéramos los valores que nos den para la renta y los precios,

obtendríamos EL EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR (𝑋

∗

∗

Ejemplo: Examen parcial de 2013.

Calcule la demanda de los dos bienes y la cantidad de equilibrio para un consumidor con 𝐼 =

V

W

= 4 y cuya función de utilidad es 𝑈 = 𝑥

=

a. Aplicamos en primer lugar la condición de tangencia

V

W

V

W

=

V

W

V

W

→ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑒 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛

V

W

W

V

b. Introducimos la senda de expansión de y en la restricción presupuestaria, y

despejando la x de la ecuación resultante obtendremos la demanda del bien x

V

V

W

W

p

V

W,

V

X

Y

1

U

| |

X

Y

P

RMS

P

=

2

U

3

U

Curvas de

indiferencia

Restricción

presupuestaria

CONDICIONES DE EQUILIBRIO DEL

CONSUMIDOR

R

S

R

T

V

W

Siendo la RMS la pendiente (en valor

absoluto) de la curva de indiferencia, y

el cociente de precios la pendiente de la

restricción presupuestaria

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3. Sustitutivos perfectos

Se trata de bienes que se consumen alternativamente (“o uno u otro”)

Ejemplo: Coca cola-Pepsi

Forma general 𝑈 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)

_

Para calcular la demanda, se consideran tres casos.

(1) si 𝑅𝑀𝑆 >

R

S

R

T

b

V

W

c

R

S

b

V

W

(2) si 𝑅𝑀𝑆 <

R

S

R

T

b

V

W

b

V

W

c

R

T

(3) si 𝑅𝑀𝑆 =

R

S

R T

V

W

Pendiente de las curvas de

Indiferencia: −

l

m

El individuo está dispuesto a

Intercambiar a/b unidades de y

Por cada unidad de x.

4. Cuasilineales (“casi-lineales”)

Forma general :

Con una de las dos funciones lineal, y la otra no lineal.

Casos más frecuentes: lineal + logaritmo/lineal +potencia.

Ejemplos:

𝑈=𝑥+ 𝑦 (ex mayo 2014)

𝑈 = 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑦) (ex junio 2014)

Para resolver, hay que tener siempre en cuenta que existen dos tipos de soluciones:

interiores y esquina.

Para las soluciones interiores, dos condiciones.

R

S

R

T

V

W

(3) Para las soluciones esquina , despejaremos la renta en el bien en el que la demanda salga

una resta. Cuando la renta sea lo suficientemente pequeña para hacer esa resta negativa,

pondremos 0 en esa demanda y gastaremos toda la renta en el otro bien (ver ejemplos de

los ejercicios).

Y

X

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APÉNDICE: CONCEPTOS RELEVANTES DE UTILIDAD Y EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR

Transformaciones monótonas de funciones de utilidad

En el caso de las funciones de utilidad, es posible siempre realizar TRANSFORMACIONES

MONÓTONAS CRECIENTES, de tal manera que la función de utilidad transformada representa

exactamente las mismas preferencias que la función original.

Una transformación monótona creciente es aquella que MANTIENE EL MISMO ORDEN

NUMÉRICO que la función original (ejemplos: elevar una función al cubo, tomar logaritmos

neperianos, multiplicar un número por la función, sumar una constante…)

Ejemplo

CLASIFICACIÓN DE LOS BIENES SEGÚN EL COMPORTAMIENTO DE SU CANTIDAD

DEMANDADA

}

= ln

• ln (𝑦)

TIENEN LA MISMA RMS, Y ORDENAN CADA PARA DE CESTAS EXACTAMENTE IGUAL

¡FUNCIONES EQUIVALENTES!

