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FUNCIONES
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Una función real 𝑓 , de variable real es una relación que asocia a cada número real, 𝑥, un único número real 𝑦 = 𝑓(𝑥). Se puede expresar de esta forma: 𝑓: ℝ ⟶ ℝ 𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓(𝑥) La variable 𝑥 se denomina variable independiente y la variable 𝑦 se denomina variable dependiente.
EJEMPLOS
es una función no es una función
Una función puede cortar varias veces al eje 𝑋, pero solo puede cortar una vez, como máximo, al eje 𝑌. Las funciones describen fenómenos cotidianos, económicos, psicológicos, científicos.....
DOMINIO Y RECORRIDO
El dominio de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es el conjunto 𝐷 ⊂ ℝ de los valores para los que está definida la función. Se representa por 𝐷𝑜𝑚 𝑓 El recorrido o imagen de la función es el conjunto de valores que toma la función. Se representa por 𝐼𝑚 𝑓.
¿CÓMO DETERMINAMOS EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN?
EJEMPLOS:
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥^2 + 2𝑥 − 7 Las expresiones polinómicas están definidas para todos los números reales. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ.
b) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥^ (^2) +2𝑥− 7 𝑥+ Las funciones con 𝑥 en el denominador no están definidas cuando el denominador se anula. 𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = − 1. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − − 1. c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos. 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 1. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [1, ∞). d) 𝑓 𝑥 = log (𝑥 + 1) Los logaritmos solo están definidos para números reales positivos. 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > − 1. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (−1, ∞). e) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 Las funciones trigonométricas de seno y coseno siempre están definidas. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ. f) 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 La tangente no está definida cuando cos 𝑥 = 0.
Otros motivos que restringen el dominio son:
o Contexto real del que se ha extraído la función. Ej: l volumen de un cubo es 𝑉 = 𝑙^3. 𝐷𝑜𝑚 = (0, ∞). o Por voluntad del que propone la función. Ej: 𝑦 = 2𝑥 + 5, 𝑥 ∈ [1, 4]. 𝐷𝑜𝑚 = [1, 4]
EJERCICIOS:
Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) 𝑦 = (^) 𝑥+3^1 𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = − 3 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = ℝ − − 3
b) 𝑦 = 𝑥 − 2 𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 2 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = [2, ∞)
c) 𝑦 = 𝑥^2 + 1 𝑥^2 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = ℝ d) 𝑦 = 𝑥 − 1 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = [1, ∞) e) 𝑦 = 1 − 𝑥 1 − 𝑥 ≥ 0 ⇒ 1 ≥ 𝑥 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = (−∞, 1]
f) 𝑦 = 4 − 𝑥^2 4 − 𝑥^2 ≥ 0. 4 − 𝑥^2 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 𝐷𝑜𝑚 = [−2, 2] g) 𝑦 = 𝑥^2 − 4 𝑥^2 − 4 ≥ 0. 𝑥^2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 𝐷𝑜𝑚 = −∞, − 2 ∪ [2, ∞)
h) 𝑦 = (^) 𝑥^1 2 − 1 𝑥^2 − 1 > 0. 𝑥^2 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = ±1 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = −∞, − 1 ∪ (1, ∞)
i) 𝑦 = 𝑥^3 − 2 𝑥 + 3 𝐷𝑜𝑚 = ℝ
j) 𝑦 = (^1) 𝑥 𝐷𝑜𝑚 = ℝ − 0
k) 𝑦 = (^) 𝑥 21 − 4 𝑥^2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = ℝ − ±
l) 𝑦 = (^) 𝑥 21 +4 𝑥^2 + 4 = 0 ⇒ ∄ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 = ℝ
m) 𝑦 = (^) 𝑥 23 +𝑥 𝐷𝑜𝑚 = ℝ − 0, − 1
Creciente Decreciente Constante
Una función 𝑓 es cóncava en un punto si la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en ese punto está por debajo de la gráfica. Una función 𝑓 es convexa en un punto si la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en ese punto está por encima de la gráfica.
