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Este documento pertenece a la asignatura de Ingeniería en Telecomunicaciones de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas en Venezuela. Se trata de un fragmento de apuntes sobre el estudio de la creciente y decreciente de una función, así como la definición y determinación de máximos y mínimos absolutos y relativos. Se incluyen ejemplos y criterios para su determinación.
Tipo: Ejercicios
1 / 10
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas
Ingeniería en Telecomunicaciones
Cumaná Estado Sucre
Matemática I
Unidad 3. Actividad 3.
Profesora: Odalys Peña
Realizado Por:
Br. Edgar Alexis Castillo Incerri
Sección: 01S-2520-D
Cumaná, Mayo del 2021
Actividad 3.
Investigar: Valor: 20 ptos.
El crecimiento y decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo
[ a, b ], en un punto x o en todo el dominio.
La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro.
Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región.
Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo
[ a, b ].
Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x 1
y x 2
del
intervalo tales que x 1
<x 2
, se cumple que f(x 1
) < f(x 2
). Es decir, es creciente en [ a,
b ] si al aumentar la variable independiente x , aumenta la variable dependiente y.
Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x 1
y x 2
del
intervalo tales que x 1
<x 2
, se cumple que f(x 1
) > f(x 2
). Es decir, es decreciente en
[ a, b ] si al aumentar la variable independiente x , disminuye la variable
dependiente y.
Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo
La función es creciente en los intervalos (− ∞ , 0 ) ∪ ( 0,1 ) ∪ ( 3 , ∞ )
La función es decreciente en los intervalos ( 0,3)
con su gráfica.
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en
x = a si la ordenada es mayor o igual
que en cualquier otro punto del dominio de la función.
En la siguiente gráfica, la función tiene su máximo absoluto en
x = 0
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en x = b si la ordenada es menor o igual
que en cualquier otro punto del dominio de la función.
En la siguiente gráfica, la función tiene su mínimo absoluto en
x = 4
Máximo y mínimo relativo
Una función
f ( x ) tiene un máximo relativo en
x = a , si
f ( a ) es mayor o igual que
los puntos próximos a a.
Una función f ( x ) tiene un mínimo relativo en x = b , si f ( b ) es menor o igual que los
puntos próximos a
b .
Ejemplo:
Encuentra los extremos relativos de f
x
= x
3
− 4 x
(1) Calculamos la primera y segunda derivada de la función
f ( x )
f ' ( x )= 3 x
2
f ' ' ( x ) = 6 x
(2) Buscamos los puntos críticos
3 x
2
x
2
x = ±
observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto
crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que
es continua en un intervalo abierto b que contiene a c.
Teorema
Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c , entonces f(c) puede
clasificarse como sigue.
en (c, f(c) ).
en (c, f (c) ).
entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
Ejemplo
Dada la función, hallar sus extremos locales f ( x )= x ( 6 − 2 x )
2
f '
x
= x
36 − 24 x + 4 x
2
f '
x
= 4 x
3
− 24 x
2
dom ( f ) = R
f ' ( x )= 0
12 x
2
− 48 x + 36 = 0
x
2
− 4 x + 3 = 0
( x − 3 ) ( x − 1 )= 0
Puntos Críticos {3, 1}
En x=3, hay un mínimo local, que es y=
En x=1, hay un máximo local, que es y=
relativos (teorema). Ejemplo.
Se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los
máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es
cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c , y f'(c) = 0, f'(c) debe ser un
mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en
un intervalo abierto que contiene a c , y f'(c) = 0 debe ser un máximo relativo de f. Teorema
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que
contiene a c 1.
Teorema
Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en ( c , f(c) ).
Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en ( c , f(c) ).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo
en c, un mínimo relativo en (c, f'(c) ) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede
utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
Ejemplo
Trace una gráfica de una función y= f(x) que tenga las siguientes características.
Su gráfica pasa por los puntos:
Los puntos en los que la curvatura de una función f(x) pasa de cóncava a
convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.