ANTE CAMBIOS

EN LA RENTA (I)

ANTE CAMBIOS

EN P

X

ANTE CAMBIOS

EN P

Y

b

b

†

b

†

b

W

b

Š

b

Š

b

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TEMA 4. EFECTO SUSTITUCIÓN Y EFECTO RENTA

1. Introducción y concepto

Estudiaremos en este tema los efectos de la modificación de uno de los precios sobre la cantidad

demandada. En concreto, podemos descomponer las consecuencias de un cambio de precio en

dos efectos, cuya suma algebraica nos dará la cuantía del impacto total sobre la cantidad

demandada.

• Efecto sustitución (ES): Se define como el cambio en la cantidad demandada debido a la

MODIFICACIÓN DE LOS PRECIOS RELATIVOS, manteniendo el poder adquisitivo constante.

Se denomina concretamente sustitución porque al modificarse por ejemplo al alza el precio

de un bien, tendemos en ocasiones a “sustituir” ese bien por otro.

• Efecto renta (ER): Recoge el cambio en la cantidad demandada debido a la VARIACIÓN DEL

PODER ADQUISITIVO, manteniendo los precios relativos constantes. Intuitivamente hace

referencia al hecho de que cuando cambia un precio por ejemplo al alza “perdemos” poder

de compra real, al resultarnos más caro comprar la misma cesta que antes, y tendremos por

tanto que ajustar nuestro consumo

El efecto total (ET) representará la variación que sufre la demanda de bien X, es decir, en cuánto

se incrementa o se reduce en realidad la cantidad demandada del bien, y se calcula como la

suma de la sustitución y del renta.

2. Cálculo numérico del efecto sustitución y efecto renta. Versión de Hicks

John R. Hicks

1

propuso un método práctico para los efectos sustitución y renta que se producen

ante un cambio en el precio. Su idea se basa en mantener constante la utilidad una vez que ha

variado el precio del bien. La forma práctica de separar los efectos será la siguiente:

a. Empezamos calculando el equilibrio inicial y el equilibrio final :

• 0 0 ** 1 0

D D

X X

X = X P I X = X P I

donde

D

X

son las funciones de demanda substituyendo los precios y renta correspondientes,

siendo

0

X

P el precio inicial,

1

X

P el precio final,

0

R

la renta inicial.

b. Calculamos el nivel de utilidad de la curva de indiferencia que pasa por el equilibrio

inicial :

---

U = U X ( , Y )

1

Premio Nobel de economía 1972

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c. Buscamos el punto de la curva de indiferencia inicial que es tangente a

1

X Y

P P

. Parra

ello hay que resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones :

1

X

Y

U U X Y

P

RMS

P

Resolviendo el anterior sistema de dos ecuaciones obtenemos

H

X y también

H

Y.

d. Finalmente se calculan el efecto renta y el efecto sustitución mediante las expresiones

habituales

**

H

H

ES X X

ER X X

De manera teórica, Hicks define mantener la renta real constante como poder alcanzar el nivel

de utilidad inicial después del cambio del precio.

3. Cálculo numérico de la versión de Hicks.

Supongamos un individuo con una renta de

0

I = 6000

, que se enfrenta a un precio del bien X de

0

X

P =

y a un precio del bien Y de

0

Y

P =

siendo su función de utilidad U = XY

. El precio se

reduce hasta

1

X

P =

. Calcular ER, ES y ET.

1. En primer lugar obtenemos las funciones de demanda de X e Y:

D

X

X

I

X P I

P

D

X

Y

I

Y P I

P

Ahora obtenemos el equilibrio inicial, la cantidad demandada del bien X y del bien Y son:

• 0 0

D

X

X = X P I = =

×

• 0 0

D

Y

Y = Y P I = =

×

Pero cuando el precio se reduce, las cantidades demandadas pasan a ser:

** 0 0

D

Y

X = X P I = =

×

** 1 0

D

Y

Y = Y P I = =

×

Por tanto, el efecto total será

---

ET = X - X = 37,5 - 30 =7,

que es el incremento en la demanda ante la reducción del precio. Este efecto total se

descompondrá a continuación en dos partes: efecto renta y efecto sustitución.