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Docente: Luis Arica

CICLO VIRTUAL INVIERNO 2,021

ÁREA: ARITMÉTICA

GRUPO: PREUNIVERSITARIO

POTENCIACIÓN

Consiste en encontrar el producto de una misma

cantidad, llamada base, tantas veces como indica otra

llamada exponente.

PNNNP

factoresk

k== 

....

N: base

k: exponente

P: potencia (resultado de la operación)

Cuadrado Perfecto (k²)

Es aquel que resulta del producto de dos cantidades

iguales.

Ejemplo:

36 = 6 x 6; 49 = 7 x 7

Cubo Perfecto (k³)

Es aquel que resulta del producto de tres cantidades

iguales.

Ejemplo:

27 = 3 x 3 x 3; 8 = 2 x 2 x 2

Condición de Racionalidad

Si:

ba .....=

.....

2

== pcba

.....

3

== pcba

Ejemplos:

36 2

(cuadrado perfecto)

216 3

(cubo perfecto)

Criterios de Inclusión o Exclusión del cuadrado

perfecto

Criterios de Inclusión

❖ Todo cuadrado perfecto termina en 0; 1; 4; 5; 6 ó 9.

Ejemplos: 100; 121; 144; 25; 36; 49

❖ Si termina en cero (0), la cantidad de ceros debe ser

par. Ejemplos: 100; 40000; 9000000

❖ Si termina en 5, su cifra de decenas siempre es 2, y

su cifra de centenas podría ser 0; 2 ó 6. Ejemplos:

25; 225; 625

❖ Si un número impar es cuadrado perfecto, entonces

al dividirse entre 8 da residuo 1.

Ejemplos:

121=

121 += 

961=

961 += 

❖ Si un número es cuadrado perfecto, pero no es

divisible por 3; al dividirse entre 3, da residuo 1.

Ejemplos:

289 =

289 += 

256 =

256 += 

Criterios de Exclusión

❖ Ningún número terminado en 2; 3; 7 u 8 es cuadrado

perfecto. Ejemplos: 72; 53; 107; 848

Criterios de Inclusión de cubos perfectos

❖ Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.

❖ Si terminan en cero (0), la cantidad de ceros debe

ser múltiplo de 3.

Ejemplos: 8000; 27000000

❖ Si terminan en 5, su cifra de decenas solo puede ser

2 ó 7.

Ejemplos: 125; 42875

❖ Si un número es cubo perfecto y no es divisible entre

3, al dividirse entre 9 solo da residuo 1 ú 8.

Ejemplos:

8000=

;

8000 



8000 += 

64 =

;

64 



64 += 

❖ Si un número es cubo perfecto y no divisible entre 7,

entonces al dividirse entre 7 solo da residuo 1 ó 6.

Ejemplos:

8000=

;

8000 



8000 += 

64 =

;

64 



64 += 

RADICACIÓN

Es una operación aritmética en que dada dos

cantidades; radicando e índice, se busca una cantidad

llamada raíz, que elevada a un exponente igual al índice

reproduce el radicando.

qN n

n==

39 2

2==

327 3

3==

Raíz Cuadrada Entera

Todos sus términos son números enteros positivos.

N q ---► N = q² + 0 (Exacta)

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CICLO VIRTUAL INVIERNO 2,02 1

ÁREA: ARITMÉTICA

GRUPO: PREUNIVERSITARIO

POTENCIACIÓN

Consiste en encontrar el producto de una misma cantidad, llamada base, tantas veces como indica otra llamada exponente. N P N N N P k factores k = = " "

. ... N: base k: exponente P: potencia (resultado de la operación) Cuadrado Perfecto (k²) Es aquel que resulta del producto de dos cantidades iguales. Ejemplo: 36 = 6 x 6; 49 = 7 x 7 Cubo Perfecto (k³) Es aquel que resulta del producto de tres cantidades iguales. Ejemplo: 27 = 3 x 3 x 3; 8 = 2 x 2 x 2 Condición de Racionalidad Si: N (^) A B C P = a^. b. c ... p ..... 2 = 2  abc p = N k ..... 3 = 3  abc p = N k Ejemplos: 36 2. 3 =^22 (cuadrado perfecto) 216 2. 3 =^33 (cubo perfecto) Criterios de Inclusión o Exclusión del cuadrado perfecto Criterios de Inclusión ❖ Todo cuadrado perfecto termina en 0; 1; 4; 5; 6 ó 9. Ejemplos: 100; 121; 144; 25; 36; 49 ❖ Si termina en cero (0), la cantidad de ceros debe ser par. Ejemplos: 100; 40000; 9000000 ❖ Si termina en 5, su cifra de decenas siempre es 2, y su cifra de centenas podría ser 0; 2 ó 6. Ejemplos: 25; 225; 625 ❖ Si un número impar es cuadrado perfecto, entonces al dividirse entre 8 da residuo 1. Ejemplos: k 121 =^2 y^1 121 = 8 +  k 961 =^2 y 1 961 = 8 +  ❖ Si un número es cuadrado perfecto, pero no es divisible por 3; al dividirse entre 3, da residuo 1. Ejemplos: k 289 =^2 y 1 289 = 3 +  k 256 =^2 y 1 256 = 3 +  Criterios de Exclusión ❖ Ningún número terminado en 2; 3; 7 u 8 es cuadrado perfecto. Ejemplos: 72; 53; 107; 848 Criterios de Inclusión de cubos perfectos ❖ Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra. ❖ Si terminan en cero (0), la cantidad de ceros debe ser múltiplo de 3. Ejemplos: 8000; 27000000 ❖ Si terminan en 5, su cifra de decenas solo puede ser 2 ó 7. Ejemplos: 125; 42875 ❖ Si un número es cubo perfecto y no es divisible entre 3, al dividirse entre 9 solo da residuo 1 ú 8. Ejemplos: k 8000 =^3 ; (^8000 )   y^8000 =^9 +^8  k 64 =^3 ; (^64 )   y^64 =^9 +^1  ❖ Si un número es cubo perfecto y no divisible entre 7, entonces al dividirse entre 7 solo da residuo 1 ó 6. Ejemplos: k 8000 =^3 ; (^8000 )   y^8000 =^7 +^6  k 64 =^3 ; (^64 )   y^64 =^7 +^1  RADICACIÓN Es una operación aritmética en que dada dos cantidades; radicando e índice, se busca una cantidad llamada raíz, que elevada a un exponente igual al índice reproduce el radicando. N q q N n n =  = (^2 9) = 3  32 = 9 (^3 27) = 3  33 = 27 Raíz Cuadrada Entera Todos sus términos son números enteros positivos. N q ---► N = q² + 0 (Exacta) 0

