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19) Calcular la expresión matricial con respecto a la base canónica de las formas cuadráticas:
a) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡰⡰^ ㎗ 4ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 6ᡶ⡰ᡶ⡱
ᡶ⡩ ᡶ⡩^ ⡰^ ᡶ⡩ᡶ⡰ ᡶ⡩ᡶ⡱
ᡶ⡰ ᡶ⡩ᡶ⡰ ᡶ⡰^ ⡰^ ᡶ⡰ᡶ⡱
ᡶ⡱ ᡶ⡩ᡶ⡱ ᡶ⡰ᡶ⡱ ᡶ⡱^ ⡰
Luego la expresión matricial de q es ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 䙦ᡶ 1 ᡶ 2 ᡶ 3 䙧 㐸
b) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 4ᡶ⡩ᡶ⡱
Luego la expresión matricial de q es ↙䙦∆❸, ∆❹, ∆➀䙧 㐄 䙦∆❸ ∆❹ ∆➀ 䙧 㐸
c) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 3ᡶ⡱⡰^ ㎘ 2ᡶ⡰ᡶ⡱ ㎗ 4ᡶ⡩ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
Luego la expresión matricial de q es ↙䙦∆❸, ∆❹, ∆➀䙧 㐄 䙦∆❸ ∆❹ ∆➀ 䙧 㐸
c) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 3ᡶ⡰ᡶ⡱ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ᑘ ↙䙦∆❸, ∆❹, ∆➀䙧 㐄 䙦∆❸ ∆❹ ∆➀ 䙧
❸
❹ ❷^
➀ ❹
ᡶ⡰ -1^0
- Calcular una expresión diagonal de Jacobi de las formas cuadráticas:
a) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ 2ᡶ⡰⡰^ ㎗ 6ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 2ᡶ⡰ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
㑂 ᑘ ᠰ⡩ 㐄 1 㐅 0 , ᠰ⡰ 㐄 䚘^13 32 䚘 㐄 ㎘7 㐅 0 , ᠰ⡱ 㐄 䜠
Como ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 ᡷ ᡤᡧᡱ ᡲᡰᡗᡱ ᡥᡗᡦᡧᡰᡗᡱ ᠰ⡩, ᠰ⡰, ᠰ⡱ 㐅 0 , la forma diagonal de Jacobi es
ᡩ䙦ᡷ⡩, ᡷ⡰, ᡷ⡱䙧 㐄 1ᡷ⡩⡰^ ㎗ ㎘7 1 ᡷ⡰⡰^ ㎗ ㎘1㎘7 ᡷ⡱⡰^ ᑘ ↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧 㐄 ∇❸❹^ ㎘ ➄∇❹❹^ ㎗ ❸➄ ∇➀❹
b) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 3ᡶ⡱⡰^ ㎗ 6ᡶ⡰ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
⡩ ⡰ 0 3 0 3 3
⡩ 㐄 1 㐅 0 ,^ ᠰ⡰ 㐄 䜠
䜠 㐄 ㎘^14 㐅 0 , ᠰ⡱ 㐄 䜠^ 䜠
䜠 㐄 ㎘^37
4 㐅 0^ ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3
Como ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 ᡷ ᡤᡧᡱ ᡲᡰᡗᡱ ᡥᡗᡦᡧᡰᡗᡱ ᠰ⡩, ᠰ⡰, ᠰ⡱ 㐅 0 , la forma diagonal de Jacobi es
ᡩ䙦ᡷ⡩, ᡷ⡰, ᡷ⡱䙧 㐄 1ᡷ⡩⡰^ ㎗
㎘^14
㎘^14
ᡷ⡱⡰^ ᑘ ↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧 㐄 ∇❸❹^ ㎘^14 ∇❹❹^ ㎗ ➀➄∇➀❹
c) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ 3ᡶ⡱⡰^ ㎗ 4ᡶ⡩ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
㑂 ᑘ ᠰ⡩ 㐄 1 㐅 0 , ᠰ⡰ 㐄 䚘^10 00 䚘 㐄 0 , ᠰ⡱ 㐄 䜠
ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 2 ᡷ ᡓᡳᡦᡩᡳᡗ ᠰ⡩ 㐅 0, ᡕᡧᡥᡧ ᠰ⡰ 㐄 0 , q no admite forma diagonal de Jacobi
- Calcular una expresión diagonal de autovalores de las formas cuadráticas:
a) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡰⡰^ ㎗ 3ᡶ⡱⡰^ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
