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Se despeja la incógnita.
Toda la operación se muestra a continuación:
Ejemplos :
Hay ejercicios donde resulta más cómodo reducir los términos semejantes en cada miembro y después aplicar los pasos recomendados en la página anterior.
Verificando la respuesta del ejercicio 6 tenemos :
21 – 6(3) = 27 – 8(3) ; 21 – 18 = 27 – 24 ; 3 = 3
Verificando la respuesta del ejercicio 14 tenemos :
8(1) – 15(1) – 30(1) – 51(1) = 53(1) – 31(1) – 172
8 – 15 – 30 – 51 = 53 – 31 – 172 ; 88 = 88
◄RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRI-
MER GRADO CON SIGNOS DE AGRUPA-
CIÓN :
Antes de abordar este aspecto se recomienda ―repasar‖ lo indicado en ―SIGNOS DE AGRUPACIÓN‖ (páginas 7, 8 y 9).
Este tipo de ecuaciones se resuelve de manera similar a las Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita (página 40), una vez que se hayan suprimido los signos de agrupación.
Ejemplo 1 : Resolver la ecuación X – (2X + 1) = 8 – (3X + 3)
Se suprimen los signos de agrupación en ambos miembros de la ecuación. X – 2X – 1 = 8 – 3X – 3
Se reducen términos semejantes en ambos miembros de la ecuación.
- X – 1 = 5 – 3X
Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. Recordar el cambio del signo de los términos que se pasen de un lado al otro.
- X + 3X = 5 + 1
Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
2X = 6 Se despeja la incógnita.
Toda la operación se muestra a continuación:
Ejemplos :
◄RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRI-
MER GRADO CON PRODUCTOS INDICA-
DOS :
Antes de abordar este aspecto se recomienda ―repasar‖ lo indicado en ―MULTIPLICAIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS‖ (página 12) y en ―MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS‖ (página 14).
Este tipo de ecuaciones se resuelve de manera similar a las Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita (página 40), con la salvedad de que inicialmente se deben efectuar los productos indicados en la ecuación.
Ejemplo 1 : Resolver la ecuación X + 3(X – 1) = 6 – 4(2X + 3)
Se efectúan los productos indicados.
X + 3X – 3 = 6 – 8X – 12
Se reducen términos semejantes en ambos miembros de la ecuación. 4X – 3 = – 8X – 6
Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer miembro (izquierda) los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro (derecho) todas las cantidades conocidas. Recordar el cambio del signo de los términos que se pasen de un lado al otro.
4X + 8X = – 6 +
Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
12X = – 3 Se despeja la incógnita.
Toda la operación se muestra a continuación:
Ejemplos :
Ahora bien, la operación que hemos efectuado equivale a dividir el m.c.m. de los denominadores entre cada denominador y multiplicar cada resultado por el numerador respectivo.
Ejemplo : Suprimir denominadores en la ecuación
El m.c.m. de 4, 8 y 40 es 40. El primer término ―2‖ equivale a 2/1.
Entonces, divido 40÷1 = 40 y este cociente 40 lo multiplico por 2;
40 ÷40 = 1 y este cociente 1 lo multiplico por X – 1; 40 ÷4 = 10 y este cociente 10 lo multiplico por 2X – 1; 40 ÷8 = 5 y este cociente 5 lo multiplico por 4X – 5 y tendremos :
2 (40) – 1 ( X – 1) = 10 (2X – 1) – 5 (4X – 5)
Efectuando las multiplicaciones indicadas y quitando paréntesis, queda : 80 – X + 1 = 20X – 10 – 20X + 25
Ecuación que ya es entera.
Ejemplos : Resolver las ecuaciones siguientes
La experiencia, como instructor de la materia, me ha demostrado que la mayor dificultad que presentan los estudiantes en la resolución de este tipo de problemas viene dada en el manejo de los signos de los términos fraccionarios negativos.
En atención a lo apuntado anteriormente, me permito recomendar que el primer paso en la resolución de estos problemas sea pasar los términos negativos al otro miembro para evitar cometer errores. Es decir, garantizar que todos los términos fraccionarios de la ecuación tengan signo positivo.
Ejemplo : Resolver la siguiente ecuación
Primero paso los términos negativos al otro miembro cambiándole el signo, entendiendo que el signo que se cambia es el que está antes de la raya-fracción y no los que estén dentro del numerador.
m.c.m. = 60
30(X – 1) + 12(X – 5) = 20(X – 2) + 15(X – 3)
30X – 30 + 12X – 60 = 20X – 40 + 15X – 45
Ya la hemos convertido en una ecuación entera y su resolución es conocida por nosotros.
42X – 90 = 35X – 85
42X – 35X = – 85 + 90
◄ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
UNA INCÓGNITA :
Una ecuación de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.
Así, 4X^2 + 7X + 6 = 0 es una ecuación de segundo grado.
