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Una introducción a las matrices en algebra lineal, incluye tipos de matrices como fila, columna, cuadrada, diagonal, escalar, identidad, triangular superior e inferior, nula, propiedades de matrices como suma, producto, transpuesta, simétrica, antisimétrica, regular, singular, ortogonal y nilpotente, operaciones como suma, resta, producto por escalar y producto de matrices, y el cuerpo de conjuntos sobre el que operan.
Tipo: Apuntes
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1 Introducci´on 1
2 Tipos de matrices 2
3 Operaciones 3
4 Propiedades 3
5 Cuerpo 4
6 Matrices escalonadas 4
7 Ecuaci´on matricial 5
8 Determinantes 6
8.1 Propiedades............................ 6
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
am 1 am 2... amn
con aij ∈ K
Ejemplo:
A ∈ M 2 x 3 (R)
aij = bij , ∀i = 1,... , m, ∀j = 1,... , n
2 Tipos de matrices
a 11 a 12... a 1 n
a 11
a 21
. . .
am 1
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
an 1 an 2... ann
a 11 0... 0
0 a 22... 0
. . .
0 0... ann
λ 0... 0
0 λ... 0
. . .
0 0... λ
a 11 a 12... a 1 n
0 a 22... a 2 n
. . .
0 0... ann
T
Diagonal llena de 0
A es regular ⇔ ∃A
− 1
No existe A
− 1 , |A| = 0
T = 1, A
T = A
− 1
A es nilpotente si ∃n tal que A
n = 0
5 Cuerpo
K conjunto
Suma K + K → K
P roducto K × K → K
En suma
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
En producto
Asociativa
Elemento neutro
Elemnto inverso
Conmutativa
Distributiva
6 Matrices escalonadas
A partir de
Multiplicar filas por escalar 6 = 0
Intercambiar filas
Sumar filas
se obtiene una matriz es-
calonada a partir de otra.
1 11 0 − 31 8
1 11 0 0
119 11
1 11 0 0 1
det(A)
adj(A
T )
´o bien (^)
. a b c
. d e f
. g h i
7 Ecuaci´on matricial
3 x +y −z = 12
y +z = 0 1 2
x +3y − 4 z = 8
1 2
x
y
z
AX = B si ∃A
− 1 → A
− 1 AX = A
− 1 B
Un sistema no tiene soluciones si no se cumplen todas sus igualdades a la
vez
Matriz ampliada A∗ = (A|B)
Soluciones: Un sistema de m ecuaciones lineales y n inc´ognitas AX = B
es:
− 1 → X = A
− 1
′ escalonada → Gauss
a 1... 1
1 a... 1
. . .
1 1... a
a + n − 1 a + n − 1... a + n − 1
1 a... 1
. . .
1 1... a
(a + n − 1) ·
1 a... 1
. . .
1 1... a
∼ (a + n − 1) ·
0 1 − a... 0
1 a... 1
. . .
1 1... a
(a + n − 1) · (a − 1) ·
1... a
∼ (a + n − 1) · (a − 1)
n− 1
Sea A = (aij , suprimiendo la fila i y la columna j de A obtenemos una
matriz de orden n − 1, cuyo determinante se colocar´a en el elemento
aij de la matriz adjunta.
Aij = (−1)
i+j aij
a 22 a 23
a 32 a 33
− a 12
a 21 a 23
a 31 a 33
a 13
a 21 a 22
a 31 a 32
