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Revista Integración Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander Vol. 26, No. 2, 2008, pág. 97–
Una generalización para operadores del
teorema de Rouché
Gilberto Arenas Díaz∗
Resumen. El teorema de Rouché es utilizado para estudiar los ceros de una función dentro de un contorno conociendo los ceros de otra función relacionada. En este artículo se presenta una generalización de ese teorema para el caso de operadores, y se da una aplicación asociada con un operador relacionado con la linealización de una ecuación tipo Boussinesq.
Abstract. Rouché’s theorem is used to study the zeros of a function in a contour, when the zeros of another related function are known. This paper generalizes that theorem for the case of operators. Also, it is shown an application associated with an operator related to the linearization of a Boussinesq type equation.
1. Introducción
En ocasiones es importantes saber cuántos ceros tiene una función de variable compleja en el interior de la región limitada por una curva cerrada simple. El siguiente resultado da una fórmula que cuenta tales ceros.
Teorema 1.1. Si f (z) es una función que es analítica en la región cerrada limitada por una curva simple cerrada γ y no contiene polos dentro de γ, entonces
M (γ; f (·)) = (^21) πi
γ
f ′^ (z) f (z) dz,^ (1)
donde M (γ; f (·)) denota el número de ceros de f (z) en el interior de γ. (^0) Palabras y frases claves: Teorema generalizado de Rouché, operadores Fredholm, ecuación tipo 0 Boussinesq. MSC2000 : Primaria: 47A13, 47B99. Secundaria: 47A75. ∗ (^0) Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga, Colombia, e-mails: [email protected], [email protected] 97
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Como en general este teorema no funciona para toda función de variable compleja, se procede a utilizar cierto tipo de estas funciones, las cuales están relacionadas de forma apropiada con la función objetivo, y a continuación se aplica el siguiente resultado, el cual es conocido como el teorema de Rouché.
Teorema 1.2 (Teorema de Rouché). Sean f (z) y g (z) funciones analíticas en la región cerrada limitada por una curva cerrada simple γ y tales que |g (z)| < |f (z)| sobre γ. Entonces las funciones f (z)+g (z) y f (z) tienen el mismo número de ceros en el interior de γ.
El estudio de los anteriores resultados es un tema tratado en un curso clásico de variable compleja. En el presente artículo se muestra una generalización de estos dos teoremas, basados en [3], y se hace una aplicación sobre un operador relacionado con la linealización de una ecuación tipo Boussinesq.
2. Teoría preliminar
A continuación se presentan algunas definiciones y resultados básicos, y se establecen algunas de las notaciones utilizadas. Consideraremos que el lector esta familiarizado con los conceptos de espacio de Banach y espacio de Hilbert.
Si X e Y son espacios normados, L(X, Y ) denota el conjunto de todas las transforma- ciones lineales de X en Y , cuando X = Y se abreviará por L (X).
Si X e Y son espacios normados y T : X → Y es una transformación lineal, la norma de un elemento en X y la norma de un elemento en Y generalmente son relacionadas en la misma ecuación. En la practica las normas en cada espacio deberían distinguirse, pero notaremos simplemente con el símbolo � · � la norma en ambos espacios, si es claro a la norma de que espacio nos estamos refiriendo.
Definición 2.1. Sean X e Y espacios lineales normados y T : X → Y una transfor- mación lineal. Se dice que T es acotada si existe un número real positivo k tal que �T (x)� ≤ k �x� para todo x ∈ X.
Es de notar que la idea de acotada y continua son equivalentes para transformaciones lineales. El conjunto de todas las transformaciones lineales acotadas (continuas) de X en Y es denotado por B (X, Y ), cuando X = Y se denota por B (X). Los elementos de B (X, Y ) son llamados operadores lineales acotados u operadores lineales o simplemente operadores.
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Sean I ∈ B(H) el operador identidad y T ∈ B(H). El espectro de T , denotado por σ(T ), es definido por σ(T ) = {λ ∈ C | T − λI es no invertible}.
En estas circunstancias se obtienen los siguientes resultados.
Teorema 2.9. Sean T ∈ B(H) y Ω una vecindad abierta del espectro de T , σ(T ). Entonces existe un ε > 0 tal que σ(S) ⊂ Ω para cualquier operador S ∈ B(H) con �T − S� < ε.
