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Un análisis detallado sobre los conceptos de exactitud, precisión y error en el Análisis Numérico moderno, caracterizado por el uso de ordenadores y Análisis Matemático. Se explica el concepto de errores absolutos y relativos, su importancia en ingeniería, ciencia, industria y estadística, y cómo se introducen en las operaciones en coma flotante de los ordenadores. Además, se discuten los conceptos de precisión y exactitud, y se comparan sistemas numéricos como binario y octal.
Tipo: Apuntes
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DEPARTAMENTO DE Ciencias Básicas
Análisis Numérico
Santos Rodríguez Aris Sofía Ramírez Buron Luis Fernando Santiago García Jesús Mario
García Arechiga Benito
4.-semestre
En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de acercarse al valor de la magnitud real. La exactitud es diferente de la precisión.
Por ejemplo, si leemos la velocidad del velocímetro de un auto, esta tiene una precisión de 3 cifras significativas y una exactitud de 5 km/h
En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones o de dar el resultado deseado con exactitud. Esta cualidad debe evaluarse a corto plazo. No debe confundirse con exactitud ni con reproducibilidad.
Por ejemplo, una regla tiene una precisión de milímetro mientras que un metro de electricista tiene una precisión de centímetro. Sin embargo será más exacto medir un muro con un metro que con una regla ya que el instrumento es más apropiado.
En cualquier actividad científica o técnica es inevitable la existencia de errores. Puede tratarse de errores de medición o errores de transcripción, errores de posicionamiento o errores en la variable medida
En ocasiones los errores proceden de la utilización de ordenadores con precisión finita para manejar el espacio que es un continuo. Los errores en las operaciones en coma flotante de los ordenadores pueden afectar a los resultados, por ello es recomendable utilizar siempre números enteros. Por ejemplo, las coordenadas X e Y deberían expresarse siempre en metros nunca en kilómetros, los valores de las variables regionalizadas deberían expresarse de forma que no incluyeran decimales (altitud en centímetros, precipitación en décimas de milímetro, etc.). De esta manera además de prevenir errores conseguiríamos que los ficheros ocuparan menos en el disco duro.
Estos errores se introducen en los procesos de computación por el hecho de que las computadoras trabajan con un número finito de dígitos después del punto decimal y tienen que redondear.
Como nos interesa el redondeo de punto flotante, revisaremos la forma de representación de un número de punto flotante.
Recordando que cada número lo podemos representar por una fracción generalmente llamada Mantisa, la cual está multiplicada por una potencia del número base, llamada generalmente el Exponente. Entonces tenemos números como los siguientes:
Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos.
Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular el seno de cualquier ángulo X, expresado en radianes:
Es el cociente entre el error absoluto y el valor que consideramos como exacto (la media). Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo porque puede se puede producir por exceso o por defecto y al contrario que él no viene acompañado de unidades.
εr=εa/X
De igual forma, se puede multiplicar por 100 obteniéndose así el tanto por ciento (%) de error.
εr=εa/X⋅100 %
Como ejemplo podemos calcular el error relativo sobre nuestro ejemplo. De esta forma obtenemos que:
Ej.: Imagina que se comete un error absoluto de 1 metro al medir una finca de 200 metros y otra de 3000. Si calculamos los errores relativos en ambas mediciones tenemos que son 1/200 y 1/3000. Dado que en la segunda medición el error relativo es más pequeño quiere decir que la calidad de la medida es mucho mejor que la de la primera. De hecho si lo piensas, bien es mucho mejor equivocarse en un metro cuando cuento 3000 metros que cuando cuento 200 metros.
Cuando se realizan una medición se considera que su calidad es mucho mayor cuanto más pequeño es el error relativo que se comete.
Software Matemático es aquel software que se utiliza para realizar, apoyar o ilustrar problemas matemáticos; entre este tipo de software se encuentran los sistemas algebraicos computacionales y graficadores de funciones, entre otros. Existen grupos y proyectos dedicados al estudio y difusión de software matemático libre, los cuales han aportado productos que facilitan el trabajo con estas herramientas.
Sistema Algebraico Computacional: Un sistema algebraico computacional (CAS, del inglés computer algebra system) es un programa que facilita el cálculo simbólico. La principal diferencia entre este y una calculadora es la habilidad para trabajar con ecuaciones y fórmulas simbólicamente, en lugar de numéricamente.
Entorno de geometría dinámica: un programa interactivo de geometría o entorno de geometría dinámica es un programa que permiten crear y manipular construcciones geométricas, principalmente en geometría plana.
Paquete estadístico: Un paquete estadístico es un programa que está especialmente diseñado para resolver problemas en el área de la estadística, o bien está programado para resolver problemas de esta área. Existen muchos programas que no son especialmente estadísticos pero que pueden hacer algunos cálculos aplicables en estadística aplicada.
Software de análisis numérico: Un software de análisis numérico es un programa que simula procesos matemáticos complejos aplicados a procesos del mundo real.
aunque no está regido por ningún estándar. Es utilizado para describir algoritmos en libros y publicaciones científicas, y como producto intermedio durante el desarrollo de un algoritmo, como los diagramas de flujo, aunque presentan una ventaja importante sobre estos, y es que los algoritmos descritos en pseudocódigo requieren menos espacio para representar instrucciones complejas.
El pseudocódigo está pensado para facilitar a las personas el entendimiento de un algoritmo, y por lo tanto puede omitir detalles irrelevantes que son necesarios en una implementación. Programadores diferentes suelen utilizar convenciones distintas, que pueden estar basadas en la sintaxis de lenguajes de programación concretos. Sin embargo, el pseudocódigo, en general, es comprensible sin necesidad de conocer o utilizar un entorno de programación específico, y es a la vez suficientemente estructurado para que su implementación se pueda hacer directamente a partir de él.
