Apuntes de Algebra Part1, Apuntes de Matemáticas

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ÁLGEBRA

ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que en Aritmética.

En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20.

En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, “a” representa el valor que nosotros le asignemos , y por lo tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas ( a’, a´´,a’’’) o también por medio de subíndices ( X 1 , X 2 , X 3 ).

Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden hacer las mismas operaciones que con los números aritméticos.

◄EXPRESIÓN ALGEBRAICA es la representación de

un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.

Ejemplos: a, 5x, , (a+b)c, x^2 ,

◄TÉRMINO es un conjunto formado por los cuatro (4) elementos

siguientes:

Coeficiente Exponente

Signo Parte literal

Ejemplos :

- 3X^2 es un término : tiene signo negativo, el coeficiente es ― 3 ‖ , la parte literal es ― X ‖ y su exponente es ― 2 ‖.

+2a es un término : tiene signo positivo, coeficiente ― 2 ‖ , parte literal ―a‖ y aunque no se observa ningún exponente se sobre entiende que tiene exponente ―1‖ ( en álgebra a^1 = a).

7n^5 es un término : aunque no se observa el signo se sobre entiende que es positivo, el coeficiente es ―7‖, la parte literal es ―n‖ y su exponente es ―5‖.

- n^3 es un término : tiene signo negativo, aunque no se observa el coeficiente se sobre entiende que es ― 1 ‖ (cualquier variable multiplicada por ―1‖ es igual a dicha variable), la parte literal es ― n ‖ y su exponente es ― 3 ‖.

X es un término : aunque no se observa el signo se sobre entiende que es positivo, aunque no se observa el coeficiente se sobre entiende que es

Cuando dos o más términos semejantes tengan igual signo se conserva el signo y se suman los coeficientes :

3X + 7X = 10X

2. – 3n – 5n =

Notamos que son dos términos semejantes (ambos tienen parte literal ―n‖ y exponente ―1‖), también podemos observar que ambos tienen signo negativo. Cuando dos o más términos semejantes tengan igual signo se conserva el signo y se suman los coeficientes :

• 3n – 5n = – 8n

3. 4X^3 Y^2 + 3X^3 Y^2 + 2X^3 Y^2 = 9X^3 Y^2

4. – 10a^2 b^5 – 4a^2 b^5 – 2a^2 b^5 = – 16a^2 b^5

5. – 9a +2a =

Notamos que son dos términos semejantes (ambos tienen parte literal ―a‖ y exponente ―1‖), también po demos observar que tienen signos distintos.

Cuando dos términos semejantes tengan signos distintos, se colocará el signo del coeficiente mayor y se restarán los coeficientes :

• 9a +2a = – 7a

6. 7X^2 – 3X^2 =

Notamos que son dos términos semejantes (ambos tienen parte literal ―X‖ y exponente ―2‖), también podemos observar que tienen signos distintos.

Aunque el primer termino (7X^2 ) no presenta ningún signo, se sobre entiende que tiene signo positivo.

Cuando dos términos semejantes tengan signos distintos, se colocará el signo del coeficiente mayor y se restarán los coeficientes :

7X^2 – 3X^2 = 4X^2

7. – 9X^3 n^2 + 2n^2 X^3 = – 7X^3 n^2

8. – 3b +5b – 9b +2b =

Notamos que son cuatro términos semejantes (todos tienen parte literal ― b ‖ y exponente ―1‖), también pod emos observar que tienen signos distintos. Cuando sean más de dos términos semejantes con diferentes signos, se recomienda primero sumar por separado los del mismo signo y después proceder como en los ejemplos anteriores.

Sumando los términos con signo positivo : 5b + 2b = 7b

Sumando los términos con signo negativo : – 3b – 9b = – 12b

La expresión quedará como : 7b – 12b =

Aplicando el procedimiento indicado en los ejemplos 5, 6 y 7 de esta misma página tendremos :

7b – 12b = – 5b

9. 5X – 9X +6X =

11X – 9X = 2X

10. 5XY – 9XY +6XY + 3YX – 8YX =

14XY – 17XY = – 3XY

11. Y – 3Y +4Y + 13Y – 15Y =

18Y – 18Y = 0

12. – 3a +5b – 9b +2a =

Notamos que son cuatro términos pero no todos son semejantes (d os tienen parte literal ― a ‖ y exponente ―1‖ y dos tien en parte literal ―b‖ y exponente ―1‖)

En estos casos se deben reducir por separado los términos semejantes entre si.

Trabajando con ―a‖ : – 3a +2a = – a

Trabajando con ―b‖ : +5b – 9b = – 4b

• 3a +5b – 9b +2a = – a – 4b

◄MONOMIO : Es una expresión algebraica que consta de un

solo término.