En adelante Γ denotará un contorno rectificable cerrado simple, también conocido como contorno cerrado de Cauchy o curva de Jordan, y ∆ denotará el interior de la región limitada por Γ.
Teorema 2.10. Sea σ un conjunto finito de valores propios de tipo finito de T , y sea Γ una curva de Jordan alrededor de σ que lo separa de σ (T ) \σ. Entonces existe un ε > 0 tal que para cualquier operador S con �T − S� < ε, tal que lo siguiente es verdadero: σ (S) ∩ Γ = ∅, la parte de σ (S) en ∆ es un conjunto finito de valores propios de tipo finito y (^) ∑
λ∈∆
M (λ; S) =
λ∈∆
M (λ; T ).
Definición 2.11. Sea A un operador sobre un espacio de Banach X. Entonces se define la traza de A como tr A =
∑^ ∞
j=
�Aej , ej � ,
para cualquier base ortonormal {ej } de X.
Definición 2.12. Sea G ⊂ C un dominio y X un espacio de Banach. Entonces el operador
W : G −→ X λ �−→ W (λ) ,
es llamado analítico en el punto λ 0 ∈ G si el límite
λ^ l´→ımλ 0 W^ (λ λ)^ −−^ Wλ^ (λ^0 ) 0 existe. Si W es analítico para todo λ 0 ∈ G, entonces se dice que W es analítico en G.
Definición 2.13. Sea ℧ un dominio de C. Dado λ 0 ∈ ℧ se dice que los operadores T (·) y S (·) de B(X ) son equivalentes en λ 0 si existe una vecindad abierta U de λ 0 en ℧ tal que T (λ) = F (λ) S (λ) E (λ) , λ ∈ U,
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donde F (λ) y E (λ) son operadores invertibles que dependen analíticamente sobre λ en U. Si los operadores T (·) y S (·) son equivalente para cualquier λ 0 ∈ ℧, se dice que T (·) y S (·) son equivalentes sobre ℧.
En adelante, L(X ) denotará el conjunto de todos los operadores lineales del espacio de Banach X en si mismo.
Teorema 2.14. Sea W : ℧ −→ L (X ) un operador funcional analítico tal que para algún λ 0 ∈ ℧ el operador W (λ 0 ) es de Fredholm de índice cero. Entonces W es equivalente en λ 0 a un operador funcional analítico D de la forma
D (λ) = P 0 + (λ − λ 0 )κ^1 P 1 + · · · + (λ − λ 0 )κr^ Pr , (2)
donde P 0 , P 1 ,... , Pr son proyecciones mutuamente disjuntas del espacio de Banach X , donde las proyecciones P 1 ,... , Pr tienen rango uno, la proyección I − P 0 tiene rango finito y κ 1 ≤ κ 2 ≤ · · · ≤ κr son enteros positivos.
Corolario 2.15. Sea W : ℧ → L (X ) un operador funcional analíticos de Fredholm tal que W (z) es invertible para algún z ∈ ℧. Sea
Σ = {λ ∈ ℧ : W (λ) es no invertible}.
Para λ 0 ∈ Σ y λ ∈ ℧ \ Σ suficientemente cercano a λ 0 , se tiene que
W (λ)−^1 =
∑^ ∞
n=−q
(λ − λ 0 )n^ An,
donde A 0 es un operador de Fredholm de índice cero y A− 1 ,... , A−q son operadores de rango finito.
Corolario 2.16. Sea A ∈ L(X ). Si el complemento en C del espectro esencial σess(A) de A es conexo, entonces σ(A) \ σess (A) consiste solamente de valores propios de tipo finito.
Definición 2.17. Supóngase que H es un espacio de Hilbert separable, ℧ es un dominio en C, y que W : ℧ → L (H) es un operador funcional analítico sobre ℧. Se dice que λ 0 ∈ ℧ es un valor propio de tipo finito de W (·) si W (λ 0 ) es de Fredholm, W (λ 0 ) x = 0 para algún x ∈ H diferente de cero y W (λ) es invertible para todo λ en algún anillo alrededor de λ 0 de la forma {λ ∈ C : 0 < |λ − λ 0 | < ε}.
