APUNTES CAPITULO 6 ESTADISTICA, Apuntes de Estadística Económica

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MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS + 73 CAPITULO 6 1 1 J 1 ' 2 M, Binomial ] = Modelos Discretos IIE> >M Poísson | 2M. Geométrica | i 2M. Uniforme 1 J ! I I Ú a Modelos Continuos MEEZ—=> PM Exponencial 7 >M, Normel 74_+ MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS EJERCICIOS 6.1.Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con media y, =100 y 0225. Determine el valor de a que verifique P (X < a) = 0,0505 a) -259 b) 75,4 c) -124,6 d) 75,4 6.2.Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una Normalmente con parámetros =0 y o?= 1. Determine el E (Y) si se ha definido Y = 3 -3X -5X”: a)3 b)0 0) 2 d)-S 6.3.En la distribución Normal estandarizada o tipificada se cumple: a) P(Z<0)=0 b) El valor máximo de la función de densidad f (z) se da cuando Z=10Z =-1 Y f)=ftz) d) 1-P(Z<-3)=0 6.4.Una variable aleatorio X sigue una distribución Uniforme en el intervalo [a, b], señale cuál de las siguientes afirmaciones NO ES CORRECTA: a+b a) La esperanza de la variable aleatoria X es igual a E(X) = b) El segundo momento respecto al origen de la variable aleatoria X es igual a 3_,3 E(X%)= b"-a 3(b-a) ; ; . ; a+b c) La mediana de la variable aleatoria X es igual a Me(X) = . . o (b-ay d) La varianza de la variable aleatoria es igual a Var(X) = E 6.5. — Indique cuál de las siguientes condiciones NO define una distribución Binomial: a) La variable se define como el número total de éxitos en n repeticiones b) Sólo son posibles dos resultados elementales en cada repetición c) La variable aleatoria consta de un número infinito de repeticiones d) Cada una de las repeticiones es independiente del resto 76_+ MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS 6.11. Se define la variable aleatoria X que representa el número de accidentes de trabajo que se producen una fábrica por semana, siendo la distribución de probabilidad de esta variable una Poisson tal que P (X = 5) = (16/15) P(X = 2). Determine el valor del parámetro A de la distribución : y4 b)8 0) 64 dy 6.12, Si tenemos una variable aleatoria continua definida en el intervalo [O, 4] SIEMPRE se verifica que: a) La varianza es o=2 b) La función de distribución F (X = 4) = 1 e) P(X=4)=1 d) La varianza es 0?= 1,4 6.13, Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución Binomial con los siguientes parámetros: número de repeticiones n = 20 y probabilidad de éxito p > O desconocido, se puede afirmar que: a) La varianza puede tomar un valor negativo b) Var (x)>E(X) ce) E(X)<20 d E()>20 Una variable aleatoria X se distribuye Uniformemente en el intervalo [a, 13] siendo a<13. Si sabemos que E (X) = 10 entonces la probabilidad de que la variable sea menor o igual que 15 será: b) 0,5 6) 0,33 d) No se puede calcula 6.15. La temperatura de una ciudad se distribuye según una Normal de valor esperado O y varianza desconocida. La probabilidad de que la temperatura sea superior a los O grados será: al b) 0,5 c) 0,64 do 6.16. La variable aleatoria X sigue una distribución Normal con valor esperado 100 y desviación estándar 15. El valor de b que verifica P (X < b) = 0,9495 es aproximadamente igual a: a) 124,6 pr754 e) 120,4 d) 180,6 MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS + 77 17. Las estadísticas afirman que el valor esperado de la producción diaria de acero de los países que componen la UE es de 68 Tm, con una desviación estándar igual a 8, Si se supone que la producción se distribuye según una distribución Normal, ¿cuál es el nivel de producción de acero que no superan el 28% de los países MENOS productores? a) 63,3 b) 72,6 2) 60,0 d) 66,35 6.18. Sea la variable aleatoria X que se distribuye según una Normal de valor esperado 50 y desviación estándar 8, ¿cuál es el valor de X que deja tras de sí una probabilidad del 80%? a) 52,3 b) 43,3 c) 56,40 d) 56,72 6.19. Sean X e Y dos variables aleatorias Normales con los siguientes parámetros: px= 0, Var (X) = 1 y uy =0, Var (Y) =2 Si se define una nueva variable Z = X + Y, ¿cuál será la varianza de la nueva variable Z? a) Siempre será Var (Z) = 3 b) Siempre Var (Z) =5 <) Sólo cuando X e Y sean independientes la Var (Z) = 3 d) Cuando X e Y son independientes la VartZ) = 3 6.20, Una compañía de autobuses sabe que la demanda de billetes para un determinado trayecto es una variable aleatoria con una distribución uniforme con un mínimo de 57 y un máximo de 98. Si la compañía utiliza para realizar el trayecto un único autocar de 80 plazas, ¿cuál es la probabilidad de que un día cualquiera haya personas que NO puedan realizar el viaje por falta de asientos libres? a) 0,56 b) 0,44 0) 0,34 d) 0,66 6.21. Una variable aleatoria X se distribuye según una Normal con o = 250. Si se sabe que: P (X > 1500) = 0,10, ¿cuál es la probabilidad que X sea aproximadamente menor a 1000? 2) 0,24 b) 0,005 0) 0,76 > d) 0,42 6.22. Calcular el valor esperado y la desviación típica de una variable aleatoria que se distribuye según una Normal sabiendo que P (X > 3) = 0,8413 y que P (X < 9) = 0,9986: a)p=3,5y0=1,5 bu=45y0=1,5 ce) p=5,5 y o=0,5 d u=4,5y0=0,5 MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS + 79 3 y b)0,25 c)047 3) 0,97 6.30. Escoja la respuesta correcta: a) Si X es una variable aleatoria entonces Z = X-4 =N(01) o b) Si X es una variable aleatoria discreta entonces P (5 < X < 9) =F (8) — F(4) c) Si X es una variable aleatoria discreta entonces P (5 € X < 9) = F (9) — F(5) d) Si X-N (u= 64, a? =16) y P(X> a/2) = 0,8413 entonces a tiene que ser 136 6.31. Si X es una variable aleatoria que se distribuye según una Poisson (A= 2) ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? a) Se trata de una variable aleatoria discreta b) El valor esperado coincide con la varianza y es asimismo igual al parámetro A =2 2 c) Se cumple la siguiente igualdad: 5) XP P(X =X;)=30 21 d) El valor esperado es igual a 1/2 y la varianza es igual a 1/4 6.32. El peso de los productos que exporta una empresa se distribuye según una distribución Normal de valor esperado 1,7 Kg. y desviación típica de 100 gramos. El control de calidad de la empresa rechaza para su exportación aquellos productos cuyo peso difiera en más de 300 gramos del peso medio. En estas condiciones, ¿cuál es la proporción de productos rechazados por el control de calidad? : a) 90% b) 99,74% c)0,26% d) 95% 6.33. El tamaño de unas piezas sigue una distribución Normal (1 = 150, o = 0,4). Si las piezas miden entre 149,2 a 150,4 se consideren aceptables para su venta. Si se toman 50 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que 48 sean aceptables? a) 0,085 b) 0,003 0) 0,16 di 6.34. La duración en minutos de una llamada telefónica se asimila a una variable aleatoria 1 —X caracterizada por una función de distribución tal que: F(X)=1-e '' paraX>0 30_+ MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS Si sabemos que hace más de 5 minutos que ha empezado la llamada, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 25? a) 0,7135 b)0,522 c)l d) 0,7316 6.33. Se sabe que el valor esperado de una variable aleatoria Normal es 5 veces su desviación típica. Además, verifica que P (X < 0,6) = 0,84134, Se pide calcular E (X-1) a) -0,5 b) 1,5 2) 0,5 d5 6.36. Cierta asociación empresarial ha decidido promover entre sus miembros la conexión a internet, Un año después se escoge aleatoriamente a 20 de sus asociados resultando que el número medio de afiliados que disponen de conexión es de 5, ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de los asociados seleccionados haya instalado internet en su empresa? a)1 b)0 e) 0,25 d) 0,50 *6.37. La demanda diaria de galletas de una empresa se distribuye como una Normal de valor esperado 500 Kg. y desviación estándar 12 Kg. ¿Cuál debe de ser el nivel de producción de galletas para satisfacer el 99% de la demanda de la empresa? a) 528 b) 724 e) 522 d) 531 6.38. El gerente de una empresa del sector de la construcción sabe que el 12% de los