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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES´
FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES
CARRERAS QU´IMICA Y F´ISICA
Docente: Dra. Daisy Arroyo Fernandez
21 de mayo de 2024
SEGUNDO PARCIAL (SOLUCIONES)
C ´ALCULO II
Apellidos................................................................................... Nombres...............................................................
N´umero de C.I. .......................
Carrera ...................................
- (20 puntos) Seg´un la definici´on, calcular la derivada de f (x) = (x, x^2 , 1 − 2 x).
Soluci´on: Partimos de
f (x + h) =
x + h (x + h)^2 1 − 2(x + h)
x + h x^2 + 2xh + h^2 1 − 2 x − 2 h
(^) (evaluando en x + h)
x x^2 1 − 2 x
2 x − 2
(^) h +
h 0
(^) h = f (x) +
2 x − 2
(^) h +
h 0
(^) h
Y comparando con la definici´on tenemos r(H) =
h 0
(^) y como
Hl´ım→ 0 r(H) = l´ Hım→ 0
h 0
tenemos f ′(x) =
2 x − 2
. Como f es una funci´on de R en R^3 , su derivada es una matriz 3 × 1.
- (20 puntos) Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva formada por la intersecci´on de las superficies x^2 + y^2 + 2z^2 = 4, z = ex−y^ en el punto (1, 1 , 1).
Soluci´on: El plano tangente a x^2 + y^2 + 2z^2 = 4 en (1, 1 , 1) es: (1)x + (1)y + 2(1)z = 4 ´o x + y + 2z = 4. Por otra parte, con f (x, y, z) = z − ex−y^ se tiene ∇f = (−ex−y^ , ex−y^ , 1) y el gradiente en (1, 1 , 1) es (− 1 , 1 , 1). Por tanto, la ecuaci´on del plano tangente a z = ex−y^ en (1, 1 , 1) es: (−1)(x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = 0 ´o x − y − z = − 1. Intersectando los dos planos obtenemos la recta tangente pedida. x + y + 2z = 4 (1) x − y − z = − 1 (2) Expresando todas las variables en funci´on de una de ellas: De (2) tenemos: y = x − z + 1 (3) Reemplazando (3) en (1) tenemos: 2x + z = 3, de donde despejando x tenemos: x = 32 − z 2 (4) Reemplazando (4) en (3): y = 52 − 32 z (5) Usando el par´ametro t, cambiamos z por t, la recta pedida es: x =^32 − 2 t y =^52 − 32 t z = t
- (20 puntos) Calcular la siguiente integral doble: Z (^) π/ 2 0
Z (^) 4 cos θ 2 r^3 drdθ Soluci´on: Z (^) π/ 2 0
Z (^) 4 cos θ 2 r^3 drdθ =
Z (^) π/ 2 0
r^4 4 |
4 cos 2 θdθ
= (^14)
Z (^) π/ 2 0
h (4 cos θ)^4 − 24
i dθ =
Z (^) π/ 2 0
64 cos (^4) θ − 4 (^) dθ
Z (^) π/ 2 0 cos^4 θdθ −
Z (^) π/ 2 0 4 dθ = 64
Z (^) π/ 2 0 cos^4 θdθ − 4 θ|π/ 02
= 64
Z (^) π/ 2 0 cos^4 θdθ − 2 π
Nos falta calcular
Z (^) π/ 2 0 cos^4 θdθ. Considerando la siguiente identidad trigonom´etrica: cos^2 θ = cos (2 2 θ) + 1
