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2º E.S.O. Cuaderno de apuntes y ejercicios
1ª EVALUACION
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
Enteros (Z) Naturales: (N) = {0, 1, 2, 3, ...} N Z-^ = {0} Negativos: (Z-) = {0, –1, –2, ...} Racionales : (Q) a/b Reales (R) Fraccionar ios Decimal exacto: 0.5 = 1/ Periódico puro: 2.33333333... = 7/ Periódico mixto: 2.34444444... = 211/ Irracionale s: (I) a/b Tiene infinitas cifras decimales NO periódicas Ejemplos: , e, , √ Imaginari os: (C)
BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LOS NÚMEROS
La noción de número es tan primitiva como el propio hombre. Los hombres primitivos utilizaban los dedos, muescas en huesos... para expresar cantidades: un mamut, una luna, un sol... empleando los NÚMEROS NATURALES. Los babilonios (2100 a. C.) poseían una organización administrativa contable muy compleja, lo que motivó un desarrollo importante en los sistemas numéricos. Tenían un sistema de numeración base 60 perfectamente maduro. En él destacaba el valor posicional de las cifras, como en la actualidad. No utilizaban el cero, sino que dejaban un espacio en blanco, lo que inducía en muchas ocasiones a error; más adelante ya introdujeron un nuevo símbolo, parecido a una trompeta, que sustituía al espacio vacío y que podríamos considerar como cero. A continuación, civilizaciones como la egipcia (2000 a. C.), empezaron a utilizar expresiones que representaban las fracciones, apareciendo así los NÚMEROS FRACCIONARIOS , eso sí, muy básicos y generalmente con el 1 como numerador.
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En el siglo V a. C. los griegos encontraron otro tipo de números que eran la solución de determinadas ecuaciones y que no tenían fin, eran algo se le escapaba al razonamiento humano, eran los NÚMEROS IRRACIONALES. Hubo que esperar al siglo XVII para empezar a considerar los NÚMEROS NEGATIVOS. El propio Descartes denominaba soluciones falsas a las raíces negativas de una ecuación, aunque es cierto que civilizaciones como la China parece que ya los conocían, colocando bolas rojas en los ábacos, simbolizando a los números negativos (de ahí que muchas veces oímos la expresión de números rojos). La aparición de soluciones como "raíz cuadrada de menos cuatro" no podían ser interpretadas de ninguna manera. Hubo que esperar al siglo XIX, cuando ya se le empezó a dar una fundamentación teórica y a representarlo gráficamente, momento en el que se comenzó a hablar de números imaginarios. UNIDAD 1. Los números enteros Conceptos Números enteros. Valor absoluto. Suma y resta de números enteros. Aplicaciones. Multiplicación y división exacta de números enteros. Aplicaciones. Operaciones combinadas con números enteros sin paréntesis y con paréntesis. Múltiplos de un número. Divisores de un número. Números primos y compuestos. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo. LOS NÚMEROS ENTEROS Un número entero está formado por un signo ( + o - ) que indica si es positivo o negativo, y un número que sigue al signo y que representa su valor absoluto. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO. Es valor de dicho número prescindiendo del signo. ENTEROS OPUESTOS. Dos números son enteros opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS. Para sumar dos números enteros del mismo signo , se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen los sumandos. 5 + 3 = 8 - 4 + ( - 3 ) = - 7 Para sumar dos números enteros de distinto signo , se restan sus valores absolutos (al mayor se le resta el menor), y se pone el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.
- 6 + 4 = - 2 Para sumar varios números enteros de distinto signo , se suman separadamente los enteros positivos y los negativos; después se suman el entero positivo y el negativo obtenidos. 5 + ( - 8 ) + ( - 3 ) + 4 = 9 + ( - 11 ) = - Para restar dos números enteros , se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. 8 – 3 = 8 + ( - 3 ) = 5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS. Para calcular el producto de dos números enteros : se calcula el producto de los valores absolutos de los factores, y al resultado obtenido se le pone el signo +
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6.- Calcula: 7.- Escribe tres fracciones equivalentes en cada caso: 8.- Simplifica: 9.- Reduce a común denominador y ordena: 10.- Calcula: 11.- Calcula y simplifica: 12.- En una clase de 20 alumnos y alumnas, 2/5 son chicos. ¿Cuántas son las chicas? 13.- En una población, el 20% de las personas está en el paro. ¿Qué fracción de la población no tiene trabajo?
