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RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES :
Para aplicar este procedimiento las ecuaciones tienen que estar preparadas, de tal manera, que las incógnitas estén a la izquierda de la igualdad y el término independiente a la derecha.
Las incógnitas deben estar en el mismo orden en ambas ecuaciones ( primero X y después Y).
a 1 X + b 1 Y = c 1 En forma general a 2 X + b 2 Y = c 2
Al determinante formado por los cocientes de las incógnitas se le llama determinante del sistema ; que en este caso es :
a 1 b 1 = a 1. b 2 – a 2. b 1 a 2 b 2
porque como es un determinante de segundo orden su valor es igual al producto de los números que forman la diagonal principal menos el producto de los números que forman la diagonal secundaria.
Cada incógnita es igual a un quebrado que tiene por denominador el determinante del sistema y por numerador este mismo determinante, en el que se ha sustituido la columna formada por los coeficientes de la incógnita por la columna formada por los términos independientes; así :
c 1 b^1
c 2 b^2 c^1.^ b^2 –^ c^2.^ b^1 X = = a 1 b 1 a 1. b 2 – a 2. b 1
a 2 b 2
a (^1) c 1
a (^2) c 2 a 1. c 2 – a 2. c 1 Y = = a 1 b 1 a 1. b 2 – a 2. b 1
a 2 b 2
Ejemplo 1 : Resolver el sistema 2X + 3Y = 14 3X – 2Y = – 5
14^3
- 5 –^2 (14).( – 2)^ –^ ( – 5). (3) X = = 2 3 (2).( – 2) – (3). (3)
3 – 2
X = = , X = 1
(^2) 14
(^3) - 5 (2).( – 5) – (3). (14) Y = = 2 3 (2).( – 2) – (3). (3)
3 – 2
Y = = , Y = 4
Ejemplo 2 : Resolver el sistema X + 3Y = 6
5X – 2Y = 13
6^3
13 –^2 (6).( – 2)^ –^ (13). (3) X = = 1 3 (1).( – 2) – (5). (3)
5 – 2
X = = , X = 3
(^1) 6
(^5) 13 (1).(13) – (5). (6) Y = = 1 3 (1).( – 2) – (5). (3)
5 – 2
Y = = , Y = 3
Ejemplo 3 : Resolver el sistema 3X + 5Y = 7 2X – Y = – 4
7^5
- 4 –^1 (7).( – 1)^ –^ ( – 4). (5) X = = 3 5 (3).( – 1) – (2). (5)
2 – 1
X = = , X = – 1
(^3) 7
(^2) - 4 (3).( – 4) – (2). (7) Y = = 3 5 (3).( – 1) – (2). (5)
2 – 1
Y = = , Y = 2
Ejemplo 4 : Resolver el sistema 6X – 5Y = – 9 4X + 3Y = 13
- 9 –^5
13^3 ( – 9).(3)^ –^ (13). (^ – 5) X = = 6 – 5 (6).(3) – (4). ( – 5)
4 3
X = = , X = 1
(^6) - 9
(^4) 13 (6).(13) – (4). ( – 9) Y = = 6 – 5 (6).(3) – (4). ( – 5)
4 3
Y = = , Y = 3
POTENCIA DE UN POLINOMIO : Para elevar un polinomio
a una potencia se multiplica dicho polinomio tantas veces como lo indique el exponente:
Ejemplo 1 : Resolver (X + 3)^2
(X + 3)^2 = (X + 3).(X + 3)
La operación ―(X + 3).(X + 3)‖ se realiza poniendo en práctica lo explicado en MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS pág. 14.
Ejemplo 2 : Resolver (X^2 + 2X + 1)^2
(X^2 + 2X + 1)^2 = (X^2 + 2X + 1 ).(X^2 + 2X + 1)
La operación ― (X^2 + 2X + 1 ).(X^2 + 2X + 1) ‖ se realiza poniendo en práctica lo explicado en MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS pág. 14.