trabajadores de este sector sufren un accidente laboral. Si se selecciona la azar 5 trabajadores de la empresa, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellos tengan un accidente laboral? (9 0,0981 b) 0,0792 c)0,117 d) 0,8167 *6.39. En una agencia bancaria el tiempo medio que se tarda en atender a un cliente es de 12 minutos. Elegido al azar un cliente, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de atención sea superior a 20 minutos? a) 0,1888 b) 0,2123 0)0,7364 d) 0,003 6.40. Indique cuál de las siguientes características corresponde a una distribución Normal con p=0yo=1 82 + MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS 6.47. Del análisis del fichero de clientes de un banco se conoce que un 30% de los mismos realizan aportaciones únicas a planes de pensiones durante el mes de diciembre. Si se toman al azar 10 clientes del banco, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) El número esperado de clientes que realizan aportaciones es de 3 b) La varianza del número de clientes que realizan aportaciones es de 6 e) La probabilidad de que entre los 10 clientes se encuentren como mínimo 2 que hayan realizado aportaciones únicas al plan de pensiones es de aproximadamente 0,38 d) La probabilidad de que entre los 10 clientes se encuentren como máximo 2 que hayan realizado aportaciones únicas al plan de pensiones es de aproximadamente 0,62 6.48. En un taller mecánico de automóviles se sabe que por término medio se necesitan 3 ajustes por cada 10.000 kilómetros, recorridos por el vehículo. ¿Cuál es el porcentaje de vehículos que requieren por lo menos un ajuste cada 10.000 kilómetros? a) 85% b) 15% 0) 5% d) 95% 6.49. En una empresa se realiza un proceso de control de la calidad sobre las piezas producidas, observándose por término medio 2 piezas defectuosas. Si se escogen aleatoriamente 25 piezas, ¿en cuánto se incrementa la probabilidad de pasar de tener al menos 3 piezas defectuosas a tener al menos dos? a) 0,282 b) 0,25 EJ0 d) 0,157 6.50. Si se consideran los experimentos aleatorios asociados a las siguientes situaciones: El- número de controles de alcoholemia durante un fin de semana E2- número de devoluciones de compra respecto a una muestra de 40 realizadas E3- mediación del tiempo transcurrido entre dos operaciones consecutivas de pintado en una cadena de montaje Se pide clasificar los experimentos según la distribución de probabilidad asociada a cada uno: a) El es una Binomial, E2 es una Poisson y E3 es una Exponencial b) El y E3 son Exponencial y E2 es una Binomial c) El y E2 son Exponencial y E3 es una Binomial i d) El es una Poisson, E2 es una Binomial y E3 es una Exponencial MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS + 83 6.51. Un asesor fiscal consigue una media de 10 clientes por cada 5 horas de trabajo. Si se considera que el tiempo transcurrido entre la obtención de 2 clientes consecutivos se comporta según una exponencial, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga el siguiente cliente antes de 18 horas si ya consiguió urto a las 16 horas? al b) 0,0183 2) 0,982 d) 0,126 6.52. Una máquina automática fabrica artículos de uno en uno € independientemente. La probabilidad de que uno de ellos sea defectuoso es p>0, calcule la probabilidad de que nunca se fabrique ningún artículo defectuoso. a) 0% D) (p-1)% Dd (1-p% d) No se puede calcular. 6.53. Seconoce que en el proceso de fabricación de un determinado producto, la proporción de artículos defectuosos es de 15%. Para controlar la calidad, se establece que se interrumpirá el proceso de fabricación si al inspeccionar 10 artículos al azar de la producción se encuentran por lo menos 3 defectuosos. La probabilidad de encontrar exactamente 4 defectuosos entre los 10 inspeccionados es, aproximadamente: dyi%» "—b) 27,6 % c) 66,1 % d) 23,4% 6.54. Elija cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA: a) Una variable aleatoria Binomial no siempre se puede aproximar a través de una distribución de Poisson, para cualquier valor de los parámetros. b) Una variable aleatoria Geométrica, tiene una distribución caracterizada sólo con el parámetro correspondiente al valor de la probabilidad de éxito (p). " e) La distribución Exponencial es un modelo asociado a una variable aleatoria continua. d) En una distribución de Poisson, el valor esperado de su variable aleatoria coincide con el inverso del valor de su varianza. 