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14.- Rafael tenía 50€ y se ha gastado 20€. ¿Qué fracción le queda de lo que tenía? Expresa las siguientes situaciones con números enteros: Una temperatura de 10º bajo cero Deber 450 € Estar a 2560 m de altitud Estar sumergido a 20 m. Representa en la recta numérica los números enteros desde -10 hasta +10.: Ordena de menor a mayor las siguientes series de números enteros: 4, -8, 0, -7, 1, 3, -1 -9, -16, 4, 25, -15, -2) Calcula los productos y cocientes: ( +24) : ( -4)= ( +9) · ( -3) = ( +9) : ( -3) = ( -10) · ( -5) = ( -10) : ( -5) =
La temperatura en la cima del Mulhacén a las 5 de la mañana era de -2ºC. Tras la salida del Sol experimentó una subida de 10ºC, pero un temporal repentino hizo que descendiera 14ºC. Cuando remitió la temperatura subió 9ºC. ¿ Cuál era la temperatura cuando amainó el temporal? Exprésalo mediante una única operación con sumas y restas MÚLTIPLOS Y DIVISORES – DIVISIBILIDAD – M.C.D. y M.C.M. Múltiplos de un número Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo, si multiplicamos 9x2 nos da 18. Decimos entonces que 18 es múltiplo de 9. Divisor de un número Un número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0. Por ejemplo, decimos que 5 es divisor de 10 porque al dividir 10 entre 5 la división es exacta; da 2 y queda de resto 0. Números primos y compuestos Un número es primo si tiene solamente dos divisores: él mismo y la unidad. Es decir, que sólo se puede dividir (dando una división exacta) por ese mismo número y por uno. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 cuando termian en 0 ó en 5. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.
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8- Calcula el M.C.D. y el M.C.M. de los siguientes números (por el algoritmo de Euclides 48 y 52 12 y 20 24 y 18 45 y 144 75 y 36 63 y 27 14 y 56 33 y 110 ¿CUÁNTO SABES? 1.- Calcula 4 múltiplos de cada uno de las siguientes cifras: 7 6 35 98 100 87 2.- Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes números: 88 600 96
3.- Define qué es un número primo. Escribe 5 números primos. 4.- Define qué es un número compuesto. Escribe 5 números compuestos. 5.- Los criterios de divisibilidad nos sirven para saber si un número se puede dividir por otro. Sabiendo esto, señala porqué números son divisibles las siguientes cantidades: 12: es divisible por 1, 12, 2, 3, 4 y 6. 6.- Descompón estos números en factores primos.
- 20
- 90
- 600
- 360
- 136
- 408
7.- Calcula el M.C.D. y el M.C.M. de los siguientes números(por el algoritmo de Euclides)
- 63 y 48
- 42 y 60
- 36 y 45
- 560 y 588.
- 46 y 98
- 105 y 135
- 270 y 234
- 315 y 420 PROBLEMAS DE MCM y MCD
- Un coche necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y las bujías cada 30.000 km. ¿ A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez?
- Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja.
- La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo?
- Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y
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cada 18 días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres aviones a la vez?
- Se desean acondicionar 1830 latas de aceite y 1170 latas de yerba en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las latas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que puedan ponerse en cada cajón?
- Un jardinero desea colocar 720 plantas de violetas, 240 de pensamientos, 360 de jacintos y 480 de claveles en el menor número posible de canteros que contengan el mismo número de plantas, sin mezclar las mismas. ¿Qué cantidad de plantas debe contener cada cantero y cuántos hay?
- Se tienen tres tubos de 84 , 270 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos?
- Se tienen 160 y 168 cl de extractos distintos. Se quieren envasar en el menor número posible de frascos iguales sin mezclar los extractos. ¿Cuál es el número de frascos de cada clase?
- Cuatro buques parten para el mismo destino: el primero, cada 10 días; el segundo, cada 8; el tercero,. Cada 9 y el cuarto cada 15.¿cuántos días transcurren entre dos salidas simultáneas consecutivas?(360)
- Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
- Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes.¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla?
- Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitasde 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B.
- María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola.
- ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?
- ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar UNIDAD 2. Potencias y raíces cuadradas de números enteros Conceptos Potencias de base entera y exponente natural. Producto de potencias de la misma base. Cociente de potencias de la misma base. Potencia de una potencia. Cuadrados perfectos. Raíz cuadrada entera. POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS ENTEROS Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.
- La base de la potencia es el factor que se repite.
- El exponente de la potencia es el número de veces que se repite. Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas. Las potencias de base negativa y exponente par son positivas. POTENCIAS. Producto de potencias de la misma base. Es una potencia con la misma base y con el exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Cociente de potencias de la misma base. Es una potencia que tiene la misma base y el exponente es igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.