Diagramas de Flujo
Son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos por ISO.
Los diagramas de flujo son usados para representar algoritmos pequeños, ya que abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son usados como introducción a los algoritmos, descripción de un lenguaje y descripción de procesos a personas ajenas a la computación.
Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.
Por ejemplo:
0,0540 → tres cifras significativas → 0 , 0 5 4 0 30,00 → cuatro cifras significativas → 3 0 , 0 0
Regla 5. Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el número en notación científica, no obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos.
Por ejemplo:
1200 → dos cifras significativas → 1 2 0 0 1200, → cuatro cifras significativas → 1 2 0 0 ,
Regla 6. Los números exactos tienen un número infinito de cifras significativas.
Los números exactos son aquellos que se obtienen por definición o que resultan de contar un número pequeño de elementos. Ejemplos:
Al contar el número de átomos en una molécula de agua obtenemos un número exacto: 3.
Al contar las caras de un dado obtenemos un número exacto: 6.
Por definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto: 1000.
Por definición el número de grados que hay en una circunferencia es un número exacto: 360
Dificultad de uso: solo para especialistas.
Clientes usuales: grandes centros de investigación.
Penetración social: prácticamente nula.
Impacto social: muy importante en el ámbito de la investigación, ya que provee cálculos a alta velocidad de procesamiento, permitiendo, por ejemplo, calcular en secuencia el genoma humano, número π, desarrollar cálculos de problemas físicos dejando un margen de error muy bajo, etc.
Parques instalados: menos de un millar en todo el mundo.
Hardware: Principal funcionamiento operativo
La racionalidad es la capacidad que permite pensar, evaluar, entender y actuar de acuerdo a ciertos principios lógicos y de consistencia, con el fin de satisfacer algún objetivo o finalidad.
Como algoritmo denominamos un conjunto ordenado y finito de operaciones simples a través del cual podemos hallar la solución a un problema.
Los algoritmos nos permiten ejecutar una acción o resolver un problema mediante una serie de instrucciones definidas, ordenadas y finitas. Así, dado un estado inicial y una entrada, y siguiendo los sucesivos pasos indicados, se llega al estado final y se obtiene una solución.
Características de un algoritmo
Todo algoritmo debe cumplir con estas características básicas:
Tienen inicio y fin : todo algoritmo comienza en un estado inicial con una serie de datos específicos, y culmina con una solución o salida.
Funcionan en secuencia: un algoritmo está compuesto por una serie de pasos ordenados.
Las secuencias son concretas : cada paso es claro y no deja lugar a la ambigüedad.
Los algoritmos son abstractos : son modelos o guías para ordenar procesos.
La cantidad de pasos de un algoritmo es finita.
Ejemplos de algoritmos
Recetas de cocina
Manuales
Operaciones matemáticas
Un modelo matemático es un modelo que utiliza fórmulas matemáticas para representar la relación entre distintas variables, parámetros y restricciones.
Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas, de un fenómeno o de la relación entre dos o más variables. La rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las cualidades y estructura de los modelos es la llamada “teoría de los modelos”.
Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Pueden ser utilizados para entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. Dependiendo del objetivo buscado y del diseño del mismo modelo pueden servir para predecir el valor de las variables en el futuro, hacer hipótesis, evaluar los efectos de una determinada política o actividad, entre otros objetivos.
Elementos básicos de un modelo matemático
Los modelos matemáticos pueden variar en cuanto a su complejidad, pero todos ellos tienen un conjunto de características básicas:
Variables : Son los conceptos u objetos que se busca entender o analizar. Sobre todo, con respecto a su relación con otras variables.
Parámetros: Se trata de valores conocidos o controlables del modelo.
Restricciones : Son determinados límites que nos indican que los resultados del análisis son razonables.
Relaciones entre las variables: El modelo establece una determinada relación entre las variables apoyándose en teorías económicas, físicas, químicas, etc.
Representaciones simplificadas: Una de las características esenciales de un modelo matemáticos es la representación de las relaciones entre las variables estudiadas a través de elementos de las matemáticas tales como: funciones, ecuaciones, fórmulas, etc.
Ejemplos
Ejemplo 1 Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por cada hora adicional. Expresar la cuota de estacionamiento como una función del número de horas estacionadas.
Solución: Si x representa el número de horas estacionadas, entonces la cuota de estacionamiento F estará dada por la fórmula E = 50 – 25(x- 1), donde x es un entero positivo.
Ejemplo 2. De una larga pieza de hoja de lata de 25 cm. de ancho se va a hacer un canalón para lluvia, doblando hacia arriba sus orillas para formar sus lados. Expresar el área de la sección transversal del canalón para lluvia como una función de su altura. x 25 – 2x
Solución: Si representamos por x la altura en cm. del canalón para lluvia, podemos expresar el área de la sección transversal A en cm2 por medio de la fórmula A = x(25 – 2x)
Ejemplo 3 Se sabe que 100 gramos de granos secos de soya contienen 35 gr. de proteínas y 100 gr. de lentejas secas contienen 26 gr. de proteínas. Los hombres de talla media que viven en un clima moderado necesitan 70 gr. de proteínas en su alimentación diaria. Supongamos que un hombre quiere conseguir esos 70 gr. de proteínas comiendo soya y/o lentejas. Sea x la cantidad de soya e y la cantidad de lentejas diarias (x e y medidas en gr.) ¿Cuál es la relación entre x e y?
Solución: La proteína ingerida por medio de la soya es 35x y por las lentejas 26 y por día (ambas medidas en gr.). La cantidad diaria total de proteínas es 70 gr. Por tanto obtenemos la ecuación
