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Tema 1: Matrices
El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
1. Terminología
Comenzamos con la definición de matriz de dimensión u orden como un cuadro de números dispuestos en filas y columnas y su representación con letras mayúsculas siendo indicativo de fila y indicativo de columna:
es una matriz en la que hemos significado las dos primeras filas y
columnas, la fila y la última fila y columna.
Así, en la matriz de dimensión identificamos alguno de sus
elementos según su posición: o. Llamamos al conjunto de matrices de orden ; esto nos permitirá ser rigurosos a la hora de enunciar ciertos resultados o propiedades.
2. Igualdad de matrices
Dos matrices de la misma dimensión son iguales si y solo si lo son los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas, esto es: Sean
3. Tipos de matrices
Pasamos ahora a definir los distintos tipos de matrices: matriz fila, matriz columna, matriz nula, matriz cuadrada, matriz rectangular y, dentro de las matrices cuadradas, a definir la diagonal principal y la secundaria.
Matriz fila es toda matriz de dimensión (vector fila):
Matriz columna es toda matriz de dimensión mx1 (vector columna):
Matriz nula es toda matriz en la que todos sus elementos son nulos:
Matriz cuadrada es toda matriz que tiene igual número de filas y de columnas. Se hablará de
matriz cuadrada de orden (dimensión ):
Llamaremos al conjunto de matrices cuadradas de orden. En toda matriz cuadrada distinguimos la diagonal principal , formada por los elementos y la diagonal secundaria , elementos con
A las matrices no cuadradas las llamaremos rectangulares.
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que los elementos que no están en la diagonal principal valen cero.
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz unidad es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal valen la unidad.
matriz unidad de orden 3
Matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que los elementos por encima de la diagonal principal son nulos.
Vamos a definir las operaciones de suma en el conjunto y la de producto de número real por una matriz de. Terminaremos con la trasposición de matrices.
4. Operaciones con matrices
4.1 Suma de matrices
Sean y definimos su suma como una matriz
en la que , esto es, una nueva matriz de la misma dimensión que las dadas en la que el elemento que ocupa la posición fila columa es la suma de los elementos que ocupan esa misma posición en y.
Definimos la opuesta – de una matriz como – y la resta de dos
matrices de la misma dimensión como.
Ejemplo 1
4.1.1 Propiedades de la suma de matrices
[P1] Conmutativa: [P2] Asociativa: [P3] Elemento neutro: [P4} Elemento opuesto:
4.2 Producto de un número real (escalar) por una matriz
Sean
Definimos el producto como la matriz
Ejemplo 2
Ejemplo 4
Multiplicamos una matriz de dimensión por otra de dimensión incidiendo en que se pueden multiplicar y la dimensión de la matriz producto:
Propiedades [P1] No conmutativa. Basta considerar dos matrices que no conmuten. [P2] Asociativa: [P3] Distributiva del producto respecto de la suma: siendo y.
[P4] Elemento neutro (unidad): Dada , existen las matrices unidad de orden , y de orden , tales que y. [P5]
*** Matriz ortogonal** es una matriz cuadrada de orden tal que.
4.5 Potencia de una matriz
Una potencia, de exponente natural, de una matriz cuadrada no es más que una forma abreviada de expresar el producto de dicha matriz por sí misma un cierto número de veces:
5. Inversa de una matriz cuadrada
Sea. La inversa de , si existe, es una matriz cuadrada que escribiremos que cumple
Ejemplo 5
Consideremos la matriz cuadrada. Calcula su inversa
Sea. Obligando a que obtenemos dos sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas que resolvemos fácilmente. Así:
La matriz inversa es
6. Dependencia e independencia lineal. Rango de una matriz
Vamos a dar el concepto de combinación lineal de filas (columnas) de una matriz, dependencia e independencia lineal de filas (columnas) de una matriz y definir el rango de una matriz.
6.1 Combinaciones lineales
Consideremos la matriz
Podemos observar que la fila tercera es el resultado de sumar a la segunda el triple de la primera:. Diremos de la fila es combinación lineal de y y que el conjunto { es linealmente dependiente.
En general, en una matriz, una fila es combinación lineal de otras filas cuando se puede expresar siendo los coeficientes números reales o escalares. (Análogo para columnas)
6.2 Dependencia e independencia lineal
Un conjunto de filas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de ellas que es combinación lineal de las demás. En caso contrario se dice que son linealmente independientes. (Análogo para columnas)
6.3 Rango de una matriz
El rango de una matriz es el número máximo de filas (columnas) linealmente independientes.
Método de Gauss para calcular el rango de una matriz
1º] Escalonamos la matriz aplicando el método de Gauss con sus transformaciones elementales. 2º] Una vez escalonada, el rango de la matriz es el número de filas no nulas. (Análogo para columnas)
Ejemplo 6
Consideremos la matriz
Aplicamos el método de Gauss para escalonarla:
El número de filas no nulas es 2. Por tanto.