“ACADEMIA OMEGA”

Contáctanos: 981 322 159^2 Ciclo Virtual^ Invierno^ 2,02^1 “Nuestro fin es verte ingresar.” (^) ARITMÉTICA N q ---► N = q² + r (Inexacta por defecto) r N q+1 ---► N = (q+1)² - r’ (Inexacta por exceso) r’ Propiedades de la Raíz Cuadrada Inexacta r + r ' = 2 q + 1

rmáx =^2 q

rmín =^1

Raíz Cúbica Entera Todos sus términos son números enteros positivos. 3 N q ---► N = q³ + 0 (Exacta) 0 3 N q ---► N = q³ + r (Inexacta por defecto) r 3 N q+1 ---► N = (q+1)³ - r’ (Inexacta por exceso) r’ Propiedades de la Raíz Cúbica Inexacta r + r ' = 3 q ( q + 1 )+ 1

rmáx =^3 q ( q +^1 )

rmín =^1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcule la raíz cúbica del producto de todos los enteros positivos cubos perfectos menores que 10000 que tengan exactamente 28 divisores positivos. a) 4320 b) 216 c) 360 d) 4200 e) 4500 2. 2 aa es el mayor entero positivo que es la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos. Determinar el primero y el último de los enteros comprendidos entre dichos cuadrados perfectos. a) 22201 y 22500 b) 22202 y 22499 c) 22200 y 22501 c) 22199 y 22499 d) 22190 y 22490 3. Un jardinero quiere plantar sus árboles igualmente espaciados en un terreno cuadrado de 234 m de lado. Si la separación entre árbol y árbol fuese 1,2 m le faltarían 3000 árboles. Determinar la distancia que debe haber entre ellos de manera que le sobren 2655 árboles. a) 1,3 m b) 1,4 c) 1, d) 1,25 e) 1, 4. Si: N + 1 = k^2 Donde: N = bb (2 )(2 ) b b Hallar: b + k a) 72 b) 70 c) 71 d) 73 e) 49 5. Cuál es la suma de cifras del resultado de: 2 200 999... cifras         a) 1780 b) 1800 c) 1600 d) 1900 e) 1500 6. ¿Cuántos cuadrados perfectos de 5 cifras empiezan y terminan en 4? a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 7 7. Hallar a + b si se sabe que: ababab multiplicado por 273 es un cuadrado perfecto. a) 10 b) 12 c) 13 d) 9 e) 11 8. Hallar el valor de a + b + c si abcc y ab son cubos perfectos. a) 10 b) 13 c) 14 d) 11 e) 12 9. Hallar un número comprendido entre 5000 y 6000 sabiendo que al sumarle sus 3/4 partes se obtiene un cubo perfecto. a) 5876 b) 5242 c) 5292 d) 5456 e) 5291 10. Hallar un número de la forma 368 xy tal que sea un cuadrado perfecto. Dar como respuesta: x + y a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 11. ¿Cuántos números de 4 cifras pueden ser residuos máximos de la raíz cúbica de un número entero? a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) 47 12. Si: ( 2) ( 1) 3 a a ab a   − (^)   −   es un cuadrado perfecto. Hallar la suma de las cifras de su raíz cuadrada. a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

Potenciación y Radicación: Ejercicios Resueltos y Propuestos para Preuniversitario, Apuntes de Matemáticas

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CICLO VIRTUAL INVIERNO 2,02 1

ÁREA: ARITMÉTICA

GRUPO: PREUNIVERSITARIO

POTENCIACIÓN

“ACADEMIA OMEGA”

rmáx =^2 q

rmín =^1

rmáx =^3 q ( q +^1 )

rmín =^1

EJERCICIOS PROPUESTOS