Ejemplos : 3a, – 9b, X^2 , - 5X^3 Y^5 ,

◄POLINOMIO : Es una expresión algebraica que consta de

más de un término.

Ejemplos : a + b, a + x – y , X^3 + 2X^2 + X – Y

BINOMIO es un polinomio que consta de dos términos.

Ejemplos : a + b, x – y ,

TRINOMIO es un polinomio que consta de tres términos.

Ejemplos : a + b – c , x – y + 6 ,

EL GRADO de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, en el polinomio X^4 – 5X^3 + X^2 – 3X el primer término es de cuarto grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, y el ultimo, de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.

Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio a^6 + a^4 x^2 – a^2 x^4 es de sexto grado con relación a la ―a‖ y de cuarto grado con relación a la ―x‖.

Se dice que un polinomio es completo con relación a una letra cuando contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio x^5 + x^4 – x^3 + x^2 - 3x es completo respecto de la ―x‖, porque contiene todos los exponentes sucesivos de la ―x‖ desde el más alto ―5‖, hasta el más bajo ―1‖, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el polinomio a^4 – a^3 b + a^2 b^2 – ab^3

• b^4 es completo respecto de ―a‖ y ―b‖.

Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, van aumentando o disminuyendo. Así, el polinomio x^4 – 4x^3 + 2x^2 – 5x + 8 está ordenado en orden descendente con relación a la letra ―x‖; el polinomio a^4 – a^3 b + a^2 b^2 – ab^3 + b^4 está ordenado en orden descendente respecto a la letra ―a‖ y en orden ascendente respecto a la letra ―b‖.

◄SUMA DE POLINOMIOS : Para sumar dos o más

polinomios se escriben uno a continuación de los otros con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

Ejemplo : Sumar – 3a +5b y – 9b +2a

Se escriben los dos polinomios uno a continuación del otro conservando los signos :

• 3a +5b – 9b +2a

Se reducen por separado los términos semejantes entre si.

Trabajando con ―a‖ : – 3a +2a = – a

Trabajando con ―b‖ : +5b – 9b = – 4b

• 3a +5b – 9b +2a = – a – 4b

En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columnas y se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos.

5. Sumar X^3 – XY^2 – Y^3 ; X^3 – 5X^2 Y – Y^3 ; 2X^3 – 4XY^2 – 5Y^3

4X^3 – 5X^2 Y – 5XY^2 – 7Y^3

6. Sumar X^4 – X^2 Y^2 ; – 5X^3 Y + 6XY^3 ; – 4XY^3 +Y^4 ; – 4X^2 Y^2 – 6

◄RESTA DE POLINOMIOS : Para restar dos polinomios

se debe escribir el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay.

minuendo

m – s = d

sustraendo diferencia

Ejemplo : De – 3a +5b restar 9b – 2a

Se escribe el minuendo (al que se le va a restar) con sus propios signos y a continuación el sustraendo (lo que se va a restar) con los signos cambiados :

• 3a +5b – 9b +2a

Se reducen por separado los términos semejantes entre sí.

Trabajando con ―a‖ : – 3a +2a = – a Trabajando con ―b‖ : +5b – 9b = – 4b = – a – 4b (–3a +5b) – (9b – 2a) = – 3a +5b – 9b +2a = – a – 4b

En la práctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columnas y se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos.

Ejemplo :

1. 5X^3 + 3X – 2 menos – 2X^2 + 9X – 4

Se le cambian los signos al sustraendo (lo que se va a restar)

2X^2 – 9X + 4

Se coloca debajo del minuendo (al que se le va a restar) de manera que los términos semejantes queden en columnas. Los polinomios deben ordenarse en el mismo sentido (ascendente o descendente) y donde falte un término se dejará el espacio vacío. 5X^3 + 3X – 2 2X^2 – 9X + 4 Posteriormente se reducen los términos semejantes en sentido vertical. En la columna donde haya un solo término se coloca tal como esté. 5X^3 + 3X – 2 2X^2 – 9X + 4 5X^3 + 2X^2 – 6X + 2

Resultado : 5X^3 + 2X^2 – 6X + 2

Es bueno aclarar que en la resta de polinomios se aplican los mismos criterios que en la suma de polinomios una vez que se le cambien los signos al sustraendo (lo que se va a restar).

Lo importante entonces es identificar el sustraendo (lo que se va a restar) y cambiarle todos los signos, no importa la forma como se plantee el ejercicio.