Ecuaciones completas de 2do. grado son ecuaciones de la forma ax^2 + bx + c = 0, que tienen un término en x^2 , un término en x y un término independiente de x.
Así, 2X^2 + 7X – 15 = 0; X^2 – 8X = – 15 ó 3X^2 = 6X + 9 son ecuaciones completas de 2do. grado.
Ecuaciones incompletas de 2do. grado son ecuaciones de la forma ax^2 + c = 0 que carecen del término en x o de la forma ax^2 + bx = 0 que carecen del término independiente.
Así, X^2 – 16 = 0 y 3X^2 + 5X = 0 son ecuaciones incompletas de 2do. grado.
Raíces de una ecuación de segundo grado son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación.
Toda ecuación de 2do. grado tiene dos raíces. Así, las raíces de la ecuación X^2 – 2X – 3 = 0 son X = 3 y X = – 1, ambos valores satisfacen esta ecuación.
Resolver una ecuación de 2do. grado es hallar las raíces de la ecuación.
La f órmula para resolver una ecuación de 2do. grado es :
Las raíces de la ecuación 2X^2 – 4X = 0 son X = 2 y X = 0 , porque ambos valores satisfacen esta ecuación.
Ejemplo 3 : Resolver la ecuación 2X^2 – 8 = 0
Se identifican los valores de a, b y c.
a = 2 ; b = 0 ; c = – 8
Se introducen estos valores en la fórmula
Las raíces de la ecuación 2X^2 – 8 = 0 son X = 2 y X = – 2 , porque ambos valores satisfacen esta ecuación.
Ejemplo 4 :
Ejemplo 5 :
Ejemplo 6 :
◄DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL (FACTO-
RIZACIÓN) :
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.
Así, multiplicando ― a” por ― a + b” tenemos : a.(a + b) = a^2 + ab
“a” y ― a + b”, que multiplicadas entre sí dan como producto ― a^2 + ab” , son factores o divisores de ―a^2 + ab‖.
Del mismo modo. (X + 2).(X + 3) = X^2 + 5X + 6
Luego, ― X + 2” y ― X + 3” son factores de ―X^2 + 5X + 6‖
Descomponer en factores o Factorizar una expresión algébrica es convertirla en el producto indicado de sus factores.
FACTORIZAR UN MONOMIO : Los factores de un monomio
se pueden hallar por simple inspección.
Así, los factores de 15ab son 3, 5, a y b. Por tanto :
15ab = (3).(5).(a).(b)
FACTORIZAR UN POLINOMIO : No todo polinomio se
puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así ―a + b‖ no puede descomponerse en dos factores distintos de ―1‖ porque solo es divisible por ―a + b‖ y por ―1‖.
CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINO-
MIO TIENEN UN FACTOR COMÚN :
a) FACTOR COMÚN MONOMIO:
Ejemplo 1 : Descomponer en factores a^2 + 2a
a^2 y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común ― a” como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir a^2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 , y tendremos ; a^2 + 2a = a.(a + 2)
Ejemplo 2 : Descomponer en factores 10b – 30ab^2
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores 2, 5 y 10, Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras el único factor común es ―b‖ porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente ―b‖.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y
- 30ab^2 ÷ 10b = – 3ab y tendremos
10b – 30ab^2 = 10b.(1 – 3ab)
Ejercicios :
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉR-
MINOS:
Ejemplo 1 : Descomponer en factores aX + bX + aY + bY
Los dos primeros términos tienen el factor común ―X‖ y los d os últimos el factor común ―Y‖.
Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo ―+‖ porque el tercer término tiene el signo ―+‖ y tendremos : (aX + bX) + (aY + bY)
Notamos que la expresión está conformada ahora por dos binomios ―(aX + bY)‖ y ―(aY + bY)‖. Cada binomio puede descomponerse en factores (Factor común monomio pág. 51).
(aX + bX) = X.(a + b) (aY + bY) = Y.(a + b)
Una vez realizada la descomposición de ambos monomios la expresión ―(aX + bX) + (aY + bY)‖ quedaría como :
X.(a + b) + Y.(a + b)
Esta expresión puede descomponerse sacando factor común polinomio de acuerdo a lo explicado en la página 52.
X.(a + b) + Y.(a + b) = (a + b).(X + Y)
Resumiendo podemos indicar toda la operación así:
aX + bX + aY + bY
(aX + bX) + (aY + bY)
= X.(a + b) + Y.(a + b)
= (a + b).(X + Y)
La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Así, en el ejemplo anterior podemos agrupar el primero y tercer término que tienen el factor común ―a‖ y el segundo y cuarto término que tienen el factor común ―b‖ y tendremos:
aX + bX + aY + bY
(aX + aY) + (bX + bY)
= a.(X + Y) + b.(X + Y)
= (X + Y).(a + b)
El resultado obtenido es el mismo con ambos métodos.