convexa en 𝑥 1 cóncava en 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 2
Si la recta tangente en un punto atraviesa la gráfica, decimos que la función tiene un punto de inflexión.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Una función 𝑓 presenta un máximo relativo en un punto 𝑥 0 , si existe un intervalo (𝑥 0 − , 𝑥 0 + ), tal que para cualquier punto 𝑥 del intervalo se cumple que 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥 0 ). Una función 𝑓 presenta un máximo absoluto en un punto 𝑥 0 , si para cualquier valor 𝑥 del dominio de la función se cumple que 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥 0 ). Una función 𝑓 presenta un mínimo relativo en un punto 𝑥 0 , si existe un intervalo (𝑥 0 − , 𝑥 0 + ), tal que para cualquier punto 𝑥 del intervalo se cumple que 𝑓 𝑥 > 𝑓(𝑥 0 ). Una función 𝑓 presenta un mínimo absoluto en un punto 𝑥 0 , si para cualquier valor 𝑥 del dominio de la función se cumple que 𝑓 𝑥 > 𝑓(𝑥 0 ).
SIMETRÍAS
Dada una función 𝑓 de variable real, decimos que 𝑓 es: Simétrica respeto del eje 𝑌, si para cualquier punto 𝑥 del dominio de la función se cumple: 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥). Estas funciones se denominan también funciones pares.
Simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto 𝑥 del dominio de la función se cumple: 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥). Estas funciones se denominan funciones impares.
Función par Función impar
EJEMPLOS: Estudia la simetría de estas funciones:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥^4 + 1 Sustituyo 𝑥 por −𝑥 en la expresión algebraica:
𝑓 −𝑥 = (−𝑥)^4 + 1 = 𝑥^4 + 1 = 𝑓 𝑥 ⇒ Función par
b) 𝑓 𝑥 = (^) 𝑥 2 𝑥+1 𝑓 −𝑥 = (^) (−𝑥(−𝑥) 2 )+1 = (^) 𝑥−𝑥 2 +1 = − (^) 𝑥 2 𝑥+1 = −𝑓(𝑥) ⇒ Función impar
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 𝑥+1 4 𝑓 −𝑥 = (−𝑥(−𝑥)^2 )+1 4 = 𝑥^2 𝑥+1 4 = 𝑓 𝑥 ⇒ Función par
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 3 𝑓 −𝑥 = (−𝑥)^3 − 3 = −𝑥^3 − 3 ⇒ No es simétrica
PERIODICIDAD
Una función 𝑓 es periódica de período 𝑇 > 0, si para cualquier valor 𝑥 del dominio de la función se cumple que: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 + 2𝑇 = ⋯ = 𝑓(𝑥 + 𝑘𝑇) con 𝑘 ∈ ℤ.
Ejemplo: Las funciones trigonométricas son periódicas de periodo 2 𝜋.
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
Si se conoce la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) se pueden obtener las gráficas de otras funciones a partir de ella:
La función 𝑓 𝑥 + 𝑘 se obtiene trasladando 𝑓(𝑥) verticalmente 𝑘 unidades hacia arriba si 𝑘 > 0 𝑓(𝑥) o hacia abajo si 𝑘 < 0. 𝑓 𝑥 − 𝑘 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘)
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES POLINÓMICAS
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
Las funciones polinómicas de primer grado se denominan funciones afines y son del tipo 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Su gráfica es una recta con pendiente 𝑚 y que pasa por el punto (0, 𝑛). al número 𝑛 se le llama ordenada en el origen. CARACTERÍSTICAS El dominio de una función afín es ℝ. Si 𝑚 > 0 la función es creciente. Si 𝑚 < 0 la función es decreciente. Si 𝑚 = 0 la función es constante.
EJEMPLOS: Representa: a) 𝑦 = − 2 𝑥 + 3 b) 𝑦 = 3𝑥 c) 𝑦 = − 3
FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO
Las funciones polinómicas de segundo grado se denominan funciones cuadráticas y son funciones del tipo 𝑦 = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 ≠ 0. Su gráfica es una parábola.
CARACTERÍSTICAS
El dominio de una función cuadrática es ℝ. El vértice es (𝑥 0 , 𝑦 0 ) donde 𝑥 0 = −𝑏 2 𝑎. Si 𝑎 > 0 el vértice de la parábola es un mínimo. Si 𝑎 < 0 el vértice de la parábola es un máximo. EJEMPLOS:
Representa: a) 𝑓 𝑥 = − 2 𝑥^2 − 4 𝑥 + 1 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 + 2𝑥 − 2 c) 𝑓 𝑥 = − 3 𝑥^2 − 𝑥 − 1
FUNCIONES RACIONALES
Las funciones racionales son aquellas funciones cuya expresión algebraica es 𝑓 𝑥 = (^) 𝑄𝑃((𝑥𝑥)), siendo 𝑃 y 𝑄
polinomios y grado 𝑄 ≠ 0.