Ejercicios :

1. De a + b restar a – b
2. De 2X – 3Y restar – X + 2Y
3. De 8a + b restar – 3a + 4
4. De X^2 – 3X restar – 5X + 6

Respuestas:

5. Restar 7a^2 b + 9ab^2 de a^3 – a^2 b
6. Restar X – Y + Z de X – Y + Z
7. Restar – X – Y + Z de X + Y – Z

Respuestas:

◄SIGNOS DE AGRUPACIÓN : Los signos de

agrupación son de cuatro (4) clases : el paréntesis ( ), el corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra — (el último es muy poco usado).

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo , o sea, como una sola cantidad.

Así, X + (Y – Z), que equivale a X + (+Y – Z), indica que la diferencia Y – Z debe sumarse con X, y ya sabemos que para efectuar esta suma escribimos a continuación de X las demás cantidades con su propio signo y tendremos : X + (Y – Z) = X + Y – Z

La expresión X+( – 2Y+Z) indica que a X hay que sumarle – 2Y + Z; luego, a continuación de X, escribimos – 2Y + Z con sus propios signos y tendremos : X + (– 2Y + Z) = X – 2Y + Z

Vemos, pues, que hemos suprimido el paréntesis precedido del signo +, dejando a cada una de las cantidades que estaban dentro de él con sus propios signos.

La expresión X – (Y + Z), que equivale a X – (+Y + Z), indica que de X hay que restar la suma Y + Z y como para restar escribimos el sustraendo con los signos cambiados a continuación del minuendo, tendremos: X – (Y + Z), = X – Y – Z

La expresión X – ( – Y + Z),indica que de X hay que restar – Y + Z; luego cambiando los signos al sustraendo tendremos: X – (– Y + Z), = X + Y – Z

Vemos pues, que hemos suprimido el paréntesis precedido del signo – , cambiando el signo a cada una de las cantidades que estaban encerradas en el paréntesis.

El corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra — , tienen la misma significación que el paréntesis y se suprimen del mismo modo.

2. Simplificar la expresión:

• [ – 3a – { b + [ – a + ( 2a – b) – ( – a + b ) ] + 3b } + 4a ]

Empezando por los más interiores que son los paréntesis ; si el signo anterior al paréntesis es positivo, le dejo los signos iguales a los que estén dentro del paréntesis ; si el signo anterior al paréntesis es negativo, le cambio los signos a los que estén dentro del paréntesis :

• [ – 3a – { b + [ – a + 2a – b + a – b ] + 3b } + 4a ]

Después el corchete que está entre las llaves ( como en este caso el corchete está precedido por un signo positivo se mantienen los signos iguales) :

• [ – 3a – { b – a + 2a – b + a – b + 3b } + 4a ]

Después las llaves que están dentro de los corchetes ( como en este caso las llaves están precedidas por un signo negativo, se cambian todos los signos que estén dentro de ellas) :

• [ – 3a – b + a – 2a + b – a + b – 3b + 4a ]

Por último se suprimen los corchetes exteriores, y como en este caso está precedido por un signo negativo, se le cambiarán todos los signos que están dentro de él :

+ 3a + b – a + 2a – b + a – b + 3b – 4a

Una vez que no hayan signos de agrupación se reducen los términos semejantes :

Trabajando con las ―a‖ : + 3a – a + 2a + a – 4a = 6a – 5a = a

Trabajando con las ―b‖ : + b – b – b + 3b = 4b – 2b = 2b

El resultado es : a + 2b

3. Simplificar la expresión:

4. Simplificar la expresión:

5. Simplificar la expresión:

6. Simplificar la expresión:

◄MULTIPLICACIÓN : La multiplicación es una operación

que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto.

multiplicando

a x b = c

multiplicador producto

El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.

En nuestras clases de aritmética nos enseñaron que esta operación es representada a través del signo ―x‖ (por).

En álgebra para evitar confusiones (por utilizar la ―x‖ como una variable o incógnita) se ha convenido representarla de otras maneras :

Es así cómo la operación “ a por b” puede ser indicada de alguna de las siguientes maneras :

1. a. b
2. ab
3. ab*
4. (a).(b)
5. (a)(b)

En álgebra para evitar confusiones en la multiplicación de cantidades conocidas (números) se acostumbra a encerrar los mismos entre paréntesis. Así, la multiplicación ―12 por 20‖ suele indicarse co mo (12)*(20) o como (12).(20) o como (12)(20)

El orden de los factores no altera el producto. Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb ( Ley Conmutativa de la multiplicación)

Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.

Así, en el producto abcd, tenemos: abcd = a(bcd) = (ab)(cd) = (abc)d ( Ley Asociativa de la multiplicación).

