¡Descarga Apuntes estadistica 2 y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
MESURES DE CENTRALITZACIÓ: MODA , MITJANA, MEDIANA
Un cop hem recollit les dades i les hem ordenat posant-les en una taula, arriba el moment de
calcular algunes mesures que ens ajudin a fer un bon anàlisi de la variable d'estudi.
Amb dades de tipus quantitatiu les mesures de centralització ens proporcionen amb un sol valor
quin és el centre de la distribució a l'entorn del qual estan les dades.
Anem a definir les mesures de centralització més importants.
MODA: És el valor que més es repeteix. Si tenim les dades agrupades en una taula buscarem la
dada que té més freqüència absoluta o relativa. Pot ser que una distribució de dades no tingui
moda , o que en tingui més d'una (si en té dues li direm bimodal).
MITJANA ARITMÈTICA : És la suma de totes les dades dividida entre el nombre total de dades.
De forma abreujada l'escrivim com una X majúscula amb una barra a dalt :
X
. Si tenim N dades,
la mitjana es calcula amb la següent fórmula: X =
x i
N
.Si tenim moltes dades repetides
multiplicarem cada dada per la seva freqüència per no haver de sumar tant, en aquest cas la fórmula
ens quedarà: X =
x i
·n i
N
MEDIANA : És el valor central de la distribució de dades. El 50% de les dades són inferiors o
iguals a la mediana i l'altre meitat són superiors a ella. Per calcular-la han d'estar ordenades de
petita a gran. Si tenim un nombre senar de dades n'hi haurà una que està justament al mig, la que
ocupa el lloc
N + 1
, aquesta dada en serà la mediana. Si tenim un nombre parell de dades , n'hi
ha dues que ocupen el centre , les que estan en posició
N
i la que està en posició
N
. Es
tractarà d'identificar quines dades estan en aquestes posicions i després fer la mitjana de les dues.
Veiem ara diversos exemples que il·lustrin aquestes definicions.
EXEMPLE 1
La següent sèrie numèrica correspon al nombre de gols que ha anotat un nen els 15 primers partits
de lliga: 2, 1, 0, 2, 0, 1,3, 5, 1 ,1, 3, 1, 0, 1,0 .En volem calcular la moda, mitjana i mediana.
Com no són gaires dades, no en farem una taula, però si que les anem a ordenar de menor a major.
Quina és la moda?
El valor que més es repeteix, en aquest cas 1. És a dir que aquest nen a la
majoria de partits ha anotat 1 gol. Diríem que la moda d'aquesta sèrie és 1.
Quina és la mitjana aritmètica?
Apliquem la fórmula :
X =
x i
N
Observem que la segona versió de la fórmula ens permetria no haver de sumar tant:
X =
x i
·n i
N
és la mateixa fórmula, senzillament que en lloc
de sumar molts cops seguits el mateix nombre multipliquem el valor per la freqüència (és a dir per
les vegades que surt repetida) i acabem abans.
Què ens diu aquest 1.4? Doncs que hauria d'haver marcat 1.4 gols a cada partit per obtenir la
mateixa xifra de gols.
Calculem la mediana :
Ja tenim les dades ordenades i en tenim 15 (nombre senar) llavors hi ha una dada que estarà just
enmig , la que ocupa el lloc
N 1
. La dada que ocupa el lloc vuitè és la mediana.
Vigilem , la mediana NO és 8, la mediana és 1.
Com hem d'interpretar la mediana? Doncs diríem que en la meitat de partits el nen ha marcat 1
gol o menys.
EXEMPLE 3
S'analitzen les notes obtingudes a l'examen de matemàtiques de 30 alumnes de 3r ESO. Ja
ordenades aquestes han estat :
En volem calcular la moda , la mitjana aritmètica i la mediana.
Quina és la moda?
Veiem que el 5 és la nota que més es repeteix, la que té més freqüència, aquesta és doncs la moda.
Quina és la mitjana aritmètica?
Apliquem la fórmula
X =
x i
·n i
N
Així doncs la nota mitjana de l'examen és 4.7.
Quina és la mediana?
Tenim 30 notes ordenades , com és un nombre parell hi haurà 2 notes centrals les que ocupen el
lloc
N
i el lloc
N
. Anem a veure quines són aquestes dades.
En aquest cas , com són dues dades iguals , no cal fer-ne la mitjana , la mediana de la distribució
és 5. Això ho interpretarem dient que la meitat dels estudiants han tret una nota inferior o igual a 5.
EXEMPLE 4
El trimestre de tardor 2011 es van presentar 412 alumnes a la prova de MA4. Les notes finals
d'aquests estudiants presentats queden recollides a la següent taula.
x i
n i
N
i
A partir d'aquestes dades volem calcular la moda , la mediana i la mitjana aritmètica.
Abans de fer els càlculs recordem que vol dir cada columna.
A la primera columna hi tenim les dades
x i és a dir el ventall de notes obtingudes.
A la segona columna hi tenim les freqüències absolutes
n i , és a dir el nombre d'alumnes que
han obtingut cadascuna de les notes. (21 alumnes han tret un 1; 44 alumnes tenen un 2; ....)
I a la tercera columna hi tenim les freqüències absolutes acumulades
N
i , fixem-nos que aquesta
columna s'obté de sumar les n i
. Així la primera
N
1
coincideix amb n 1
, la segona
N
2
l'obtenim sumant n 1
n 2
N
3
=n 1
n 2
n 3
; etc.
Aclarits aquests termes anem pels càlculs demanats.
Quina és la moda?
És la nota que han obtingut més alumnes , per tant és la que té més freqüència absoluta. En aquest
cas es tracta del 6 que l'han obtingut 76 alumnes.
Quina és la mitjana aritmètica?
Apliquem la fórmula
X =
x i
·n i
N
Per tant direm que la mitjana de la distribució és 1.
Quina és la mediana?
Com tenim 200 dades , haurem de busca les que ocupen el lloc 100 i 101 un cop ordenades de
petita a gran. Com tenim la taula , és fàcil veure a la tercera columna , la de les freqüències
acumulades que les dades nº 61 fins a la nº 100 (incloses) corresponen a un 1 , i que des de la dada
101 fins a la 160 corresponen a un 2.
Per tant la dada nº 100 és 1 i la dada nº 101 és un 2. Per calcular la mediana fem la mitjana de les
dues : Mediana=
La Mediana és 1.5 i per tant la meitat dels joves enquestats beuen alcohol 1.5 cops a la setmana o
menys.
