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LECTURA
Lista de ejercicios de la semana 01
Introducción
En esta sesión vamos a repasar y fortalecer los temas de límites de una función, incluyendo los
límites laterales, los límites infinitos y las asíntotas verticales. También trabajaremos con las
propiedades de los límites y aprenderemos a resolver situaciones donde aparece la forma
indeterminada 0/0. Todo esto lo haremos a través de ejercicios y problemas prácticos que nos
ayudarán a comprender mejor cada concepto.
Motivación
Comprender cómo se comportan las funciones cerca de ciertos puntos es clave para poder
analizarlas, graficarlas y aplicarlas en distintos contextos. Muchas veces, en matemáticas y ciencias
aplicadas, necesitamos saber qué sucede cuando nos acercamos a un valor sin llegar exactamente
a él. Los límites y las asíntotas nos permiten responder a esas preguntas y predecir el
comportamiento de fenómenos reales. Por eso, dominar estos conceptos no solo es importante para
aprobar el curso, sino también para desarrollar una forma de pensar lógica y precisa.
Lista de ejercicios resueltos de la semana 01
1. Para la función 𝑓 cuya gráfica está dada, determine cada uno de los siguientes límites. Si no
existe, explique por qué.
a. lim
𝑥→− 1
b. lim
𝑥→− 1
−
c. lim
𝑥→− 1
d. lim
𝑥→ 1
e. lim
𝑥→− 2
−
f. lim
𝑥→− 2
Solución
a. El símbolo 𝑥 → − 1
significa que 𝑥 se acerca a " − 1" por la derecha, se observa que 𝑓
se
acerca a 2. Es decir, lim
𝑥→− 1
b. El símbolo 𝑥 → − 1
−
significa que 𝑥 se acerca a “ − 1” por la izquierda, se observa que 𝑓
se acerca a − 1. Es decir, lim
𝑥→− 1
−
c. Dado que los límites laterales son diferentes, se concluye que lim
𝑥→− 1
no existe.
d. Se observa que 𝑓(𝑥) se acerca a − 2 cuando 𝑥 se acerca a 1 por la izquierda y cuando 𝑥 se
acerca a 1 por la derecha. Es decir, lim
𝑥→ 1
e. El símbolo 𝑥 → − 2
−
significa que 𝑥 se acerca a “ − 2” por la izquierda, se observa que 𝑓
crece sin límite. Es decir, lim
𝑥→− 2
−
f. El símbolo 𝑥 → − 2
significa que 𝑥 se acerca a “ − 2” por la derecha, se observa que 𝑓
decrece sin límite. Es decir, lim
𝑥→− 2
2. Dada la función 𝑓, determine el límite dado, o concluya que no existe.
lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥) donde 𝑓(𝑥) = {
2
si 𝑥 < 0
2 si 𝑥 = 0
𝑥 − 1 si 𝑥 > 0
Solución
Nos piden determinar el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 → 0 y se observa que en 𝑥 = 0 la función
presenta distintas reglas de correspondencia, por lo que analizaremos con límites laterales.
f
Paso 3:
Aplicando límite, se obtiene
lim
𝑥→ 4
2
2
= lim
𝑥→ 4
b.
