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Matem´aticas
Tema 5: Optimizaci´on de funciones de una variable
Pablo S´anchez Moreno
Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de Granada
[email protected]
Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas Curso 2014-
Pablo S´anchez Moreno Tema 5: Optimizaci´on de funciones de una variable 1 / 37
(^1) Objetivos
(^2) Crecimiento y decrecimiento
(^3) Concavidad y convexidad
4 Extremos relativos
(^5) Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^6) Aplicaciones a la Econom´ıa
7 ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Pablo S´anchez Moreno Tema 5: Optimizaci´on de funciones de una variable 2 / 37
Objetivos
(^1) Objetivos
(^2) Crecimiento y decrecimiento
(^3) Concavidad y convexidad
(^4) Extremos relativos
(^5) Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^6) Aplicaciones a la Econom´ıa
(^7) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Objetivos
Objetivos de esta lecci´on
(^1) Comprender los conceptos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de una funci´on. (^2) Determinar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de una funci´on. (^3) Calcular los puntos cr´ıticos de una funci´on. (^4) Verificar la existencia de m´aximos absolutos mediante el teorema de Weierstrass. (^5) Determinar los extremos (m´aximos y m´ınimos) absolutos y relativos de una funci´on.
Crecimiento y decrecimiento
(^1) Objetivos
(^2) Crecimiento y decrecimiento
(^3) Concavidad y convexidad
4 Extremos relativos
(^5) Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^6) Aplicaciones a la Econom´ıa
7 ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
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Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento y decrecimiento
Sea una funci´on f : D → R y un intervalo I ⊂ D. Diremos que f es creciente en I si f (x) ≤ f (y), ∀x, y ∈ I tales que x < y. decreciente en I si f (x) ≥ f (y), ∀x, y ∈ I tales que x < y. estrictamente creciente en I si f (x) < f (y), ∀x, y ∈ I tales que x < y. estrictamente decreciente en I si f (x) > f (y), ∀x, y ∈ I tales que x < y.
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Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento y decrecimiento
f (x)
Funci´on creciente
f (x)
Funci´on decreciente
f (x)
Funci´on estrictamente creciente
f (x) Funci´on estrictamente decreciente
Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 1 f (x) = x^3 es estrictamente creciente en R: Si x < y =⇒ x^3 < y^3 =⇒ f (x) < f (y).
f (x)
Concavidad y convexidad
(^1) Objetivos
(^2) Crecimiento y decrecimiento
(^3) Concavidad y convexidad
4 Extremos relativos
(^5) Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^6) Aplicaciones a la Econom´ıa
7 ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
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Concavidad y convexidad
Concavidad y convexidad
La concavidad y la convexidad son propiedades de una funci´on que dan idea de la curvatura de la misma:
f (x)
Funci´on convexa
f (x)
Funci´on convexa
f (x)
Funci´on c´oncava
f (x)
Funci´on c´oncava
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Concavidad y convexidad
Concavidad y convexidad por medio de la segunda derivada
Sea una funci´on f : D → R y un intervalo I ⊂ D. Si f tiene segunda derivada, diremos que f es convexa en I si f ′′(x) ≥ 0 , ∀x ∈ I. c´oncava en I si f ′′(x) ≤ 0 , ∀x ∈ I.
Los puntos en los que la funci´on cambia de c´oncava a convexa o de convexa a c´oncava se llaman puntos de inflexi´on.
Concavidad y convexidad
Concavidad y convexidad por medio de la segunda derivada
Ejemplo La funci´on del ejemplo anterior era:
f (x) =
4 x^3 3
Su segunda derivada es f ′′(x) = 8x + 6. Para saber d´onde es positiva o negativa, buscamos d´onde es cero.
f ′′(x) = 8x + 6 = 0 =⇒ x = −
f ′′(x)
f (x) (^) − 3 4
c´onc. conv.
Concavidad y convexidad
Concavidad y convexidad por medio de la segunda derivada
Ejemplo (continuaci´on) Por tanto: f (x) es c´oncava en (−∞, − 34 ) f (x) es convexa en (− 34 , +∞)
f (x)
x = − 34 es un punto de inflexi´on. Pablo S´anchez Moreno Tema 5: Optimizaci´on de funciones de una variable 17 / 37
Extremos relativos
(^1) Objetivos
(^2) Crecimiento y decrecimiento
(^3) Concavidad y convexidad
4 Extremos relativos
(^5) Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^6) Aplicaciones a la Econom´ıa
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Extremos relativos
M´ınimos y m´aximos relativos
Sea una funci´on f : D → R, y un punto x 0 ∈ D: x 0 es un m´ınimo relativo de f (x) si f (x 0 ) < f (x), para todo x en un entorno cercano de x 0. x 0 es un m´aximo relativo de f (x) si f (x 0 ) > f (x), para todo x en un entorno cercano de x 0.
f (x)
m´ax. rel.
m´ın. rel.
m´ın. rel.
m´ax. rel.