Ley de los signos :

1. (+ a).(+ b) = + ab
2. (– a).(– b) = + ab
3. (+ a).(– b) = – ab
4. (– a).(+ b) = – ab

Lo anterior podemos resumirlo diciendo que :

1. + por + da +
2. – por – da +
3. + por – da –
4. – por + da –

El signo del producto de varios factores es positivo cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno : ( – a).( – b).( – c).( – d) = abcd (+ a).(+ b).(+ c).(+ d) = abcd

El signo del producto de varios factores es negativo cuando tiene un número impar de factores negativos : ( – a).( – b).( – c) = – abc

Ley de los exponentes : Para multiplicar potencias de la

misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplos:

1. (Xm) (Xn) = Xm+n
2. (XmYn) (XsYt) = Xm+s^ Yn+t
3. (X^2 ) (X) = X2+1^ = X^3
4. (X^2 Y^2 ) (XY^3 ) = (X2+1) (Y2+3) = X^3 Y^5

Ley de los coeficientes : El coeficiente del producto de dos

factores es el producto de los coeficientes de los factores. (3a).(4b) = 12ab

Ejemplo 9 : Multiplicar – 2X2m+nYn-1^ por 3Xm+1Yn

Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos : ( – 2).(3) = – 6

A continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de

los exponentes que tenga en los factores : – 6(X2m+n+m+1) (Yn–1+n)

(–2X

2m+n

Y

n-

) (3X

m+

Y

n

) = – 6(X

2m+n+m+

) (Y

n–1+n

= – 6 X

3m+n+

Y

2n– 1

◄MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR

MONOMIOS : Se multiplica el monomio por cada uno de los

términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos ( Ley Distributiva de la multiplicación).

Ejemplo 1 : Multiplicar 2b por 3X^2 – 2X + 5

La multiplicación se indica como : (2b).( 3X^2 – 2X + 5) =

Se multiplica el monomio (2b) por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos:

( 2b ).( 3X^2 – 2X + 5) = 6bX^2

( 2b ).( 3X^2 – 2X + 5) = 6bX^2 – 4bX

( 2b ).( 3X^2 – 2X + 5 ) = 6bX^2 – 4bX + 10b

(2b).( 3X^2 – 2X + 5) = 6bX^2 – 4bX + 10b

Ejemplo 2 : Multiplicar 3X^2 – 2X + 5 por 2X^2

La multiplicación se indica como : (2X^2 ).( 3X^2 – 2X + 5) =

Se multiplica el monomio (2X^2 ) por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos:

( 2X^2 ).( 3X^2 – 2X + 5) = 6X2+

( 2X^2 ).( 3X^2 – 2X + 5) = 6X^4 – 4X2+

( 2X^2 ).( 3X^2 – 2X + 5 ) = 6X^4 – 4X^3 + 10X^2

(2X^2 ).( 3X^2 – 2X + 5) = 6X^4 – 4X^3 + 10X^2

La ecuación también puede disponerse en forma similar a lo aprendido en nuestras clases de aritmética :

3X^2 – 2X + 5 2X^2

A continuación multiplicamos el monomio (2X^2 ) por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos y colocando el resultado en la parte de abajo.

3X^2 – 2X + 5

2X^2

6X^4 – 4X^3 + 10X^2

Por cualquiera de los dos métodos el resultado será el mismo.

Ejercicios :

( 2X + 3).( 3X^2 – 2 ) = 6X^3 – 4X

(2X + 3 ).( 3X^2 – 2) = 6X^3 – 4X + 9X^2

(2X + 3 ).( 3X^2 – 2 ) = 6X^3 – 4X + 9X^2 – 6

Una vez efectuada la operación se debe ordenar el polinomio resultante (producto) :

(2X + 3).( 3X^2 – 2) = 6X^3 – 4X + 9X^2 – 6 = 6X^3 + 9X^2 – 4X – 6

Ejercicios :

Ejercicios con exponentes literales :

◄PRODUCTO CONTINUADO DE POLINO-

MIOS : Cuando se presente la multiplicación de tres o más

polinomios, la operación se desarrolla efectuando el producto de dos factores (polinomios) cualquieras; este producto se multiplica por el tercer factor (polinomio) y así sucesivamente hasta incluirlos a todos en la operación:

Ejemplo 1 : Efectuar 4.(a + 5).(a – 3)

Primero multiplico ―4 por a + 5‖ y el resultado obtenido lo multiplico por ―a – 3‖ obteniendo el producto definitivo.

Ejemplo 2 : Efectuar 3a^2 .(X + 1).(X – 1)

Primero multiplico ―3a^2 por X + 1‖ y el resultado obtenido lo multiplico por ―X – 1‖ obteniendo el producto definitivo.

Ejemplo 3 : Efectuar 2.(a – 3).(a – 1).(a + 4)

Primero multiplico ― 2 por a – 3 ‖ , el resultado obtenido lo multiplico por ― a – 1‖ y ese nuevo producto lo multiplico por ―a + 4‖ obteniendo el producto definitivo.