3
4
^
4
3
3
^
4
4
5
2
3
3
3
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Expresa en forma de producto las siguientes potencias:
4
2
3
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Escribe en forma de potencia, si es posible, los productos siguientes:
4. 3 5 7 9 1010 10 1 ^0 ^
7. ( 5) ( 5)^ ^
Calcula:
Escribe las seis primeras potencias de 7, 10 y 12. Expresa en forma de potencia de base 10:
Expresa en forma de potencias de base 2:
a) 64 ^2
b) 16 ^2
c) 256 ^2
Expresa en forma de potencias de base 3:
a) 27 ^3
b) 729 ^3
c) 243 ^3
Expresa en forma de potencias de exponente 2:
UNIDAD 3. Fracciones. Operaciones con fracciones. Conceptos Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones. Suma y resta de fracciones. Multiplicación y división de fracciones. Potenciación y raíz cuadrada de fracciones. Fracciones positivas y negativas. Suma, resta, multiplicación, división y potencia de fracciones positivas y negativas. FRACCIONES. OPERACIONES CON FRACCIONES. FRACCIONES EQUIVALENTES. Para obtener fracciones equivalentes a una dada se multiplican o dividen sus términos por el mismo número. COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR. Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON EL MISMO NUMERADOR. Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. REDUCCIÓN DE VARIAS FRACCIONES A UN COMÚN DENOMINADOR. 1º Se halla el m.c.m. de los denominadores. 2º Se divide el m.c.m. entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente. COMPARACIÓN DE FRACCIONES CUALESQUIERA. Se reducen a un común denominador y será mayor la que tiene mayor numerador. También podemos comparar los cocientes que resultan al dividir en cada fracción el numerador entre el denominador. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR. La suma o diferencia de dos fracciones con el mismo denominador es una fracción que tiene el mismo denominador y el numerador igual a la suma o diferencia de los numeradores. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR. Se reducen a un común denominador y se suman o restan las fracciones obtenidas. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. El producto de dos fracciones es una fracción que tiene el numerador igual al producto de los numeradores y el denominador igual al producto de los denominadores. DIVISIÓN DE FRACCIONES. El cociente de dos fracciones es igual al producto del dividendo por la fracción inversa del divisor. POTENCIACIÓN DE FRACCIONES. Para elevar una potencia a otra potencia se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia. RAÍZ CUADRADA DE UNA FRACCIÓN. Es el número cuyo cuadrado es igual a la fracción. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA DE UNA FRACCIÓN CUYOS TÉRMINOS SON CUADADOS PERFECTOS. Es una fracción que tiene el numerador igual a la raíz cuadrada exacta del numerador y el denominador igual a la raíz cuadrada exacta del denominador. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA DE UNA FRACCIÓN CUYOS DOS TÉRMINOS NO SON CUADRADOS PERFECTOS. Se calcula el cociente de los términos y se halla la raíz cuadrada del cociente con la aproximación que se desee.
- Calcula:
- Escribe tres fracciones equivalentes en cada caso:
- Simplifica:
- Reduce a común denominador y ordena:
- Calcula:
- Calcula y simplifica:
- En una clase de 20 alumnos y alumnas, 2/5 son chicos. ¿Cuántas son las chicas?
- En una población, el 20% de las personas está en el paro. ¿Qué fracción de la población no tiene trabajo?
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES. Para sumar o restar números decimales:
- Se escriben uno debajo del otro, de manera que estén alineados las comas decimales y las unidades de los mismos órdenes.
- Se suman o restan como si fueran números naturales.
- Al resultado se le coloca la coma decimal alineada. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Para multiplicar dos números decimales:
- Se multiplican como si fueran naturales.
- El resultado tiene tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los factores. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Para dividir dos números decimales: *Se multiplican el dividendo y el divisor por 10, 100... hasta que el divisor sea un número natural.
- Se hace la división con los nuevos términos. POTENCIA DE UN NÚMERO DECIMAL. Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación cuyos factores son iguales.
- La base de la potencia es el factor que se repite.
- El exponente de la potencia es el número de veces que se repite. RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO DECIMAL. Es un número cuyo cuadrado es igual al número decimal. FRACCIONES CON EXPRESIÓN DECIMAL EXACTA son aquellas cuyo cociente es un número decimal exacto. FRACCIONES CON EXPRESIÓN DECIMAL NO EXACTA.
- Se llama periodo a las cifras que se repiten indefinidamente.
- Las fracciones no decimales se llaman fracciones periódicas. Una fracción se llama periódica pura si su expresión decimal está generada solamente por el periodo. Una fracción se dice periódica mixta si su parte decimal contiene una parte no periódica y otra periódica. .-Ordena los siguientes números decimales:
. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) 0,131313... b) 1,121121121... c) 0 ,^3663
d) 0 ,^45
e) –1,3434... f) 2 ,^326
g) 40,0404... h) 5,2333...