Extremos relativos
Puntos cr´ıticos
Punto cr´ıtico x 0 es un punto cr´ıtico de f si f ′(x 0 ) = 0.
Condici´on necesaria de extremo relativo Sea f una funci´on derivable en x 0. Entonces: Si x 0 es un extremo relativo de f =⇒ x 0 es un punto cr´ıtico de f.
Extremos relativos
Puntos cr´ıticos y extremos relativos
Ejemplo 2 (continuaci´on)
1 2
3 4 1
1 2
f (x)
m´ın. rel.
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Extremos absolutos
(^1) Objetivos
(^2) Crecimiento y decrecimiento
(^3) Concavidad y convexidad
4 Extremos relativos
(^5) Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^6) Aplicaciones a la Econom´ıa
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Extremos absolutos
M´ınimos y m´aximos absolutos
Sea una funci´on f : D → R, y un punto x 0 ∈ D: x 0 es un m´ınimo absoluto de f (x) si f (x 0 ) < f (x), para todo x ∈ D. x 0 es un m´aximo absoluto de f (x) si f (x 0 ) > f (x), para todo x ∈ D.
f (x)
m´ın. abs.
m´ax. abs.
Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^1) Objetivos
(^2) Crecimiento y decrecimiento
(^3) Concavidad y convexidad
(^4) Extremos relativos
(^5) Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
(^6) Aplicaciones a la Econom´ıa
(^7) ¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
Teorema de Weierstrass
Teorema de Weierstrass
Sea una funci´on continua f : D → R, definida en un intervalo D compacto (cerrado y acotado). Entonces la funci´on f alcanza el m´aximo y el m´ınimo absolutos en el intervalo D.
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (Ostenfelde 1815 - Berl´ın 1897) Pablo S´anchez Moreno Tema 5: Optimizaci´on de funciones de una variable 29 / 37
Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
Optimizaci´on en intervalos compactos
Dada una funci´on continua f : D → R, definida en un intervalo D compacto, los extremos absolutos se encuentran en alguno de estos conjuntos: E 1 = {x ∈ D; f no es derivable en x}. E 2 = {x ∈ D; f es derivable en x y f ′(x) = 0}. E 3 = F r(D) ∩ D = {Los puntos frontera de D}.
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Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
Optimizaci´on en intervalos compactos
Ejemplo
f : [− 2 , 4] → R
f (x) = x^4 2
− x^3 − x^2
f es derivable en todo el intervalo de definici´on, por ser polin´omica. Puntos cr´ıticos:
f ′(x) = 2x^3 − 3 x^2 − 2 x = 0 =⇒ x(2x^2 − 3 x − 2) = 0
=⇒ x = 0 x = −
x = 2
Extremos absolutos Optimizaci´on en intervalos compactos
Optimizaci´on en intervalos compactos
Ejemplo (continuaci´on) Entonces: E 1 = {x ∈ D; f no es derivable en x} = ∅. E 2 = {x ∈ D; f es derivable en x y f ′(x) = 0} =
E 3 = F r(D) ∩ D = {− 2 , 4 } ∩ [− 2 , 4] = {− 2 , 4 }. Candidatos a extremos absolutos: {− 2 , − 12 , 0 , 2 , 4 }
f (−2) = 12 f
f (0) = 0 f (2) = − 4 f (4) = 48
M´aximo absoluto en x = 4 con valor 48. M´ınimo absoluto en x = 2 con valor -4.
¿Qu´e hemos aprendido hoy?
Optimizaci´on de funciones
Hemos aprendido a determinar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de una funci´on. Hemos aprendido a determinar los puntos cr´ıticos de una funci´on.
f ′(x) = 0
Hemos aprendido a determinar los extremos relativos de una funci´on. Hemos aprendido a determinar los extremos absolutos de una funci´on con la ayuda del teorema de Weierstrass. m´ax. abs.
m´ın. abs. Pablo S´anchez Moreno Tema 5: Optimizaci´on de funciones de una variable 37 / 37