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Definición 2.22. Sea Γ una curva de Jordan en ℧ tal que su dominio interno ∆ es un subconjunto de ℧. El operador funcional W se dice que es normal con respecto a Γ si W (λ) es invertible para todo λ ∈ Γ y W (λ) es de Fredholm para todo λ en el dominio interno ∆.
3. Resultados principales
A continuación se presenta la generalización para operadores de los Teoremas 1.1 y 1.2.
Teorema 3.1. Sea W : ℧ −→ L (X) un operador funcional analítico, y supóngase que W es normal con respecto a la curva de Jordan Γ. Entonces
M (Γ; W (·)) = tr
2 πi
Γ
W ′^ (λ) W (λ)−^1 dλ
donde W ′^ (Λ) denota la derivada de W en Λ.
Demostración. El operador funcional W ′^ (·) W (·)−^1 es analítico sobre ∆ ∪ Γ, excepto posiblemente en un número finito de puntos en ∆ que son valores propios de tipo finito de W. Por lo tanto, por el Teorema de Cauchy para funciones analíticas, es suficiente probar el teorema en el caso en el que Γ es una circunferencia de radio ρ suficientemente pequeño y con centro en un valor propio λ 0 de W. Recuérdese que W es equivalente en λ 0 al operador funcional D definido en (2). Así, existe una vecindad abierta U de λ 0 tal que W (λ) = E (λ) D (λ) F (λ) , λ ∈ U, (4)
donde E (λ) y F (λ) son operadores invertibles que dependen analíticamente de λ en U. Supóngase que el radio ρ de la circunferencia Γ se ha elegido de una manera tal que λ ∈ U siempre que |λ − λ 0 | ≤ ρ. Omitiendo la variable λ, se puede escribir
W ′W −^1 = (E′DF + ED′F + EDF ′) F −^1 D−^1 E−^1 = E′E−^1 + ED′D−^1 E−^1 + EDF ′F −^1 D−^1 E−^1. (5)
Por el Corolario 2.15 se sabe que W −^1 es finitamente meromorfa en λ 0. Puesto que W es analítica en U , su derivada W ′^ es también analítica en U , y así W ′W −^1 es finitamente meromorfa. Se sigue que
K := (^21) πi
Γ
W ′^ (λ) W (λ)−^1 dλ (6)
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es un operador bien definido y de rango finito. En (6) el integrando se puede substituir por la parte principal de W ′^ (·) W (·)−^1. Pero entonces la integral existe en la norma de la traza, y la integral puede ser intercambiada. Obsérvese que
tr K = tr
2 πi
Γ W ′^ (λ) W (λ)−^1 dλ
= (^21) πi
Γ
tr Ξ
W ′^ (λ) W (λ)−^1
dλ; (7)
por otra parte,
D (λ)−^1 = P 0 + (λ − λ 0 )−κ^1 P 1 + · · · + (λ − λ 0 )−κr^ Pr , λ �= λ 0. (8)
En particular, D (·)−^1 es finitamente meromorfa en λ 0. El resto de las funciones que aparecen en el lado derecho de (5) son analíticas en λ 0. Utilizando el Lema 2.21 se sigue que para λ 0 �= λ ∈ U
tr Ξ {W ′W −^1 }^ = tr Ξ {E′E−^1 + ED′D−^1 E−^1 + EDF ′F −^1 D−^1 E−^1 } = tr Ξ
D′D−^1
Ahora, de la definición del operador (2) y la ecuación (8) se obtiene que
D′^ (λ) D (λ)−^1 = κ 1 (λ − λ 0 )−^1 P 1 + · · · + κr (λ − λ 0 )−^1 Pr , λ �= λ 0 ,
y así
tr Ξ
W ′(λ)W(λ)−^1
= tr Ξ
D′(λ) D(λ)−^1
∑^ r j=
κr (λ − λ 0 )−^1 , λ �= λ 0. (9)
De esta forma, usando (9) en la integral (7), se tiene que para la curva de Jordan Γ,
M (Γ; W (·)) =
∑^ r j=
κr ,
que es el resultado deseado (3).
El Teorema 3.1 implica que la definición de la multiplicidad de W en λ 0 no depende de la elección de la función D(·) dada en (2). En efecto, el residuo de tr ΞW ′(·)W (·)−^1 en λ 0 es igual a κ 1 + · · · + κr , y por lo tanto este número es determinado únicamente por W.