Ejercicios :
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS :
En los productos notables (PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES pág. 36) se vió que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea: (a + b).(a – b) = a^2 – b^2 Luego, recíprocamente; a^2 – b^2 = (a + b).(a – b)
Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplos :
TRINOMIO DE LA FORMA X^2 + bX + c :
Trinomios de la forma X^2 + bX + c son trinomios como :
X^2 + 5X + 6 ; m^2 + 15m – 14 ; X^2 – 8X + 18
que cumplen las condiciones siguientes :
- El coeficiente del primer término es 1.
- El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
- El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
- El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
REGLA PRÁCTICA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA
FORMA X^2 + bX + c
Ejemplo 1 : Factorizar X^2 + 5X + 6
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (X^2 ), o sea X :
X^2 + 5X + 6 = (X ).(X )
En el primer binomio después de X se escribe el signo del segundo término del trinomio (+5X).
X^2 + 5X + 6 = (X + ).(X + )
En el segundo binomio después de X se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio (en este caso multiplicamos los signos de +5X y de +6)
X^2 + 5X + 6 = (X + ).(X + )
Ahora, buscamos dos números que sumados den ―+5‖ y
multiplicados den ―+6‖. Esos números son 2 y 3, luego :
X^2 + 5X + 6 = (X + 2).(X + 3)
Ejemplo 2 : Factorizar m^2 – 7m + 12
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (m^2 ), o sea m :
m^2 – 7m + 12 = (m ).(m )
En el primer binomio después de m se escribe el signo del segundo término del trinomio ( – 7m).
m^2 – 7m + 12 = (m – ).(m – )
En el segundo binomio después de m se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio (en este caso multiplicamos los signos de – 7m y de +12)
m^2 – 7m + 12 = (m – ).(m – )
Ahora, buscamos dos números que sumados den ―– 7 ‖ y
multiplicados den ―+12‖. Esos números son ― – 3‖ y ―– 4‖ , luego :
m^2 – 7m + 12 = (m – 3).(m – 4)
Ejercicios :
El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomios que no siendo de la forma X^2 + bX + c se parecen mucho ya que podemos notar que la letra del primer término tiene raíz cuadrada exacta y la letra del segundo término tiene la misma letra que el primero y su exponente es la raíz cuadrada del exponente del primer término. Ejemplos :
Note que los números que acompañan a la X en los dos binomios del miembro de la derecha son las raíces calculadas anteriormente pero con el signo cambiado.
Ejemplo 3 : Factorizar el trinomio – X^2 – 56 – 15X
Primero ordenados el trinomio : – 1X^2 – 15X – 56 y luego aplicamos la fórmula general de segundo grado (resolvente) :
Conocidas las raíces decimos que :
- 1X 2 - 15X – 56 = – 1.(X + 8).(X + 7)
Ejemplo 4 : Factorizar el trinomio
Conocidas las raíces decimos que :
- 3X^2 + 5X – 2 = – 3.(X – 2/3).(X – 1)
Note que los números que acompañan a la X en los dos binomios del miembro de la derecha son las raíces calculadas anteriormente pero con el signo cambiado.
Ejemplo 5 : Factorizar el trinomio 25X^2 – 15X +
Conocidas las raíces decimos que :
25X^2 – 15X +2 = 25.(X – 2/5).(X – 1/5)
Note que los números que acompañan a la X en los dos binomios del miembro de la derecha son las raíces calculadas anteriormente pero con el signo cambiado.
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
APLICANDO LA REGLA DE RUFFINI :
CONSIDERACIONES :
Para factorizar por el método de RUFFINI, es necesario que el polinomio posea un término independiente.
El polinomio se debe ordenar en forma decreciente, es decir desde la potencia más alta hasta el término independiente.
Se debe vigilar que el polinomio esté completo, en aquellos polinomios donde falta un término debemos colocar el mismo acompañado del coeficiente cero.
Las posibles raíces del polinomio son todos aquellos números positivos y negativos que dividan, en forma exacta, al término independiente.
Cuando se determine el valor de una raíz, para los efectos de colocarlo como factor siempre se le debe cambiar el signo, esto ocurre porque al igualarlo a cero el número cambia de signo.
El polinomio se puede factorizar total o parcialmente. Está factorizado en forma total cuando el número de factores coincide con el grado del polinomio, en caso contrario se dice que está factorizado parcialmente.
Para aplicar la REGLA DE RUFFINI debo tener presente que las raices enteras que puede tener el polinomio serán algunos de los divisores del término independiente. (en este caso en particular de 12) o sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12.
Primero se copian los coeficientes del polinomio en una tabla similar a la siguiente:
X^4 – 4 X^3 – X^2 + 16X – 12
Se copia el primer coeficiente debajo de él mismo :
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12
