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TEMA 2. PROBABILIDAD
2.1 Introducci´on.
2.2 C´alculo.
2.3 Probabilidad condicional.
2.4 Independencia.
2.5 Teorema de Bayes.
2.1 Introducci´on
2.1.1 Fen´omeno o experimento aleatorio. Sucesos
Un fen´omeno o experimento decimos que es aleatorio si no es posible predecir antes de realizar una observaci´on del fen´omeno o una prueba del experimento el resultado que se va a obtener pero se conoce el conjunto formado por todos los diferentes resultados posibles. Dicho conjunto se denomina espacio muestral asociado al fen´omeno o experimento aleatorio y se denota mediante la letra griega Ω. Cada resultado posible, es decir cada elemento de Ω diremos que es un punto muestral y se denota mediante ω. Un suceso es un subconjunto del espacio muestral y lo representamos con letras may´usculas: A, B, C, ... Ω: suceso seguro ∅: suceso imposible Un suceso se dice que es elemental si est´a formado por un ´unico punto muestral. Un suceso se dice que es compuesto si est´a formado por m´as de un punto muestral.
2.1.2 Operaciones y relaciones entre sucesos
Definici´on 1 Dado A un suceso, se define el suceso complementario de A como el suceso formado por los puntos muestrales que no est´an en A y se denota mediante A¯. A¯ = {ω ∈ Ω : ω /∈ A} A^ ¯ ocurre cuando no ocurre A.
Definici´on 2 Dados A y B dos sucesos, se define el suceso A uni´on B como el suceso for- mado por los puntos muestrales que est´an en A o est´an en B y se denota mediante A ∪ B. A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A o ω ∈ B} A ∪ B ocurre cuando ocurre A u ocurre B.
Observaci´on: A ∪ A¯ = Ω, A ∪ ∅ = A, A ∪ Ω = Ω, A ∪ B = B ∪ A.
Definici´on 3 Dados A y B dos sucesos, se define el suceso A intersecci´on B como el suceso formado por los puntos muestrales que est´an en A y est´an en B y se denota mediante A ∩ B. A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A y ω ∈ B} A ∩ B ocurre cuando ocurre A y ocurre B.
Observaci´on: A ∩ A¯ = ∅, A ∩ ∅ = ∅, A ∩ Ω = A, A ∩ B = B ∩ A, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Definici´on 4 Dados A y B dos sucesos, se define el suceso diferencia de A y B como el suceso formado por los puntos que est´an en A y no est´an en B y se denota A − B. A − B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A y ω /∈ B} A − B ocurre cuando ocurre A y no ocurre B.
Observaci´on: A − B = A ∩ B¯
Definici´on 5 Dados A y B dos sucesos, se dice que A implica B y se denota A ⊂ B si siempre que ocurre A ocurre B.
Leyes de Morgan: A ∪ B = A¯ ∩ B¯ y A ∩ B = A¯ ∪ B¯.
2.2 C´alculo
2.2.1 Asignaci´on de valores de probabilidad
- Estimaci´on frecuencialista Supongamos que tenemos una plantaci´on que sufre una determinada plaga y que tras tratamien- tos convencionales no se ha conseguido eliminar. Entonces se piensa en elaborar un nuevo compuesto qu´ımico y nos preguntamos si ser´a efectivo o no. Para proporcionar una respues- ta a esta pregunta, tratamos 200 plantas con una muestra del nuevo compuesto qu´ımico y observamos que en 180 de ellas se ha eliminado la plaga. ¿Cu´al es la probabilidad de que el nuevo compuesto qu´ımico sea efectivo? fi hi si 180 180/ no 20 20/ Total 200 1 P(“de que el nuevo compuesto sea efectivo”)=P(A)∼=180/200=0. Podemos aplicar este razonamiento cuando:
a) Tenemos un experimento que se puede repetir un gran n´umero de veces. b) Podemos observar el n´umero de veces que ocurre un determinado suceso o acontec- imiento.
La probabilidad aqu´ı obtenida es una aproximaci´on al valor exacto de P(A)∼= hA.
- Definici´on cl´asica de probabilidad. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener un resultado menor o igual que cuatro al lanzar un dado al aire? P(“de obtener un resultado menor o igual que cuatro”)=P(A)=P({1,2,3,4})= 46 = Cardinal(A) Cardinal(Ω) En este caso calculamos el valor exacto de probabilidad. Pero solamente es aplicable si con- sideramos un fen´omeno o experimento aleatorio cuyo espacio muestral es finito y todos los sucesos elementales (los formados por un ´unico punto muestral) son igualmente pro- bables.
2.2.2 Definici´on axiom´atica de probabilidad
Definici´on 6 Dado un fen´omeno o experimento aleatorio, una probabilidad es una funci´on que asocia a cada suceso A asociado al fen´omeno o experimento aleatorio un n´umero en el intervalo [0,1] que lo denotamos mediante P(A) y que satisface las siguientes condiciones:
- P(Ω)=1.
- Para cada par de sucesos A, B tales que A ∩ B = ∅ (en este caso se dice que A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes), entonces:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Nota 1 La segunda condici´on en la definici´on de probabilidad se puede generalizar a un n´umero finito cualquiera y a un n´umero infinito numerable de sucesos incompatibles dos a dos. Es decir: Si A 1 , A 2 , ... , An es una colecci´on finta de sucesos tales que Ai ∩ Aj = ∅ para cada i 6 = j, i, j ∈ { 1 , 2 ,... , n}, entonces:
P (A 1 ∪ A 2 ∪... ∪ An) = P (A 1 ) + P (A 2 ) +... + P (An)
Si A 1 , A 2 , ... es una colecci´on numerable de sucesos tales que Ai ∩ Aj = ∅ para cada i 6 = j, i, j ∈ { 1 , 2 ,.. .}, entonces: P (A 1 ∪ A 2 ∪.. .) = P (A 1 ) + P (A 2 ) +...
2.4 Independencia
Se lanza un dado equilibrado dos veces al aire y consideramos los sucesos: A:“en el primer lanzamiento hemos obtenido un uno” y B:“en el segundo lanzamiento hemos obtenido un dos”.
Definici´on 8 Sean A y B dos sucesos tales que P(B)>0. Entonces decimos que son independientes si: P (A|B) = P (A).
Definici´on 9 Sean A y B dos sucesos tales que P(A)>0. Entonces decimos que son independientes si: P (B|A) = P (B).
Definici´on 10 Sean A y B dos sucesos. Entonces decimos que son independientes si: P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Teorema 3 Sean A y B dos sucesos independientes. Entonces se verifica:
- A y B¯ son independientes.
- A¯ y B son independientes.
- A¯ y B¯ son independientes.
2.5 Teorema de Bayes
En una regi´on el 25 % de los coches emiten una cantidad excesiva de contaminantes. Cuando se les realiza un test para determinar si un coche emite una cantidad excesiva de contaminantes el 99 % de los coches que emiten una cantidad excesiva de contaminantes da positivo en el test y el 17 % de los coches que no emiten una cantidad excesiva de contaminantes da positivo en el test. ¿Cu´al es la probabilidad de que un coche de positivo en el test? ¿Cu´al es la probabilidad de que un coche que de positivo en el test realmente emita una cantidad excesiva de contaminantes?
Teorema 4 Teorema de la probabilidad total Sea A 1 , A 2 ,... , An un sistema completo de sucesos tal que P (A 1 ) > 0, P (A 2 ) > 0,... , P (An) > 0 y B otro suceso. Entonces,
P (B) =
∑^ n
i=
P (B|Ai)P (Ai) = P (B|A 1 )P (A 1 ) + · · · + P (B|An)P (An)
Teorema 5 Teorema de Bayes Sea A 1 , A 2 ,... , An un sistema completo de sucesos tal que P (A 1 ) > 0, P (A 2 ) > 0,... , P (An) > 0 y B otro suceso tal que P (B) 6 = 0. Entonces, fijado un suceso Aj , j = 1, 2 ,... , n,
P (Aj |B) =
P (B|Aj )P (Aj ) ∑^ n
i=
P (B|Ai)P (Ai)
P (B|Aj )P (Aj ) P (B|A 1 )P (A 1 ) + · · · + P (B|An)P (An)
