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Práctica 3
Aproximación y error
1. Conceptos básicos
1.1. Error
El cálculo numérico y computacional es, en general, aproximado. Principalmente porque:
- Los datos de medidas u observaciones experimentales son tomados con instrumentos de finita preci- sión.
- Durante el proceso de cálculo los desarrollos decimales de los números deben reemplazarse por apro- ximaciones finitas, con un número limitado de dígitos.
- El tiempo de espera de los resultados, en muchos casos, no coincide con el tiempo de espera del usuario.
Ejemplos
- Se utiliza un amperímetro graduado en mili-ampers (mA), en el rango [ 0 , 10 ]. Si observamos que la aguja está entre 2 y 3. El valor exacto se supone desconocido dentro de este rango. Aproximamos el dato por el valor medio ˜I ≈ 2 , 5 mA, y el error es menor a 5 mA.
- Para calcular el área de un círculo se mide con una regla su radio r ≈ 10 , 5 cm y aproximamos π ≈ 3 , 14. El resultado A = πr^2 = 346 , 185 cm^2 es aproximado.
- Si medimos el radio con mayor precisión r ≈ 10 , 53 cm y usamos el valor de π de una calculadora se obtiene una mejor aproximación A = 348 , 3426209 ≈ 348 , 34 cm^2. Observar la diferencia con la aproximación del ejemplo anterior.
Sea x ∈ R y una aproximación ˜x ≈ x. El valor
∆x = εAbs(x) = |x − x˜|
es el error absoluto.
Cuando el valor exacto de x no es conocido, tampoco el error. Por lo tanto debe ser acotado. Si ∆x = εAbs(x) = |x − x˜| ≤ ε entonces se supone que el verdadero valor de x está en el intervalo [ x˜ − ε, x˜ + ε], es decir ˜x − ε ≤ x ≤ x˜ + ε. Ejemplos
- La medida del radio está dada por la precisión de la regla. Supongamos que hemos leído la medida entre los valores 10, 5 y 10, 6. Entonces el verdadero valor del radio cumple 10, 5 ≤ r ≤ 10 , 6. Al tomar la aproximación r ≈ 10 , 5, la cota de error es ∆x = εAbs(r) ≤ 0 , 1. Si en cambio tomamos la aproximación r ≈ 10 , 55, la cota de error es ∆x = εAbs(r) ≤ 0 , 05.
- Sabiendo que 3, 14 ≤ π ≤ 3 , 142. La cota de error de la aproximación π ≈ 3 , 1415 es ∆x = εAbs(r) ≤ 0 , 0015.
Sea x ∈ R 6 = 0 y una aproximación ˜x ≈ x. El valor
δx = εRel (x) = |x^ −^ x˜| |x| es el error relativo. Este error es verdaderamente representativo ya que relaciona la distancia entre x y ˜x con la magnitud de x. El valor δx × 100 es el error porcentual. Ejemplos
- Aproximamos x = 999 , 9 ≈ 1000, el error absoluto ∆x = 0 , 1. El error relativo es δx = 0 ,00010001 y el error porcentual es aproximadamente 0, 01 %.
- Aproximamos x = 0 , 0001 ≈ 0, el error absoluto es ∆x = 0 ,0001. El error relativo es δx = 1 y el error porcentual es 100 %.
- Aproximamos el núumero π = 3 , 1415926535897 ..., dado por la calculadora, como π ≈ 3 ,14. El error absoluto es ∆π = 0 , 0015926535897 ... ≤ 0 , 0016. El error relativo es δπ ≈ 0 , 0005069573828972 ... ≤ 0 , 000507 y el error porcentual del orden del 0, 051 %.
En el caso vectorial el error absoluto y el error relativo se definen de la siguiente forma:
∆X = ‖X − X˜‖ 2 =
(x 1 − x˜ 1 )^2 + · · · + (xn − x˜n)^2 ,
δX =
‖X − X˜‖ 2
‖X‖ 2 =
(x 1 − (^) √x˜ 1 )^2 + · · · + (xn − x˜n)^2 x^21 + · · · + x^2 n
1.2. Propagación de error
En las computadoras, cuando se quieren realizar cálculos numéricos (sumas, productos, potencias, etc.), por cuestiones de representación, estos se realizan con aproximaciones de los números involucrados. En general, se va a obtener una aproximación del resultado deseado. Por lo tanto, es importante estudiar cómo afectan los errores de los datos en el error final de la operación.
El error absoluto de una suma o diferencia: Se quiere calcular z = x ± y, pero se calcula ˜z = x˜ ± y˜, donde ˜x e ˜y son aproximaciones de x e y respectiva- mente. Comparando z con ˜z, obtenemos la siguiente estimación
|z − z˜| = |(x ± y) − (x ˜ ± y˜)| = |(x − x˜) ± (y − y˜)| ≤ |x − x˜| + |y − y˜|.
Por lo tanto, el error absoluto de una suma o diferencia es menor o igual que la suma de los errores absolutos de los términos.