Antes de probar el siguiente teorema, considérese el caso en el que WA(λ) = λI − A, donde A es un operador lineal acotado en H. Del Corolario 2.16 se sigue que λ 0 es un
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los puntos λ 1 ,... , λp. Puesto que S es analítico sobre ℧, se sigue que C es también finitamente meromorfo para λ 1 ,... , λp. Así, para λ cerca de λj se tiene que
C (λ) =
∑^ ∞
ν=−qj
(λ − λ 0 )ν^ Cj,ν ,
donde Cj,− 1 , , Cj,−qj son operadores rango finito. Definiendo
N =
{ker Cj,ν : ν = − 1 ,... , −qj , j = 1,... , p} ,
se observa que es un espacio lineal cerrado de H y dim H/N < ∞. Sea CN (λ) : N → H definido por CN (λ) x = C (λ) x para cada x ∈ N. Entonces CN es un operador funcional con valores en L (N , H), el conjunto de los operadores lineales de N en H, que es analítico en cada punto de Γ∪∆. A partir de (11) se sigue que existe 0 ≤ γ < 1 tal que �C (λ)� ≤ γ para todo λ ∈ Γ. En particular, para x ∈ N y y ∈ H se tiene que
|�CN (λ) x, y�| ≤ γ �x� �y� , λ ∈ Γ.
Pero �CH (·) x, y� es analítica en cada punto de Γ∪∆, así que, por el principio del módulo máximo, la desigualdad anterior se satisface para todo λ ∈ Γ ∪ ∆, y entonces
�C (λ)� ≤ γ < 1 , λ ∈ Γ ∪ ∆.
Ahora, definiendo C˜ (λ) : H → H por C˜ (λ) = CN (λ) Π, donde Π es la proyección ortogonal de H sobre N , tenemos que C˜ es un operador funcional con valores en L (H) que es analítico en cada punto de Γ∪∆ y �C (λ)� ≤ γ < 1 para todo λ ∈ Γ∪∆. De esto se sigue que I + C˜ (λ) es invertible para cada λ ∈ Γ ∪ ∆. Se sabe que W (λ) es de Fredholm para cada λ ∈ ∆. Así, el mismo argumento es válido para W (λ)
[
I + C˜ (λ)
]
. Nótese que
V (λ) y W (λ)
[
I + C˜ (λ)
]
coinciden sobre el espacio N. Pero N tiene codimensión finita en H, y en consecuencia V (λ) es normal con respecto a Γ.
(ii) En esta parte se prueba la fórmula (12) usando el método de linearización. Sin pérdida de generalidad se puede asumir que 0 está en el dominio interno de Γ. Elíjase el dominio Θ como el interior de una curva de Jordan, tal que Γ ⊂ Θ ⊂ Θ¯ ⊂ ℧. Sea K 0 el espacio de todas las funciones continuas H con valores en ∂Θ dotadas con el producto interno �f, g� =
∂Θ
�f (ζ) , g (ζ)� dζ, (13)
y sea K un espacio de Hilbert tal que K 0 es un subvariedad lineal de H que es densa en H, y que para los elementos f y g en K 0 el producto interno en K coincide con el dado
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en (13). Hasta una isometría lineal el espacio de Hilbert K es determinado de manera única por K 0. Puesto que H es separable, también lo es K.
Para 0 ≤ t ≤ 1 se toma el operador At en K definido por
(Atf ) (z) = zf (z) − (^21) πi
∂Θ
[I − W (ζ) − tS (ζ)] f (ζ) dζ, z ∈ ∂Θ. (14)
El operador At es acotado en K 0 , y por lo tanto, por continuidad, At se extiende a un operador lineal limitado en K, el cual también se denota por At. A partir de (14) se sigue que la aplicación t �−→ At, [0, 1] −→ L (K) (15)
es continua con respecto a la norma del operador sobre L (K).
Sea ω : K → H el operador lineal acotado (único) tal que
ωf = (^21) πi
∂Θ
ζ f^ (ζ)^ dζ,^ f^ ∈ K^0.^ (16)
Obsérvese que ω está acotado en K 0 , y por lo tanto, por continuidad, se extiende a toda K. Supóngase que Z = ker ω. Entonces Z es un espacio de Hilbert (separable) en sí mismo, y para 0 ≤ t ≤ 1 la extensión Z de W (·) + tS (·) es equivalente en Θ a λ − At.