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Una función de proporcionalidad inversa es una función racional cuya expresión algebraica es del tipo 𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥,
con 𝑘 ≠ 0. Su gráfica es una hipérbola.
CARACTERÍSTICAS El dominio es ℝ − 0. No está definida en 𝑥 = 0. Decimos que en 𝑥 = 0 hay una asíntota vertical. A medida que los valores de 𝑥 crecen o decrecen, la función se acerca a 𝑦 = 0. Decimos que en 𝑦 = 0 hay una asíntota horizontal. La gráfica de esta función no corta a los ejes de coordenadas. La función es impar, simétrica respecto del origen de coordenadas. Si 𝑘 > 0 la función es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante. Si 𝐾 < 0 la función es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante.
EJEMPLOS:
a) 𝑦 = (^1) 𝑥
b) 𝑦 = − 𝑥^1
c) 𝑦 = (^3) 𝑥
d) 𝑦 = (^1) 𝑥 + 2
e) 𝑦 = (^) 𝑥+2^1
f) 𝑦 = (^) 𝑥−+2^1 + 3
FUNCIONES CON RADICALES
EJEMPLOS:
a) 𝑦 = 2𝑥 b) 𝑦 = 0′^5 𝑥 c) 𝑦 = − 2 𝑥 d) 𝑦 = 2−𝑥 e) 𝑦 = 2𝑥^ + 3 f) 𝑦 = 0′ 5 𝑥+
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Las funciones logarítmicas son funciones del tipo 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥, donde 𝑎 es un número real 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
CARACTERÍSTICAS El logaritmo solo existe para valores positivos, por tanto 𝐷𝑜𝑚 = (0, ∞). Como log𝑎 1 = 0 la función pasa siempre por el punto (1, 0). Como log𝑎 𝑎 = 1 la función pasa siempre por el punto (𝑎, 1). Si 𝑎 > 1 la función es creciente. Si 0 < 𝑎 < 1 la función e decreciente.
EJEMPLOS:
a) 𝑦 = log 2 𝑥 b) 𝑦 = log 12 𝑥
c) 𝑦 = − log 2 𝑥 d) 𝑦 = log 2 (−𝑥) e) 𝑦 = log 0 ′ 5 (𝑥 − 3) f) 𝑦 = − log 2 (−𝑥)
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Una función definida a trozos es una función con distintas expresiones algebraicas dependiendo del intervalo de su dominio. Representamos las funciones pero teniendo en cuenta su intervalo de definición y teniendo en cuenta sobre todo los extremos de cada intervalo.
EJEMPLOS:
a) 𝑦 =
𝑥^2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
log 2 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 4
b) 𝑦 = 𝑥 1 𝑠𝑖𝑠𝑖^ 𝑥𝑥^ >≤^00
c) 𝑦 =
𝑥^2 + 2 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
d) 𝑦 =
𝑥^2 − 2 𝑥 + 1 𝑥 ∈ 0 , 3
e) 𝑦 = (^2) 𝑥𝑥 (^2) −+^11 𝑥𝑥^ ≥<^11
FUNCIÓN PARTE DECIMAL
La parte decimal o mantisa de un número 𝑥 es: 𝑓 𝑥 = 𝑀𝑎𝑛𝑡 𝑥 = 𝑥 − 𝐸𝑛𝑡(𝑥)
𝑀𝑎𝑛𝑡 0 ′^5 = 0′^5 − 0 = 0′^5 𝑀𝑎𝑛𝑡 1 ′^5 = 1′^5 − 1 = 0′^5 𝑀𝑎𝑛𝑡 1 = 1 − 1 = 0 𝑀𝑎𝑛𝑡 − 0 ′^5 = − 0 ′^5 − − 1 = 0′^5
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
𝑎 = (^) −𝑎^ 𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖^ 𝑎𝑎^ ≥<^00 𝑦 = 𝑓(𝑥) = (^) −𝑓𝑓^ 𝑥𝑥^ 𝑠𝑖𝑠𝑖^ 𝑓 𝑓𝑥 𝑥 ≥<^0
EJEMPLOS:
a) 𝑦 = 𝑥 b) 𝑦 = 𝑥 − 3 c) 𝑦 = 𝑥^2 − 5 𝑥 + 4 .