lim
𝑡→ 1
Paso 1:
Identificando la forma indeterminada
lim
𝑡→ 1
Paso 2:
Racionalizando la expresión
lim
𝑡→ 1
= lim
𝑡→ 1
= lim
𝑡→ 1
2
= lim
𝑡→ 1
= lim
𝑡→ 1
= lim
𝑡→ 1
Paso 3:
Aplicando límite, se obtiene
lim
𝑡→ 1
= lim
𝑡→ 1
5. Determine la ecuación de la asíntota vertical de la siguiente función:
2
2
Solución
Paso 1: Posibles AV (el denominador se iguala a CERO)
2
Paso 2: Analizando límites
i. Cuando 𝑥 → 0
lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→ 0
2
2
Analizando límites laterales (basta hallar cuando 𝑥 → 0
o 𝑥 → 0
−
lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→ 0
2
2
−
ii. Cuando 𝑥 → 2
lim
𝑥→ 2
= lim
𝑥→ 2
2
2
Calculando el límite
lim
𝑥→ 2
2
2
= lim
𝑥→ 2
= lim
𝑥→ 2
Paso 3 : Dado que lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥) = +∞ se concluye que la ecuación de la AV es 𝑥 = 0
Problemas desarrollados bajo el enfoque del razonamiento cuantitativo
6. Un ingeniero está diseñando un sistema de irrigación para un campo agrícola. La cantidad de
agua, en litros, que fluye a través de una tubería está dada por la función:
donde 𝑝 es la presión del agua en la tubería en libras por pulgada cuadrada (lb in
2
⁄ ). ¿Cuál es
el comportamiento de la cantidad de agua que fluye a través de la tubería cuando la presión se
acerca a 5 lb in
2
Dimensión Solución
Interpretación
✓ El problema pide determinar el comportamiento de la cantidad de agua
que fluye a través de la tubería cuando la presión se acerca a 5 lb in
2
✓ Se conoce, la función que representa la cantidad de agua que fluye a
través de una tubería.
✓ Para resolver el problema aplicaremos conocimientos de límites.
Representación
✓ Definición de variables
▪ 𝑄: cantidad de agua en la tubería, en litros, con 𝑄 > 0
▪ 𝑝: presión del agua en la tubería, en lb in
2
, con 𝑝 > 5
✓ Ecuación
= lim
ℎ→ 0
2
= lim
ℎ→ 0
2
= lim
ℎ→ 0
Análisis y
argumentación
Como 𝑣( 2 ) = 6 m ⁄s > 5 m ⁄s
Respuesta.
Efectivamente, de acuerdo a los resultados obtenidos, podemos afirmar que
la velocidad instantánea del móvil a los 2 segundos de iniciado su movimiento
es de 6 m s
por lo que supera los 5 m s
Ejercicios adicionales
1. Para la función 𝑓 cuya gráfica está dada, determine cada uno de los siguientes límites. Si no
existe, explique por qué.
a. lim
𝑥→ 2
b. lim
𝑥→ 2
−
c. lim
𝑥→ 2
d. lim
𝑥→ 3
−
e. lim
𝑥→ 3
f. lim
𝑥→ 4
2. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = {
𝑥− 1
y 𝑔(𝑥) = {
3
cos
a. ¿Existe lim
𝑥→ 1
? y ¿existe lim
𝑥→ 1
? – Justifique sus respuestas.
b. Halle lim
𝑥→ 1
3. Dada la función
2
si 𝑥 < 2
3 si 𝑥 = 2
𝑐𝑥 + 5 si 𝑥 > 2
Determine el valor de 𝑐 para que lim
𝑥→ 2
𝑓(𝑥) exista.
4. Un sistema automatizado de control regula la temperatura de un reactor químico en función del
tiempo mediante sensores de alta precisión. La temperatura registrada por el sensor se modela,
durante una etapa crítica del proceso, por la siguiente función racional:
Donde 𝑇 es la temperatura en grados Celsius y 𝑡 es el tiempo en minutos desde el inicio de la
reacción. Determina el comportamiento de la temperatura cuando el tiempo se acerca a 5
minutos. ¿Qué sucede con la temperatura en este punto?
Respuestas de los ejercicios adicionales
a. 𝟎 c. No existe, límites laterales distintos e. +∞
b. 2
d. −∞
f. 1
a. Si existe lim
𝑥→ 1
b. No existe lim
𝑥→ 1
𝑔(𝑥) por tener límites laterales distintos.
4. Dado que lim
𝑡→ 5
𝑇(𝑡) = +∞ es decir, cuando el tiempo se acerca a 5 minutos, la temperatura
registrada por el sensor se vuelve inestable y tiende aumentar sin control.