䜠 㐄 0 ፲ 䙦3 ㎘ ’䙧 䚘1 ㎘ ’ 1 1 ㎘ ’^1 䚘 㐄 0 ፲ 䙦3 ㎘ ’䙧 䙰䙦1 ㎘ ’䙧䕹䖃䖃䖃䖀䖃⡰䖃14䙱䖃䖁
ゐㄘ⡹⡰ゐ
’⡰^ ㎘ 2’ 㐄 0 ፲ 䙶’ 㐄 2’ 㐄 0&&
L a forma diagonal de autovalores viene dada por ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᜐ , ᡶぁ䙧 㐄 ’⡩ᡶ⡩⡰^ ㎗ ’⡰ᡶ⡰⡰^ ㎗ ’⡱ᡶ⡱⡰^ por tanto:
↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧^ 㐄 ➀∇❸❹^ ㎗ ❹∇❹❹
b) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 2ᡶ⡰ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
䜠 㐄 0 ፲ ᡖᡗᡱᡓᡰᡧᡤᡤᡓᡦᡖᡧ ㎘’⡱^ ㎗ 3’ ㎗ 2 㐄 0 ፲ ᡄᡳᡘᡘᡡᡦᡡ 㐡
La forma diagonal de autovalores viene dada por ↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧^ 㐄 ㎘∇❸❹^ ㎘ ∇❹❹^ ㎗ ❹∇➀❹
c) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡱⡰^ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
䜠 㐄 0 ፲ 䙦1 ㎘ ’䙧 䚘㎘’㎘1^ ㎘1㎘’䚘 㐄 0 ፲ 䙦1 ㎘ ’䙧䙦’⡰^ ㎘ 1䙧 㐄 0 ፲ 㐡
L a forma diagonal de autovalores viene dada por ↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧 㐄 ∇❸❹^ ㎗ ∇❹❹^ ㎘ ∇➀❹
d) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎘ ᡶ⡰⡰^ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎘ 2ᡶ⡱⡰^ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
䜠 㐄 0 ፲ 䙦㎘2 ㎘ ’䙧 䚘1 ㎘ ’ 1 ㎘1 ㎘ ’^1 䚘 㐄 0 ፲ 䙦㎘2 ㎘ ’䙧䙦’⡰^ ㎘ 2䙧 㐄 0
’⡰^ ㎘ 2 㐄 0 ፲ 㐠 ’ 㐄 ㎘√2’ 㐄 √2^ & &↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧^ 㐄 ㎘❹∇❸
- Clasificar atendiendo a su signo las formas cuadráticas:
a) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎘ ᡶ⡰⡰^ ㎘ 2ᡶ⡱⡰^ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎘ 2ᡶ⡰ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
Empecemos intentando clasificar por menores angulares:
ᝇᠰ⡩^ 㐄 1 㐈 0
ᠰ⡰ 㐄 䚘^11 ㎘1^1 䚘 㐄 ㎘2 㐇 0
|ᠧ| 㐅 0 ᡨᡧᡰ ᡲᡓᡦᡲᡧ ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 y como ni los tres menores son positivos (caso 1) ni alternan de signo empezando en negativo (caso 2) estaríamos en el caso 3 ᑘ la forma cuadrática es Indefinida (Caso 3)
Otra forma
Como ᡰᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 ᡷ ᡤᡧᡱ ᡲᡰᡗᡱ ᡥᡗᡦᡧᡰᡗᡱ ᠰ⡩, ᠰ⡰, ᠰ⡱ 㐅 0 , se puede obtener la forma diagonal de Jacobi:
ᡩ䙦ᡷ⡩, ᡷ⡰, ᡷ⡱䙧 㐄 1ᡷ⡩⡰^ ㎗ ⡹⡰⡩ ᡷ⡰⡰^ ㎗ (^) ⡹⡰⡰ ᡷ⡱⡰^ ᑘ ↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧 㐄 ∇❸❹^ ㎘ ❹∇❹❹^ ㎘ ∇➀❹^ que al tratarse de una forma
diagonal la clasificación de la forma cuadrática no la da el signo de los coeficientes en la expresión diagonal y como hay términos positivos y términos negativos la forma cuadrática es Indefinida.
b) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 2ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡰⡰^ ㎗ 3ᡶ⡱⡰^ ㎘ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 2ᡶ⡰ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
Empecemos intentando clasificar por menores angulares:
ᝇᠰ⡩^ 㐄 2 㐈 0
ᠰ⡰ 㐄 䚘^20 01 䚘 㐄 2 㐈 0
|ᠧ| 㐅 0 ᡨᡧᡰ ᡲᡓᡦᡲᡧ ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 y como ᠰ⡩ 㐈 0, ᠰ⡰ 㐈 0, ᠰ⡱ 㐈 0, ᑘ Definida Positiva ( Caso 1)
O bien por Jacobi ᡩ䙦ᡷ⡩, ᡷ⡰, ᡷ⡱䙧 㐄 2ᡷ⡩⡰^ ㎗ ⡰⡰ ᡷ⡰⡰^ ㎗ ⡱ 2 ᡷ⡱⡰^ ᑘ ↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧^ 㐄 ❹∇❸❹^ ㎗ ∇❹❹^ ㎗ ➀❹ ∇➀❹^ ᑘ Ⅰ. ⅲ.
e) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 2ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡰⡰^ ㎗ 5ᡶ⡱⡰^ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 6ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 4ᡶ⡰ᡶ⡱ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
Empecemos intentando clasificar por menores angulares:
ᝐ^ ᝐ
ᝇᠰ⡩^ 㐄 2 㐈 0
ᠰ⡰ 㐄 䚘^21 11 䚘 㐄 1 㐈 0
|ᠧ| 㐅 0 ᡨᡧᡰ ᡲᡓᡦᡲᡧ ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 3 y como no se da ni (1) ni (2) ᑘ Indefinida ( Caso 3)
O bien por Jacobi ᡩ䙦ᡷ⡩, ᡷ⡰, ᡷ⡱䙧 㐄 2ᡷ⡩⡰^ ㎗ ⡩⡰ ᡷ⡰⡰^ ㎗ ⡹⡱⡩ ᡷ⡱⡰^ ᑘ ↙䙦∇❸, ∇❹, ∇➀䙧 㐄 ❹∇❸❹^ ㎗ ⡩⡰ ∇❹❹^ ㎘ ➀∇➀❹^ ᑘ Ⅵ↖ↆↇↈ↑↖↑ↆↃ
f) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰^ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
Empecemos intentando clasificar por menores angulares:
ᝇᠰ⡩^ 㐄 1 㐈 0
ᠰ⡰ 㐄 䚘^11 11 䚘 㐄 0
ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 2 y aunque ᠰ⡩ 㐅 0, como ᠰ⡰ 㐄 0 no se puede aplicar el criterio de menores angulares, por tanto tendremos que clasificar por autovalores:
䜠 㐄 0 ፲ 䙦1 ㎘ ’䙧 䚘1 ㎘ ’ 1 1 ㎘ ’^1 䚘 㐄 0 ፲ 䙦1 ㎘ ’䙧 䙰䙦1 ㎘ ’䙧䕹䖃䖃䖃䖀䖃⡰^ 䖃㎘ 1䙱䖃䖁
ゐㄘ⡹⡰ゐ
’⡰^ ㎘ 2’ 㐄 0 ፲ 䙶’ 㐄 2 㐈 0’ 㐄 0 ))
Por tanto como ’⡩ 㐈 0, ’⡰ 㐈 0 ᡷ ’⡱ 㐄 0 ᡤᡓ ᡘᡧᡰᡥᡓ ᡕᡳᡓᡖᡰáᡲᡡᡕᡓ ᡗᡱ ⅵↇ↕↑ↆↇↈ↑↖↑ↆↃ ⅲ↗∁↑∂↑∄Ↄ
g) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡰⡰^ ㎘ ᡶ⡱⡰^ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
Empecemos intentando clasificar por menores angulares:
ᝐ^ ᝐ
ᝇᠰ⡩^ 㐄 1 㐈 0
ᠰ⡰ 㐄 䚘^11 11 䚘 㐄 0
ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 2 y aunque ᠰ⡩ 㐅 0, como ᠰ⡰ 㐄 0 no se puede aplicar el criterio de menores angulares, por tanto tendremos que clasificar por autovalores:
䜠 㐄 0 ፲ 䙦㎘1 ㎘ ’䙧 䚘1 ㎘ ’ 1 1 ㎘ ’^1 䚘 㐄 0 ፲ 䙦㎘1 ㎘ ’䙧 䙰䙦1 ㎘ ’䙧䕹䖃䖃䖃䖀䖃⡰^ 䖃㎘ 1䙱䖃䖁
ゐㄘ⡹⡰ゐ
’⡰^ ㎘ 2’ 㐄 0 ፲ 䙶’ 㐄 2 㐈 0’ 㐄 0 ))
Por tanto como ’⡩ 㐇 0, ’⡰ 㐈 0 ᡤᡓ ᡘᡧᡰᡥᡓ ᡕᡳᡓᡖᡰáᡲᡡᡕᡓ ᡗᡱ Ⅵ↖ↆↇↈ↑↖↑ↆↃ
h) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱, ᡶ⡲䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎘ ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰^ ㎘ ᡶ⡲⡰^ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡰ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡱ ㎗ 2ᡶ⡩ᡶ⡲ ㎗ 2ᡶ⡰ᡶ⡲ ㎗ 2ᡶ⡱ᡶ⡲
ᝐ^ ᝐ
ᝇᠰ⡩^ 㐄 1 㐈 0
ᠰ⡰ 㐄 䚘^11 ㎘1^1 䚘 㐄 ㎘2 㐇 0
ᠰ⡲ 㐄 䜠^ 䜠
ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䙧 㐄 4 y como no se da ni (1) ni (2) ᑘ Indefinida ( Caso 3)
- Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas a ᡅ 㐄 䙨䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 ᒈ ጷ⡱^ ⁄ᡶ (^) ⡩ 㐄 ᡶ⡱䙩
En primer lugar calculemos las ecuaciones paramétricas de S , que sustituiremos en la expresión analítica de la forma cuadrática para obtener la expresión analítica restringida en función de los parámetros.
a) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 6ᡶ⡩⡰^ ㎗ 6ᡶ⡰⡰^ ㎗ 6ᡶ⡱⡰^ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
q sin restringir es definida positiva, por tanto ᡩ|〠 restringida a S sigue siendo definida positiva.
b) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ㎘ᡶ⡩⡰^ ㎘ 2ᡶ⡰⡰^ ㎘ ᡶ⡱⡰^ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
q sin restringir es definida negativa, por tanto ᡩ|〠 restringida a S sigue siendo definida negativa.
c) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰^ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
q sin restringir es semidefinida positiva. Sustituimos en q las ecuaciones paramétricas de S:
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡰⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰^ ᑘ ᡩ|ᡅ䙦 , ‐䙧 㐄 ⡰^ ㎗ ‐⡰^ ᑘ
ᑘ ᠧ䖓^ 㐄 䙸^1
ᠰ⡰ 㐄 䚘^10 01 䚘 㐄 1 㐈 0
ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䖓^ 䙧 㐄 2
d) ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰^ ᑘ ᠧ 㐄 㐸
q sin restringir es semidefinida positiva. Sustituimos en q las ecuaciones paramétricas de S:
ᡩ䙦ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱䙧 㐄 ᡶ⡩⡰^ ㎗ ᡶ⡱⡰^ ᑘ ᡩ|ᡅ䙦^ , ‐䙧 㐄 ⡰^ ㎗ ⡰^ 㐄 2 ⡰^ 㐄 2 ⡰^ ㎗ 0 ‐⡰^ ᑘ
ᑘ ᠧ䖓^ 㐄 䙸
ᠰ⡰ 㐄 䚘^20 00 䚘 㐄 0
ᡰᡓᡙ䙦ᠧ䖓^ 䙧 㐄 1