6.55. Se sabe que el número de personas que, semanalmente, consulta la sección de revistas en una biblioteca popular sigue una ley normal de media 250 y varianza 1900. La probabilidad de que en una semana concreta el número de usuarios/as sea superior a 150 pero inferior a 300 es aproximadamente igual a: a) 0,15 b) 0,86 c) 0,58 — d) Ninguna de las anteriores. 6.56. El número de camiones que pasan por el túnel del Cadí un determinado día con condiciones meteorológicas aceptables, sigue una distribución de Poisson con media 6 camiones MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS + 85 2)98,2% b) 21,5% 0) 57,6% d) 11,5% 6.61. La cotización en bolsa de una empresa se distribuye según una Normal con parámetros desconocidos. Se sabe que hay un 25% de probabilidad de que la cotización supere el valor 400 y un 50% de que no supere el 380. La probabilidad de que la cotización esté entre 383 y 395 es, aproximadamente. ó a) 0,13 b) 0,75 c) 0,93 d) 0,09 6.62. Una variable aleatoria se distribuye normalmente con un valor esperado igual a 0 y desviación estándar igual a 4. Si se sabe que: P(b B(5; 0,15) y X, —>B(7;0,15). Indique cuál es la respuesta CORRECTA: a) La suma de ambas variables es una Binomial con probabilidad de éxito p=0,15. b) La suma de ambas variables es una Binomial con probabilidad de éxito p=0,30. c) La suma de ambas variables se aproxima a una Normal de media yu =0,15 d) La suma de ambas variables se aproxima a una Normal de media =1,8 6.65. El tiempo en minutos que tarda un señor para ir de su casa al trabajo es una Uniforme entre 20 y 30 minutos. Si debe llegar al trabajo a las 7 de la mañana, ¿a qué hora debe salir de casa para tener un probabilidad del 80 % de no llegar tarde?: 86 _* MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS a) 6hy32 minutos. b) 5hy52mimutos. c) 6hy23minutos d) 6hy26 minutos. 6.66. Para determinado tipo de libros técnicos se estima que el coste de la edición es independiente del coste de su distribución, siguiendo en ambos casos un modelo normal de parámetros: Coste Media (euros) | Desviación típica (euros) Edición 720 130 Distribución 420 275 La probabilidad de que en un libro de estas características, su coste agregado haya superado los 1500 euros es, aproximadamente: a) 12% b) 33% ce) 19% d)38% 6.67. Se ha observado que las operaciones de ingresos (X) y reintegros (Y) mensuales que realiza un cliente en su cuenta bancaria son variables aleatorias independientes con distribuciones X-N(1000, 0=50), Y -N(300, 0=120). El saldo de las operaciones realizadas a final de mes por el cliente es también una variable aleatoria con la siguiente distribución de media y desviación estándar: a) N(1800; 130) b)N(200;130) €) N(1800 ; 170) d) N(200; 170) 6.68. A partir del enunciado anterior (n* 6.67), la probabilidad de que al finalizar un mes el saldo de las operaciones realizadas por el cliente sea negativo es, aproximadamente: 2)6% b)0% 912% d) 88 % 6.69. Sea X una variable aleatoria que sigue un modelo uniforme [ U(a;b) ]. Si su media es igual a 216 y su desviación estándar es de 36,95; los valores de los parámetros de esta distribución son: a)b=272 b)a=190 Cc) No se puede calcular d) Ninguna da las anteriores 6.70. Se conoce que las ventas de dos marcas comerciales que se dedican a la venta de un mismo tipo de artículo, se comportan con arreglo a un modelo Normal de media, 1800 y de desviación estándar, 150 para la primera marca; y un modelo Normal de media, 1650 y desviación estándar, 120 para la segunda; siendo ambas variables independientes. La 88_* MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS c) Dos sucesos consecutivos e independientes, de una distribución Binomial, d) Dos sucesos no consecutivos e independientes, de. una distribución de Bernoulli 6.76. Un fabricante de coches garantiza la carrocería de los vehiculos por 5 años. Se considera que la carrocería se mantiene en condiciones según un modelo Normal de media, 6 años y desviación tipica de 120 días (considere: año==365 días). ¿Qué probabilidad hay de que un automóvil tenga que ser reparado antes de acabar su garantía? a) 0,12% b) 12% c)81% d)10% 6.77. Una estación de ski dispone de 15 remontes para ascender a pistas de distintos niveles de dificultad. Durante la semana, de lunes a viernes, el número medio de personas que cogen el remonte para subir a las pistas de máxima dificultad es de 4 por hora, mientras que en fin de semana es de 8 por hora. En estas circunstancias señale la respuesta correcta: a) La probabilidad de que 7 personas cojan el remonte de 11 a 12 de la mañana de lunes a viernes, es el doble que la probabilidad de que 7 personas cojan el remonte de 11 a 12 de la mañana durante el fin de semana, b) La probabilidad de que 7 personas cojan el remonte de 11 a 12 de la mañana de lunes a viernes es la mitad que la probabilidad de que 7 personas cojan el remonte de 11 a 12 de la mañana durante el fin de semana. c) La probabilidad de que 7 personas cojan el remonte de 11 a 12 de la mañana de lunes a «viernes es de aproximadamente un 6% y de 11 a 12 de la mañana durante el fin de semana es de aproximadamente un 14%, d) La probabilidad de que 7 personas cojan el remonte de 11 a 12 de la mañana de lunes a viernes es de aproximadamente un 30% y de 11 a 12 de la mañana durante el fin de semana es de aproximadamente un 10%. 6.78. La Dirección General de Tráfico afirma que la probabilidad de que un conductor de positivo en un control de alcoholemia es del 3,1%. Si un día realiza un control a 27 conductores la probabilidad de que más de 2 den positivo en el test es de: a) 5% b) 95% 0) 9,3% d) Ninguna de las anteriores. 6.79. Una empresa dedicada a la comercialización de naranjas, vende parte de su producción al extranjero en bolsas de 5 Kilos. El fabricante decide rechazar aquellas bolsas de naranjas cuyo peso difiera en más/menos 200 gramos de la media, Si se supone que la variable peso de las MODELOS TEÓRICOS DE VARIABLES ALEATORIAS + 89 volsas de naranjas se distribuye según una Normal de media 5 Kilos y desviación estándar 0,2 Kilos, la probabilidad de que elegida una bolsa al azar sea aceptada para la exportación es, aproximadamente: aj20% - b)32% £) 80 % d) 68 % 6.80. De una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media 5 y varianza 25, seleccione la respuesta INCORRECTA: a) P(X<5)=0,50 b) P(X<0)=P(X> 10) c) SiY=2X+10 entonces P(Y> 30) = 0,1587 d) SIY=2X entonces P(Y>30) == 0,1998 6.81. Un trabajador de una empresa de telemarketing dispone de un listado de clientes potenciales de un determinado producto. Si la probabilidad de que este trabajador realice una venta telefónica es del 20%, determinar la probabilidad de que tenga que hacer 5 llamadas para hacer la primera venta, a) 0,04 b) 0,08 2) 0,02 d) 0,20 6.82. La fábrica de chocolate “MINO” tiene una máquina para envasar su chocolate en polvo, en bolsas de 200 gr. El peso de los envases, X, sigue una distribución Normal con media 198 gr. y desviación 10 gr. ¿Cuál es el valor aproximado de “a” que verifica la siguiente relación: P(a< X <225)=0,6519 a) 180 b)171 0) 225 d) 194 6.83. Una empresa de telefonía móvil ha comprobado que la duración media de las conversaciones telefónicas urbanas sigue una distribución exponencial de media 120 segundos. Con estos datos la probabilidad de que una llamada tenga una duración comprendida entre 90 y 240 segundos es de: a) 26,6% b) 79,5% Cc) 90,2% d) 33,7% 6.84. El Ayuntamiento de una gran ciudad conoce que, la duración en horas de las bombillas de bajo consumo del alumbrado público, se distribuye según una ley exponencial con la siguiente función de densidad: