Método de Lagrange: Interpretación de Multiplicadores. Optimización con igualdad. - Prof. , Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Método de Lagrange: Interpretación de Multiplicadores. Optimización con igualdad. - Prof. y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Tema 1: Optimitzaci´o amb restriccions

d’igualtat

Matem`atica 2

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

´Index

1 Plantejament formal del problema

2 M`etode directe

3 M`etode dels multiplicadors de Lagrange

4 Interpretaci´o econ`omica dels multiplicadors

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Plantejament

Els problemes d’optimitzaci´o que s’han vist fins ara, a Matematiques I, s´on problemes d’optimitzaci´o lliure on no s’aplica cap restricci´o i on els maxims i m´ınims es busquen a tot el domini. En aquest tema tractarem un problema diferent: trobarem els `optims de funcions escalar subjectes a un conjunt de restriccions (per exemple, la maximitzaci´o dels beneficis d’una empresa amb restriccions de pressupost).

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Plantejament del problema Donada una funci´o escalar f : A ⊂ Rn^ −→ R, el problema d’optimitzar f subjecta a una s`erie de restriccions d’igualtat s’expressa com:

Opt. f (~x) s.a. g 1 (~x) = b 1 .. . gm(~x) = bm

, on ~x ∈ A, bi ∈ R

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Observacions. Quan calculem l’optim d’una funci´o escalar restringida per equacions estem trobant en quin punt del conjunt factible la funci´o assoleix el seu valor maxim o m´ınim.

Un optim d’una funci´o escalar restringida per equacions no t´e per que ser `optim de la funci´o sense restringir.

Els optims que s’obtenen s´on “debils”, en el sentit que una petita variaci´o en les restriccions fara que deixin de seroptims. Per aquest motiu s’anomenen `optims condicionats o restringits.

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Exemple (resoluci´o gr`afica)

Exemple: Min. x^2 + y 2 s.a. x + y = 4

Observem que si es tract´es d’un problema sense restriccions, Min. x^2 + y 2 la soluci´o seria (x, y ) = (0, 0), que ´es un optim local i, pel teorema local-global, tamb´e ´es unoptim global.

Ara b´e, l’optim lliure (0, 0) no satisfa la restricci´o x + y = 4 (0 + 0 6 = 4!) ⇒ No ´es soluci´o del problema restringit.

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Per trobar el m´ınim gr`aficament cal dibuixar les corbes de nivell de la funci´o objectiu, identificar la corba de nivell m´es baix que talla la restricci´o i determinar les coordenades del punt on es tallen la corba de nivell i la restricci´o.

@ @ @ @ @ @

x + y = 4

6

c 0 qn

c 2



c 5

&%

'$c 8

La corba de nivell ´es baix que t´e algun punt en com´u amb la restricci´o x + y = 4 ´es la corba de nivell 8. ⇒ El valor m´ınim de x^2 + y 2 subjecte a x + y = 4 ´es 8.

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

@ @ @ @ @ @

x + y = 4

6

q

&%

'$c^8 (2, 2)

Les coordenades del punt on s’assoleix el m´ınim es troben observant el punt d’intersecci´o de la corba de nivell 8 i la restricci´o x + y = 4 ⇒ El m´ınim s’assoleix en (x, y ) = (2, 2).

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

La resoluci´o grafica d’un problema d’optimitzaci´o restringit ´es poc precisa i nom´es pot aplicar-se si la funci´o objectiu t´e 2 o 3 variables (si t´e m´es variables no en podrem fer la representaci´o grafica). Per aixo veurem dos metodes anal´ıtics per resoldre el problema d’optimitzaci´o: el metode directe i el metode de Lagrange.

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

´Index

1 Plantejament formal del problema

2 M`etode directe

3 M`etode dels multiplicadors de Lagrange

4 Interpretaci´o econ`omica dels multiplicadors

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Observaci´o. El m`etode directe de substituci´o t´e una gran limitaci´o: nom´es es pot aplicar quan es poden aillar algunes variables en funci´o de les altres.

Per exemple:

Opt. f (x, y , z) s.a. x^2 + y 2 + y · z^4 = 1

En aquesta restricci´o no es pot aillar cap variable ⇒ No es pot aplicar el m`etode directe.

A la secci´o seg¨uent veurem el m`etode de Lagrange, que permet resoldre qualsevol problema d’optimitzaci´o amb restriccions d’igualtat.

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

´Index

1 Plantejament formal del problema

2 M`etode directe

3 M`etode dels multiplicadors de Lagrange

4 Interpretaci´o econ`omica dels multiplicadors

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Observaci´o. Si ~x 0 satisf`a les restriccions del problema (´es a dir, si ~x 0 pertany al conjunt admissible/factible), aleshores es compleix L(~x 0 , ~λ) = f (~x 0 ).

Demostraci´o: Si ~x 0 satisf`a totes les restriccions, aleshores compleix: g 1 (~x 0 ) = b 1 .. . gm(~x 0 ) = bm

 



⇒

g 1 (~x 0 ) − b 1 = 0 .. . gm(~x 0 ) − bm = 0

 



Per tant,

L(~x 0 , ~λ) = f (~x 0 )−λ 1 ( ︸g 1 (~x (^0) ︷︷) − b 1 )︸ 0

− · · ·−λm ( ︸g m(~x (^0) ︷︷) − bm)︸ 0

= f (~x 0 ). (^) 

Com que f i la funci´o de Lagrange L coincideixen en tots els punts del conjunt admissible/factible, ´es equivalent optimitzar la funci´o de Lagrange del problema que optimitzar la funci´o f sota el conjunt de restriccions.

Matem`atica 2

Tema 1

Plantejament formal Metode directe Metode de Lagrange Interpretaci´multiplicadorso

Teorema - Condici´o necessaria d’existencia d’`optims condicionats Donat un problema d’optimitzaci´o amb restriccions d’igualtat:

Opt. f (~x) s.a. g 1 (~x) = b 1 .. . gm(~x) = bm

on f : A ⊂ Rn^ −→ R, gi : A ⊂ Rn^ −→ R, A ´es un conjunt obert d’Rn^ i on les funcions f i gi admeten derivades parcials cont´ınues en A, aleshores es compleix:

~x 0 ´es `optim condicionat ⇒ Existeix ~λ∗^ tal que ∇L(~x 0 , ~λ∗) = ~ 0.