El error relativo del producto: Se quiere calcular z = xy, pero se calcula ˜z = x˜ y˜, donde ˜x e ˜y son aproximaciones de x e y respectivamente. Comparando z con ˜z, obtenemos la siguiente estimación |z − ˜z |z| = |xy^ −^ x˜^ y˜| |xy| = |xy^ −^ (x^ ±^ ∆x)(y^ ±^ ∆y)| |xy| ≤ |x|∆y |x||y|
- |y|∆x |x||y|
- ∆x∆y |x||y| = δy + δx + δxδy.
Si suponemos que los errores relativos son suficientemente pequeños como para que δxδy ≈ 0, obtenemos que el error relativo de un producto es menor o igual que la suma de los errores relativos de los términos.
En las computadoras, luego de realizar un cálculo es necesario representar el resultado.
Ejemplo
Si queremos calcular z = x + y con x = 0 , 9991 y y = 0 , 1121 en una computadora cuya representación sólo usa 3 dígitos de mantisa. En estas condiciones tenemos que ˜x = 0 , 999 y ˜y = 0 , 112, y calculamos z˜ = x˜ + y˜ = 0 , 999 + 0 , 112 = 1 , 111, obteniendo error absoluto
|z − z˜| = | 1 , 1112 − 1 , 111 | = 0 , 0002.
Como el resultado tiene 4 dígitos, no es representable, debemos aproximarlo y obtenemos ˜z˜ = x˜˜ + y˜ = 0 , 111 × 101. El error absoluto final es
|z − z˜˜| = | 1 , 1112 − 1 , 1100 | = 0 , 0012.
En estas condiciones en el análisis de error debemos agregar el error de representación luego de realizar cada cálculo.
- Si z = f (x) y ˜z˜ = ˜f ( x˜), obtenemos la siguiente relación entre el error absoluto de z y el error absoluto de x: ∆z = |z − z˜˜| = | f (x) − f˜ ( x˜)| ≈ | f ′(x)|| x˜ − x| + ∆ f = | f ′(x)|∆x + ∆ f. También podemos deducir la siguiente relación entre el error relativo de z y el error relativo de x:
δz = |z^ −^ z˜˜| |z| ≈ |x||^ f^
′(x)| | f (x)| δx + δ f.
- Si z = f (x, y) y ˜z˜ = ˜f ( x˜, y˜), obtenemos la siguiente relación entre el error absoluto de z y los errores absolutos de x e y:
∆z = |z − z˜˜| = | f (x, y) − ˜f ( x˜, y˜)| ≤ | ∂^ f ∂x (x, y)|∆x + | ∂^ f ∂y (x, y)|∆y + ∆ f.
También podemos deducir la siguiente relación entre el error relativo de z y los error relativos de x e y:
δz = |z^ −^ z˜˜| |z|
|x|| ∂ ∂^ fx (x, y)| | f (x, y)| δx +
|y|| ∂ ∂^ yf (x, y)| | f (x, y)| δy + δ f.
Ejemplos
- Queremos calcular f (x, y) = ex−y, y vamos a suponer que después de cada operación es necesario representar los resultados. La primer operación que se realiza es z = x − y y luego realizamos ez. Obtenemos los siguientes errores relativos:
δz ≤ |x| |x − y| δx + |y| |x − y| δy + δ(−),
δez^ ≤ |z|e
z ez^ δz + δ(e) = |z|δz + δ(e). Combinando ambos errores obtenemos
δex−y^ ≤ |z|
|x| |x − y| δx^ +^
|y| |x − y| δy^ +^ δ(−)
- δ(e) = |x|δx + |y|δy + |x − y|δ(−) + δ(e).
- Queremos calcular f (x, y) = ex^ − ey, y vamos a suponer que después de cada operación es necesario representar los resultados. Las primeras operaciones que se realizan son z = ex^ y w = ey, y luego realizamos z − w. Obtenemos los siguientes errores relativos:
δz ≤ |x|e
x ex^ δx + δ(e 1 ) = |x|δx + δ(e 1 ),
δw ≤ |y|e
y ey^ δy + δ(e 2 ) = |y|δy + δ(e 2 ),
δ(z − w) ≤ |z| |z − w| δz^ +^
|w| |z − w| δw^ +^ δ(−). Combinando estos errores obtenemos
δ(ex^ − ey) ≤ |z| |z − w|
|x|δx + δ(e 1 )
|y|δy + δ(e 2 )
≤ |xex| |ex^ − ey| δx^ +^
|yey| |ex^ − ey| δy^ +^
|ex| |ex^ − ey| δ(e^1 ) +^
|ey| |ex^ − ey| δ(e^2 ) +^ δ(−), En ambos ejemplos podemos ver como los errores de representación de las primeras operaciones se ven afectados por las operaciones siguientes.
1.3. Cifras significativas
Un número z 6 = 0 se dice que tiene m cifras decimales significativas si su desarrollo decimal consta de exactamente m dígitos, es decir el desarrollo decimal de z es (a 1... am) siendo a 1 > 0 y se puede describir de la siguiente forma: z =
( (^) m
k= 1
ak 10 k
10 N^.
El cero no tiene cifras significativas. El desarrollo decimal sí puede tener ceros a la derecha de a 1. Ejemplos
- El número z = 1303 , 35 tiene seis cifras significativas.
- El número z = 1303 , 3500 tiene ocho cifras significativas.
- El número z = 0 , 00356780 tiene seis cifras significativas.
- El número z = − 0 , 003056078 tiene siete cifras significativas.
Un número x 6 = 0 se aproxima por otro ˜x usando truncamiento con m cifras significativas si se toman los m primeros dígitos de su desarrollo y se eliminan los demás. Si
x = ±
k= 1
ak 10 k
10 N
entonces x˜ = ±
( (^) m
k= 1
ak 10 k
10 N^.
Es decir, el desarrollo (a 1... am, am+ 1 ,... ) se aproxima por (a 1 ,... , am). Ejemplos
2 = 1 , 414213... a 3 cifras y obtenemos
Puede probarse que el resultado del producto dos números x e y con m y n cifras significativas exactas respectivamente, preserva n + m − 1 cifras significativas exactas. Si se redondea podrían eliminarse cifras significativas.
1.4. Esquema de cálculo computacional
Un esquema de cálculo definido por un algoritmo numérico consiste en una transformación numérica de ciertos datos de entrada (inputs) en datos de salida o resultados (ouputs).
datos (inputs) → resultados (out puts)
En el cálculo computacional, se opera paso a paso con números con una cantidad fija m de cifras significati- vas. Para ello se redondea o se agregan ceros a la derecha para completar las m cifras.
Los errores de los datos de entrada se propagan durante la proceso de cálculo y resulta en los errores de los datos de salida. Esta propagación depende de la secuencia de operaciones aritméticas internas.
errores de entrada → errores de los resultados
La estabilidad numérica describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a través del algoritmo. En un método estable, los errores debidos a las aproximaciones se atenúan a medida que la computación procede. En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se magnifica conforme el cálculo procede. Métodos inestables generan rápidamente anomalías y son inútiles para el procesamiento numérico.
2. Ejercicios
- Estimar el error absoluto y el error relativo de xn,
x, sen(mx) y sen(x)y + xy, sabiendo que ∆x ≤ 0 , 1 y ∆y ≤ 0 , 1.
- Verificar que si x = ±
+∞
k= 1
ak 10 N−k
y para alguna aproximación se sabe que |x − x˜| > 10 q^ , entonces ˜x no puede tomar más de N + q cifras significativas exactas.
- a) Calcular, usando la calculadora o computadora, sin redondeo:
z = 100 ,^35 0 , 42717 − 0 , 42527
b) Redondeando a tres cifras significativas los número, realizar al misma operación. c) Comparar los resultados. ¿Cuántas cifras significativas tiene el resultado aproximado?
- Se sabe que: e =
+∞
k= 0
k! y^ e
− 1 =^ + ∑∞
k= 0
(− 1 )k k! a) Calcule e y e−^1 sumando hasta k = 5 tomando cuatro cifras significativas en cada sumando. b) Usando la aproximación anterior de e, calcule e−^1 = (^1) e.
c) Compare los resultados con la aproximación de la calculadora.
- Se desea evaluar la fórmula: t = π
l/g donde se redondea π ≈ 3 , 1416, se mide l = 1 , 5 con precisión ∆l < 0 , 5 × 10 −^2 y se estima g = 9 , 81, con precisión ∆g < 0 , 5 × 10 −^2.
a) Verificar las siguientes relaciones
3 , 14155 ≤π ≤ 3 , 1416 1 , 495 ≤l ≤ 1 , 505 9 , 805 ≤g ≤ 9 , 815.
b) Utilizando las cotas anteriores, obtener una cota superior y una inferior para t. c) Estimar t, el error absoluto y el error relativo de aproximación.
- Utilizando la aproximación f ′(x) ≈ f^ (x+h h)− f^ (x), evaluar la derivada en x = 0 , 1 para las funciones ex, ln(x) y sen(πx) donde h = 0 , 1. Comparar cada resultado obtenido con el exacto, calculando el error absoluto y el error relativo.
- Para las mismas funciones del ejercicio anterior evaluar las integrales por medio del esquema ∫ (^) x+h x f (t)dt ≈
2 h(^ f^ (x^ +^ h) +^ f^ (x)), para x = 0 , 1 y h = 0 , 1. Comparar cada resultado obtenido con el exacto, calculando el error absoluto y el error relativo.
- Suponiendo un esquema de cálculo computacional, realizar el análisis de propagación de error para las siguientes fórmulas, y en cada caso analizar la estabilidad del algoritmo.
a) z = x^2 − y^2. b) z = (x − y)(x + y). c) z =
x − √y. d) z = sen(x − y). e) z = ax^2 + bx + c.
