¡Descarga apuntes estadística avançada y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
TEMA 1: INTRODUCCIO A LA INFERÈNCIA ESTADÍSTICA
1. INTRODUCCIÓ AL MOSTRATGE I L’ESTIMACIÓ PUNTUAL
L’objec�u bàsic de l'estadís�ca és conèixer lleis o caracterís�ques que regeixen en els col·lec�us objecte d’estudi. Per aconseguir l’objec�u s’ha de recórrer a la informació parcial que aporta una part de la població anomenada mostra.
■ La mostra ha de ser representa�va de la població doncs l’objec�u d’extraure una mostra és efectuar afirmacions que �nguin certa validesa sobre tota la població.
■ El procés de selecció de la mostra s’ha de basar en el principi d’aleatorització, és a dir ha de ser al atzar.
2. MÈTODES DE MOSTRATGE
Els diferents sistemes o criteris de selecció de la mostra cons�tueixen els mètodes de mostratge: Aquests procediments són anomenats aleatoris o estadís�cs quan a par�r d’una població de N elements podem precisar la probabilitat que té cada un d’ells de ser elegit en la mostra de grandària n. I per tant, existeix un model de probabilitat conjunta per a cada possible mostra.
Altres mètodes no basats en una assignació probabilís�ca a les mostres, són els mètodes no probabilís�cs. Exemples: mostratge per quotes, per rutes,..
El mostratge estadís�c o aleatori admet una primera classificació, segons si es reposen o no els elements triats a la població bàsica:
- Mostratge aleatori pur: ■ Obtenció d’elements mostrals amb devolució. ■ Sorgeix independència entre totes les extraccions.
- Mostratge irrestricament aleatori: ■ Obtenció d’elements sense retornar-los a la població. ■ Dependència en cada una de les eleccions. ■ Millor informació perquè evita que un element pugui ser repe�t en la mostra. ■ En poblacions grans és irrellevant
El mostratge aleatori pur i el mostratge irrestricament aleatori resulten poc opera�us a la prac�ca, ja que si les poblacions son grans s’u�litzen altres mètodes més fàcils.
METODES DE MOSTRATGE:
1. TAULES DE NUMEROS ALEATORIS:
Simulen elements elegits a l’atzar de poblacions bàsiques diferents. Exemple : Suposem que es vol extreure una mostra de 20 estudiants de la UdL. Tenim una llista amb els noms i les adreces de tots els estudiants, i a la nostra llista n’hi ha 2.150. Es numeren els estudiants en aquesta llista de l’1 al 2.150. Necessitarem nombres aleatoris de quatre dígits i per tant, usem els nombres aleatoris d’una taula. Primer �rem un dau per veure on comencem. Suposem que treiem un 4, i comencem en el quart dígit de la taula, que és 2:
El primer nombre que formem amb quatre dígits començant per aquest 2 és, 2.395. Com que és fora el camp dels nombres dels estudiants, el saltem. El pròxim conjunt de quatre dígits és 0340, de manera que seleccionarem l’estudiant número 340 com el primer estudiant de la nostra mostra. Després els números 5.756, 2.871 i 3.964 seran descartats. El següent alumne que triarem serà el 912 i el tercer el 1.509. Així con�nuarem fins aconseguir 20 estudiants de la mostra.
2. MOSTRATGE SISTEMATIC:
Escollim a l’atzar un element d’una part de la població i la resta a salt regulars (coeficient d’elevació k= ) fins aconseguir la resta de la mostra. Aquest mostratge es recomanable quan les dades no estan ordenades. Per exemple: suposem que volem comprovar les errades �pogràfiques d’un llibre de 400 pàgines i volem una mostra aleatòria de 25. Com que 400 dividit entre 25 és 16, podem agafar cada setzena pàgina, i això ens donarà una mostra de 25 pàgines al llarg del llibre. Mostra aleatòria sistemà�ca: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, .....
3. MOSTRATGE ESTRATIFICAT:
Perquè la mostra guanyi representació pot dividir-se en subpoblacions o estrats, de manera que cada estrat apor� la seva mostra o submostra. Segons la quan�tat d’elements ob�nguts de cada estrat sorgeixen diferents criteris d’assignació mostral: a. Assignació simple: una submostra per cada estrat. Exemple: Igual núm. d’empreses per a cada sector. b. Assignació proporcional: fixa les mostres en proporció a la grandària dels estrats.
c. Assignació òp�ma: combina la proporcionalitat directa amb l’estrat i inversa amb la dispersió (desviació estàndard) de la variable objecte d’estudi.
d. Assignació òp�ma amb costos: altera els resultats anteriors en funció inversa al cost en que s'incorria al recollir la mostra. Per tant dels
MOSTRA GENÈRICA.
CONCEPTE D’ESTIMADOR
Considerem una població bàsica amb una determinada funció de densitat o de quan�a. Una mostra genèrica és una variable aleatòria n- dimensional que conté els resultats aleatoris d’aquest experiment.
Par�m d’una mostra aleatòria (escollida per m. estadís�cs) de “n” observacions independents. Qualsevol operació amb els elements d’una mostra és un ESTADÍSTIC. Si aquest estadís�c es des�na a l’es�mació d’un paràmetre poblacional es denomina ESTIMADOR, estadís�c que s’u�litza pel càlcul del paràmetre poblacional
Per es�mar el paràmetre “ m o ” (mitjana d’una població), un es�mador seria, després de prendre una mostra aleatòria de grandària n :
Com = operació (X1, X2.....) és una operació amb n v.a. independents és també una variable aleatòria que té una determinada distribució de probabilitat. Es un altre es�mador de la mitjana ( m o ) Anem a efectuar INFERENCIA sobre: -l’ingrés mig de les famílies d’un barri -la variació en el nivell de consum d’un vehicle
- la proporció d’usuaris de comerç electrònic
4. DISTRIBUCIONS D’ALGUNS ESTADÍSTICA
Estudiarem les distribucions teòriques d’uns es�madors, importants en les fases d’es�mació i contrastació d’hipòtesis.
- Distribucio de la mitjana mostral
Suposem una població normal N(m, o) de la qual trobem una mostra genèrica. Per fer inferència sobre la mitjana poblacional un punt de par�da es el promig dels valors mostrals.
Podem comprovar que si la població de la qual es va extreure la mostra segueix una distribució normal, la mitjana mostral segueix una distribució normal:
Si la població no és normal, però n es gran (n>30) segons el Teorema Central del Límit la variable aleatòria de la mitjana mostral segueix una distribució normal.
Si s’extreuen repe�des mostres independents de “n” observacions d’una població i el número de mostres es fa molt gran, el promig de les mitjanes mostrals és proper a la mitjana poblacional. La distribució de la mitjana mostral està centrada en la mitjana poblacional: E( ) = m per veure el proper que està d’aquesta m poblacional calculem la variança o desviació estàndard:
Si no podem assumir que els valors de la mostra es distribueixin independentment p.ex. el mostreig irrestrictament aleatori (sense reemplaçament) hem de realitzar un FACTOR DE CORRECCIÓ PER POBLACIÓ FINITA:
Exemple: Per estudis anteriors sabem que la despesa mensual en cultura té una mitjana de 100 € i una desviació estàndard de 20 €. Una en�tat, abans d’iniciar una nova campanya publicitària, selecciona aleatòriament 100 persones, de manera que vol calcular quina probabilitat hi ha de que la despesa mitjana mensual de la mostra sigui inferior a 105€?
Solució: Sigui la variable aleatòria X= ”despesa mensual en cultura” Per l’enunciat sabem X que té una mitjana m = 100 i una desviació estàndard = 20 Ens demana calcular una probabilitat sobre la variable aleatòria