Considérese Wt (λ) = λ − At. La equivalencia anterior implica que Wt es normal con respecto a Γ. Por la extensión y la equivalencia la multiplicidad algebraica no cambia. Así, M (Γ; W (·) + tS (·)) = M (Γ; Wt (·)). (17)
Por las observaciones hechas antes de enunciar este teorema, se tiene que
M (Γ; Wt (·)) =
λ∈∆
M (λ; At (·)).
Además, por el Teorema 2.10, la cantidad en el lado derecho de la ecuación anterior es una función continua de t. Esto implica que se siga lo mismo para la cantidad en el lado izquierdo de la ecuación (17). Puesto que estas funciones son de valor en los enteros, concluimos que M (Γ; W (·) + tS (·)) no depende de t ∈ [0, 1], y por lo tanto se prueba (12).
4. Una aplicación del teorema generalizado de Rouché
En esta sección se presenta una aplicación del Teorema generalizado de Rouché asocia- da con un operador relacionado con el problema de linealización de una ecuación tipo
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∂T η∗ − ∂rη∗ + ∂r
2 η ∗^2
Nótese que la ecuación KdV (21) tiene una onda solitaria η∗ (r, T ) = Θ (r − T ) con Θ (r) = 3 sech^2 (^12 r). Más aún, la onda solitaria de la ecuación (20) tiene la forma η ˜c (s) = γ^2 Θ (γs).
R. Pego y M. Weinstein observaron que este problema de valores propios es equivalente a buscar soluciones de la forma H(s, τ ) = eλτ^ h(s). En este caso, la función propia h satisface la ecuación de valores propios
(I − ∂ 2 s
) (^) (λ − ∂ s)^2 h^ −^ ∂^2 s
(c− (^2) + ˜η c
) (^) h = 0. (22)
La estrategia abordada por R. Pego y M. Weinstein en [5] para estudiar la linealización asociada con la ecuación (20) fue utilizar la información conocida acerca del problema de valores propios de la ecuación KdV, de la cual se conoce el siguiente resultado.
Corolario 4.1 (R. Pego y M. Weinstein, [4]). Sea Θ (r) = 3 sech^2
2 r
. Entonces Λ = 0 es el único valor propio con Re (Λ) ≥ − ̂α 3 , de la ecuación de valores propios
(∂r − a)
[
− (∂r − a)^2 + 1 − Θ (r)
]
H = ΛH en L^2 (R).
Más aún, la multiplicidad algebraica de Λ = 0 es 2.
El resultado obtenido es el siguiente:
Teorema 4.2 (R. Pego y M. Weinstein, [5]). Suponga que a = γ ̂α, donde 0 < ̂α <
3 y γ > 0 es suficientemente pequeño. Entonces existe b > 0 tal que si λ �= 0 con Re λ > −b, el problema (22) no tiene solución trivial tal que �h�a sea finita. Además, λ = 0 es un valor propio de (22) de multiplicidad algebraica 2.
El análisis realizado por R. Pego y M. Weinstein en [5] para la demostración del Teorema 4.2 se basa en el estudio de una función analítica D (λ, γ), llamada función de Evans, que tiene la propiedad que sus ceros corresponden a los valores propios λ de (22) con Re λ > 0.
La aplicación que se presenta en este artículo corresponde a una nueva demostración del teorema anterior, utilizando el hecho de que las transformadas de Fourier de las soluciones a la ecuación (22) y la ecuación asociada a la linealización de la ecuación KdV
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se pueden expresar usando operadores tipo multiplicación en L^2 , los cuales satisfacen las condiciones del Teorema 3.2.
El estudio de los valores propios de (22) se hace a través de la relación existente entre la linealización de la ecuación (18), ecuación (22), y la linealización de la ecuación KdV, ecuación (21). Para observar lo anterior, vamos a realizar el mismo tipo de reescalamiento KdV de la ecuación (19) a la ecuación (22). En este caso tomamos
λ =^12 γ^3 Λ, h (s) = γ^2 H (r) ,
donde r = γs. Por lo tanto, dado que Θ (r) = 3 sech^2
2 r
es una onda solitaria de la ecuación (21), entonces H satisface la ecuación
∂r
[
ΛH + ∂ r^3 H − ∂r H + ∂r (ΘH)
]
= γ^2
[
Λ∂ r^3 +^14 Λ^2
I − γ^2 ∂ r^2
)]
H. (23)
Nótese que cuando γ → 0 +, H satisface formalmente la ecuación
∂r^ [ΛH + ∂ r^3 H − ∂rH + ∂r (ΘH)]^ = 0.
Si suponemos decaimiento de H en ±∞, H satisface formalmente la ecuación de valores propios ΛH + ∂^3 r H − ∂r H + ∂r (ΘH) = 0. (24)
Esta ecuación corresponde exactamente al problema de valor propio asociado con la linealización de la ecuación KdV alrededor de su onda solitaria Θ (r).
Recordemos que estamos interesados en estudiar las soluciones del problema de valores propios (22) en el espacio con peso a, que denotamos L^2 a, y que tiene norma � · �a. Obsérvese que estudiar las soluciones de la ecuación (22) en L^2 a es equivalente a estudiar las soluciones en L^2 de la ecuación ( I − (∂s − a)^2
(λ − (∂s − a))^2 h − c−^2 (∂s − a)^2 h = (∂s − a)^2 η˜ch. (25)
Con el fin de reescribir la ecuación (25) como un operador tipo multiplicación en L^2 , aplicamos formalmente la transformada de Fourier en ambos lados de dicha ecuación. En este caso, la transformada de Fourier de h, ̂h, satisface la fórmula
̂ h(ξ) =
μ^2 (1 − μ^2 ) (λ − μ)^2 − c−^2 μ^2
η ˜ch(ξ),
donde μ = iξ − a. Si realizamos el escalamiento tipo KdV definido por
μ = γν, ξ = γζ, λ =^12 Λγ^3 , h (r) = γ^2 H (γs) ,
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̂
̂
̂
̂
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Teorema 4.3. Sea ̂α ∈
3
fijo. Entonces,
γ^ l´→ım 0 +
sup (Λ,ζ)∈Ω
∣m(γ)^ (Λ, ζ)^ −^ m(0)^ (Λ, ζ)
donde Ω =
(Λ, ζ) : ζ ∈ R y Re (Λ) ≥ − α̂ 3
Por otra parte, se tienen los siguientes resultados para los operadores K(γ)^ (Λ) y K(0)^ (Λ).
Proposición 4.4. Sea Re(Λ) ≥ − ̂α 3 , y γ = 0 ó γ > 0 , pero suficientemente pequeño. Entonces, el operador K(γ)^ (Λ) es lineal y continuo sobre L^2.
Como consecuencia del Teorema de Plancharel y del Teorema 4.3 se tiene el siguiente resultado.
Teorema 4.5. Sea α̂ ∈
13 ) fijo. Entonces, para γ > 0 , pero suficientemente pequeño
∥∥ ∥
K(γ)^ (Λ) − K(0)^ (Λ)
(H)
∥L 2 ≤^ sup Ω
∣m(γ)^ (Λ, ζ)^ −^ m(0)^ (Λ, ζ)
∣ �Θ�∞ �H�L 2.
Del Teorema 4.3, se tiene que sup Ω
∣m(γ)^ (Λ, ζ) − m(0)^ (Λ, ζ)
∣ → 0 cuando γ → 0 +. En consecuencia, tenemos el siguiente Corolario.
Corolario 4.6. Sea α̂ ∈
13 ) y Re (Λ) ≥ − α̂ 3. Entonces,
γ^ l´→ım 0 +
K(γ)^ (Λ) − K(0)^ (Λ)
∥L(L 2 ) = 0.
Teorema 4.7. Sea α̂ ∈
3
y Re (Λ) ≥ − α̂ 3. Entonces, el operador K(0)^ (Λ) es compacto.
4.2. Una aplicación
A continuación el objetivo principal es presentar una nueva demostración del Teorema 4.2, relacionado con los valores propios asociados con la linealización de la ecuación (22). Está nueva demostración se obtiene como una aplicación directa del teorema generalizado de Rouché (Teorema 3.2).
Demostración del Teorema 4.2. Sea U =
Λ ∈ C : Re (Λ) ≥ − α̂ 3
y consideremos los operadores W, W (γ), S(γ)^ : U → L(L^2 ) definidos por
W (Λ) = I − K(0)^ (Λ) , W (γ)^ (Λ) = I − K(γ)^ (Λ) ,
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S(γ)^ (Λ) = K(0)^ (Λ) − K(γ)^ (Λ). La primera observación es que los operadores W y S(γ)^ son analíticos, dado que el símbolo m(γ)^ (Λ, ν) está bien definido para γ = 0 y γ > 0 , pero suficientemente pequeño. Afirmación 1. Supongamos que Λ ∈ U. Entonces, el operador W (Λ) es de Fredholm. Más aún, si Λ �= 0, W (Λ) es invertible, entonces W es normal con respecto a cualquier curva de Jordan Γ ⊂ U tal que 0 �∈ Γ. En efecto, del Teorema 4.7 tenemos que el operador K(0)^ (Λ) es compacto para todo Λ tal que Re (Λ) > − α̂ 3. Así que el Corolario 2.6 implica que I − K(0)^ (Λ) = W (Λ) es de Fredholm en U. Sea ahora Λ �= 0 con Re (Λ) ≥ − ̂α 3. Supongamos que el operador W (Λ) no es invertible. Entonces, existe H ∈ L^2 no nula, tal que
W (Λ) H =
I − K(0)^ (Λ)
H = 0.
Esto implica que H = K(0)^ (Λ) H. Por la definición del operador tipo multiplicación K(0)^ (Λ), se tiene que H satisface la ecuación diferencial en L^2
(∂s − a)
[
− (∂s − a)^2 + 1 − Θ
]
H = ΛH. (30)
Pero del Corolario 4.1 tenemos que el único valor propio de la ecuación (30) en L^2 es Λ = 0. Por tanto, W (Λ) es invertible para todo Λ �= 0 con Re (Λ) ≥ − α̂ 3. En consecuencia, el operador W es normal con respecto a cualquier curva de Jordan Γ ⊂ U tal que 0 ∈/ Γ.
. Afirmación 2. Para γ > 0 , pero suficientemente pequeño, los operadores W y S(γ)^ satis- facen la desigualdad (^) ∥ ∥∥W (Λ)− (^1) S(γ) (^) (Λ)^ ∥∥∥ < 1 , Λ ∈ Γ,
donde Γ es cualquier curva de Jordan contenida en U tal que 0 ∈/ Γ. En efecto, sea Ω =
(Λ, ζ) : ζ ∈ R y Re (Λ) ≥ − ̂α 3
∥W (Λ)−^1 S(γ)^ (Λ)
∥W (Λ)−^1
K(0)^ (Λ) − K(γ)^ (Λ)
∥W (Λ)−^1
∥K(0)^ (Λ) − K(γ)^ (Λ)
sup Ω
∣m(γ)^ (Λ, ζ) − m(0)^ (Λ, ζ)
∥∥W (Λ)− 1 ∥∥∥.
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Una generalización para operadores del teorema de Rouché 115
Referencias
[1] Lars V. Ahlfors, Análisis de variable compleja, McGraw-Hill Book Company, Madrid, 1966. [2] G. Arenas, Valores propios de la linealización de una ecuación tipo Boussinesq, vía el teorema generalizado de Rouché, Tesis de Maestría, Universidad del Valle, Cali,
[3] I.C. Gohberg & E.I. Sigal, “An Operator Generalization of the Logarithmic Re- sidue Theorem and the Theorem of Rouché”, Mat. Issled. Vol. 13, No. 4, 603-625, (1971). [4] R. Pego & M. Weinstein, “Asymptotic Stabilities of Solitary Waves”, Phil. Trans. Roy. Soc. London A340: 305-349, (1994). [5] R. Pego & M. Weinstein, “Convective Linear Stability of Solitary Waves for Boussinesq Equation”, AMS, No. 99, 311-375, (1997). [6] J.R. Quintero & G. Arenas, “The Eigenvalue Problem for Solitary Waves of a Boussinesq Equation, via a Generalization of the Rouché Theorem”, Applicable Analysis, Vol. 83, No. 12, 1211–1228, (2004).
Gilberto Arenas Díaz Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, Colombia, A.A. 678 e-mails: [email protected], [email protected]
Vol. 26, No. 2, 2008]
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