FINAL 1º Evaluacion y Principio de la 2ª Evaluacion UNIDAD 4. Expresiones algebraicas Conceptos Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas. Valor numérico. Monomios y polinomios enteros. Suma, resta, multiplicación y división de monomios. Suma y diferencia de polinomios. Producto de polinomios. Cociente de un polinomio por un monomio. Potencias de polinomios. Igualdades notables. El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones. Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.
Trabajar en ál gebra consiste en manejar rel aci ones numéri cas en
las que una o más cantidades son des conoci das. Estas cantidades se llaman
va ri a bl es , i ncógni tas o i ndetermi nadas y s e
repres entan por l etras.
Expresiones algebraicas comunes (las vas a utilizar mucho, sobre todo en problemas con ecuaciones de una sola incógnita)
Dos números cons ecuti vos : x y x + 1.
Dos números cons ecuti vos pares : 2 x y 2 x + 2.
Dos números cons ecuti vos i mpares : 2 x + 1 y 2 x + 3.
Des componer 24 en dos partes : x y 2 4 − x.
La s uma de dos números es 24: x y 2 4 − x.
El producto de dos números es 24: x y 2 4 / x.
L a di f erenci a d e d o s n ú m e r o s e s 2 4 : x y 2 4 + x.
E l coci ente d e d o s n ú m e r o s e s 2 4 ; x y 2 4 · x.
Monomio Definición de monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la
potencia de exponente natural.
2x^2 y^3 z Partes de un monomio
- Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las
variables. Parte literal
(axn)m^ = am^ · bxn · m
(2x^3 )^3 = 2^3 (x^3 )^3 = 8x^8 (-3x^2 )^3 = (-3)^3 (x^3 )^2 = −27x^6 Ejercicios resueltos de monomios
1.- Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso
afirmativo, indica su grado y coeficiente.
1.-3x^3
Grado del monomio : 3 , coefeciente : 3
2.-5x−
No es un monomio , porque el exponente no es un número natural.
3.-3x + 1
No es un monomio , porque hay una suma.
4.- Grado del monomio : 1 , coefeciente:
5.- Grado del monomio : 4 , coefeciente:
6.- No es un monomio , porque no tiene exponente natural.
7.- No es un monomio , porque la parte literal está dentro de una raíz.
2.- Realiza las sumas y restas de monomios****. 1.--2x^2 y^3 z + 3x^2 y^3 z = 5x^2 y^3 z 2.--2x^3 − 5x^3 = 3.--3x^4 − 2x^4 + 7x^4 = 4.--2 a^2 b c^3 − 5a^2 b c^3 + 3a^2 b c^3 − 2 a^2 b c^3 =
3.- Efectúa los productos de monomios.
1.--(2x^3 ) · (5x^3 ) = 2.--(12x^3 ) · (4x) = 3.--5 · (2x^2 y^3 z) = 4.--(5x^2 y^3 z) · (2 y^2 z^2 ) = 5.--.(18x^3 y^2 z^5 ) · (6x^3 y z^2 ) = 6.--(−2x^3 ) · (−5x ) · (−3x^2 ) =
4 Realiza las divisiones de monomios.
1.--(12x^3 ) : (4x) = 3x^2 2.--(18x^6 y^2 z^5 ) : (6x^3 y z^2 ) = 3.--(36 x^3 y^7 z4)^ : (12x^2 y^2 ) = 4.-- Polinomios Definición de polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn^ + an - 1 xn - 1^ + an - 2 xn - 2^ + ... + a 1 x^1 + a 0
Siendo an, an -1 ... a 1 , ao números, llamados coeficientes.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra
elevada la variable x.
Polinomio de grado cero P(x) = 2 Polinomio de primer grado P(x) = 3x + 2 Polinomio de segundo grado P(x) = 2x^2 + 3x + 2 Polinomio de tercer grado P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 2 Polinomio de cuarto grado P(x) = x^4 + x^3 - 2x^2 + 3x + 2 Tipos de polinomios Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el
mismo grado.
P(x) = 2x^2 + 3xy Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3 Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término
independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x^3 + 3x^2 + 5x - 3 Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están
escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x^3 + 5x - 3 Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican:
1.º.-Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2º.-Los coeficientes de los términos del mismo grado son i guales.
P(x) = 2x^3 + 5x - 3 Q(x) = 5x - 3 + 2x^3 Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte
literal.
P(x) = 2x^3 + 5x − 3 Q(x) = 5x^3 − 2x − 7 Tipos de polinomios según el número de términos Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x^2 Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x^2 + 3x Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x^2 + 3x + 5 Valor numérico de un polinomio