Ejemplo 3 : Resolver (X^2 – 5X + 6)^3
(X^2 – 5X + 6)^3 = (X^2 – 5X + 6).( X^2 – 5X + 6).( X^2 – 5X + 6)
La operación ― (X^2 – 5X + 6).( X^2 – 5X + 6).( X^2 – 5X + 6) ‖ se realiza poniendo en práctica lo explicado en PRODUCTO CONTINUADO DE POLINOMIOS pág. 19.
Ejemplo 3 : Resolver (X^2 – 2)^4
(X^2 – 2)^4 = (X^2 – 2).(X^2 – 2).(X^2 – 2) .(X^2 – 2)
La operación ― (X^2 – 2).(X^2 – 2).(X^2 – 2) .(X^2 – 2) ‖ se realiza poniendo en práctica lo explicado en PRODUCTO CONTINUADO DE POLINOMIOS pág. 19.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN :
Exponente cero : Toda expresión algebraica elevada a
cero equivale a 1: X^0 = 1 (2X)^0 = 1 (2X^3 )^0 = 1 (X^2 + 3)^0 = 1
Exponente uno (1) : Toda expresión algebraica elevada a uno es la misma expresión : (2X)^1 = 2X (X^2 )^1 = X^2 (X^2 + 3)^1 = X^2 + 3
Multiplicación de potencias de la misma
base : Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma
base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores (Ley de los exponentes de la multiplicación pág. 10) :
(Xm).(Xn) = Xm+n
(XmYn).(XsYt) = Xm+sYn+t
Potencia de productos : Todo producto elevado a una
potencia equivale al producto de los términos elevados a dicha potencia :
(X.Y.Z)n^ = Xn.Yn.Zn
Potencia de potencias : Para elevar una potencia a
otras potencias se escribe la base y se pone por exponente la multiplicación de dichas potencias :
(Xm)n^ = Xmn
[(Xm)n]s^ = Xmns
División de potencias de la misma base : Para
dividir potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor (Ley de los exponentes de la división pág.23) :
(Xm) ÷ (Xn) = Xm–n
División de potencias de bases distintas: La
división de dos expresiones elevada a una potencia equivale a la división de cada expresión elevada a dicha potencia :
Exponente fraccionario : Toda expresión algebraica
elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad sub-radical o radicando la misma cantidad elevada a la potencia que indica el numerador del exponente :
Exponente negativo : Toda cantidad elevada a un
exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador la misma cantidad con el exponente positivo :
Pasar los factores del numerador de una
expresión al denominador o viceversa : Cualquier
factor del numerador de una expresión se puede pasar al denominador y viceversa con tal de cambiarle el signo a su exponente :
Ejercicios de potenciación :
Expresar con signo radical las expresiones dadas :
n
X^2 Y^5
Multiplicación de monomios con exponentes negativos o fraccionarios :
Multiplicación de polinomios con exponentes negativos o fraccionarios :
División de monomios con exponentes negativos o fraccionarios :
Potencias de monomios con exponentes negativos 0 fraccionarios :
x^2 -^3
(- 2)
(- 7 )
◄RADICACIÓN :
RAÍZ de una expresión algebraica es toda expresión algebraica
que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.
Así “2a" es raíz cuadrada de 4a^2 porque (2a)^2 = 4a^2 y “– 2a” también es raíz cuadrada de 4a^2 porque (– 2a)^2 = 4a^2.
―3X‖ es raíz cúbica de 27X^3 porque (3X)^3 = 27X^3.
El signo de raíz es , llamada signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada cantidad sub-radical o radicando.
El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad sub-radical. Por
convención el índice ―2‖ se suprime y cuando el signo no lleve índice se entiende que el índice es 2.
Índice Signo radical
Cantidad sub-radical Raíz o radicando
RADICAL O EXPRESIÓN RADICAL es toda raíz
indicada de un número o de una expresión algebraica.
Así, , , son expresiones radicales.
Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional , si no es exacta, es irracional.
Las expresiones irracionales como , son las que comúnmente se llaman radicales.
El grado de un radical lo indica su índice. Así, es un radical de segundo grado; es un radical de tercer grado; es un radical de cuarto grado.
SIGNOS DE LAS RAICES :
1 ) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad sub-radical o radicando.
Así, =^ 3a^ porque^ (3a)^3 = 27a^3 =^ – 3a^ porque^ ( – 3a)^3 =^ – 27a^3 =^ X^2 porque^ (X^2 )^5 = X^10 =^ – X^2 porque^ ( – X^2 )^5 =^ – X^10
2 ) Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo. Así,
= 5X ó – 5X porque (5X)^2 = 25X^2 y ( – 5X)^2 = 25X^2 Esto se indica de este modo : = ± 5X = 2a y – 2a porque (2a)^4 = 16a^4 y ( – 2a)^4 = 16a^4 Esto se indica : = ± 2a
3 ) Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.
Así, no se puede extraer. La raíz de – 4 no es 2 porque ―2^2 = 4‖ y no – 4, y tampoco es – 2 porque ( – 2)^2 = 4 y no – 4. ― ― es una cantidad imaginaria.
Del propio modo, , , son cantidades imaginarias.
RADICALES SEMEJANTES : son radicales del mismo grado y
que tienen la misma cantidad sub-radical o radicando.
Los radicales semejantes son considerados como términos semejantes y con ellos se pueden realizar las mismas operaciones que con estos últimos (ver Reducción de Términos Semejantes pág. 2).
Así,
REDUCCIÓN DE RADICALES :
Reducir un radical es cambiar su forma sin cambiar su valor.
Simplificar un Radical : Es reducirlo a su más simple
expresión. Un radical está reducido a su más simple expresión cuando la cantidad sub-radical o radicando es entera y del menor grado posible.
Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer una raíz a un producto se extrae dicha raíz a cada uno de sus factores, o sea :
En la simplificación de radicales consideraremos los dos casos siguientes :
Caso 1 : Cuando la cantidad sub-radical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice de la raíz :
Ejercicios :
Caso 2 : Cuando los factores de la cantidad sub- radical y el índice de la raíz tienen un divisor común :
Ejemplo 1 : Simplificar
Se descomponen los factores de la cantidad sub-radical o radicando en sus factores primos :
Recordando lo estudiado en la pág. 90. Raíz de un producto de
varios factores : y Raíz de una potencia :
se indica cada factor como una potencia :
Se efectúa la división de los exponentes de cada factor:
Y por último se indican estas potencias como raíz :
Ejercicios :
INTRODUCCIÓN DE CANTIDADES BAJO EL
SIGNO RADICAL : Para introducir el coeficiente de un radical bajo
el signo radical se eleva dicho coeficiente a la potencia que indica el índice del radical.
REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN
ÍNDICE : Esta operación tiene por objeto convertir radicales de
distinto índice en radicales equivalentes que tengan el mismo índice. Para ello se aplica la siguiente regla :
Se halla el mínimo común múltiplo de los índices, que será el índice común, y se eleva cada cantidad sub-radical o radicando a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de su radical.
Se halla el mínimo común múltiplo de los índices,
El m.c.m de los índices 2, 3, y 4 es 12. Este será el índice común.
Se divide este índice común (12) entre el índice de cada raíz :
Por último se calculan las potencias que quedan dentro de la raíz (cantidad sub-radical o radicando).
Ahora podemos observar que las tres expresiones son radicales semejantes, todas son raíces de índice ―12‖ , lo que f acilita cualquier operación que tengamos que hacer con estas tres raíces.
Multiplicación de radicales de distintos
índices : Se reducen los radicales al mínimo común índice (pág. 95)
y se multiplican como radicales del mismo índice (pág. 99).
Ejemplo 1 : Multiplicar por
Primero se reducen los radicales a un índice común como lo explicamos en la pág. 95 :
Como ahor a los dos radicales tienen el mismo índice (―6‖ en este caso), se multiplican como radicales del mismo índice (pág. 99).
Ejemplo 2 : Multiplicar por
Ejemplo 3 : Multiplicar por
Ejemplo 4 : Multiplicar por
