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Universitat Politècnica de València
Departament de Matemàtica Aplicada
Unitat Docent de l’ETS d’Enginyeria Informàtica
Materiales docentes de Álgebra
Tema 1: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando operaciones elementales.
Matrices escalonadas
Última actualización: 26 de enero de 2012
Unidad temática 3: Resolución de sistemas
lineales. Algoritmo de Gauss-Jordan
Índice
1. Sesión teórica: Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan.
Ortogonalidad y sistemas homogéneos 2
1.1. El algoritmo de Gauss.................................. 2
1.1.1. El algoritmo de sustitución regressiva..................... 4
1.1.2. Pivotación parcial................................. 5
1.2. El algoritmo de Gauss-Jordan (versión eficiente)................... 6
1.3. Interpretación matricial de los algoritmos de escalonamiento............ 8
1.4. Ecuaciones matriciales. Resolución simultánea de sistemas............. 9
1.5. Ortogonalidad y sistemas lineales............................ 10
1.5.1. Sistemas homogéneos.............................. 12
2. Seminario 1: Resolución de sistemas 14
2.1. Los algoritmos de Gauss y de sustitución regressiva................. 14
2.2. El algoritmo de Gauss-Jordan.............................. 17
2.3. Ecuaciones matriciales.................................. 17
2.4. Ortogonalidad y sistemas lineales............................ 18
3. Seminario 2: Dependencia lineal 20
3.1. Conjunto de matrices linealmente dependientes................... 20
3.1.1. Relaciones de dependencia y combinaciones lineales............ 21
3.1.2. Dependéncia lineal entre las columnas de una matriz............ 22
3.1.3. Dependencia lineal entre las filas de una matriz............... 24
1. Sesión teórica: Algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan.
Ortogonalidad y sistemas homogéneos
Lee este documento antes de la sesión teórica correspondiente a la unidad
temática, asegurandote de que lo entiendes. Lo que haremos en esta unidad es
dar forma definitiva al algoritmo de Gauss-Jordan, estudiar también el algoritmo de
Gauss y estudiar los sistemas lineales desde el punto de vista matricial. Acabare-
mos estudiando los sistemas homogéneos, la relación que tienen con la ortogona-
lidad y con los sistemas que no son homogéneos.
1.1. El algoritmo de Gauss
En la unidad anterior hemos clasificado los sistemas de ecuaciones lineales y hemos en-
contrado un mecanismo perfecto para decidir si son compatibles y encontrar las soluciones.
Básicamente, todo se reduce a encontrar la forma escalonada reducida de la matriz ampliada
correspondiente.
Ahora bien, como el criterio básico de compatibilidad nos lo da el teorema de Rouché, en
realidad para decidir si un sistema lineal es o no compatible no es necesario que determinemos
la forma escalonada reducida de la matriz ampliada; será suficiente que encontremos una forma
escalonada, de manera que, por lo menos en los casos incompatibles, podemos ahorrar parte
del trabajo de cálculo.
El algoritmo de Gauss computa una forma escalonada de cualquier matriz. La idea básica es
la misma que hemos utilizado en la unidad anterior, pero en lugar de eliminar cada incógnita
de todas las ecuaciones excepto una, ahora solo la eliminaremos en las ecuaciones que se
encuentran por debajo del elemento principal. Por supuesto, no trabajaremos con ecuaciones
sino con matrices.
Si A 1
, A
2
,... , A
n
son las columnas de la matriz A (de manera que A =
[
A
1
A
2
... A
n
]
diremos que A es escalonada hasta la columna r si la submatriz
[
A
1
A 2... Ar
]
es escalonada.
También diremos que las filas de A que contienen los pivotes de esta submatriz escalonada están
pivotadas.
Por ejemplo, la matriz
es escalonada hasta la quinta columna y las dos primeras filas están pivotadas (porque contien-
den los pivotes 3 y 1).
La matriz ya está escalonada hasta la segunda columna. Ahora la fila pivote puede ser la
segunda, la tercera o la cuarta. Nos quedamos con la segunda y volvemos a hacer ceros por
debajo del pivote.
E 4 , 2 (5/2)E 3 , 2 (−1)
I, despues, intercambiamos las filas tercera y cuarta.
E 4 , 2 (5/2)E 3 , 2 (−1)
= S
Esta matriz S es una forma escalonada de la matriz A. Por otro lado, el sistema lineal es
incompatible, porque el rango de la matriz de coeficientes es
rang
= rang
mientras que el rango de la matriz ampliada es
rang
= rang
1.1.1. El algoritmo de sustitución regressiva
Cuando el sistema es compatible, para encontrar las soluciones tenemos dos alternativas:
- Continuar haciendo operaciones elementales hasta lograr la forma escalonada reducida
de la matriz.
- Utilizar el algoritmo de sustitución regresiva.
El algoritmo de sustitución regresiva resuelve un sistema lineal compatible cuando ya ha
sido reducido a una forma escalonada. Este algoritmo consiste en resolver el sistema de abajo
a arriba, despejando la incógnita principal en cada ecuación y sustituyendo cada ecuación en
todas las ecuaciones anteriores a ella.
Si la matriz de coeficientes de un sistema lineal es escalonada, también diremos que el
sistema de ecuaciones es escalonado, y llamaremos incógnitas principales a las que multiplican
un pivote en alguna de las filas de la matriz. Las otras incógnitas son libres.
Algoritmo de sustitución regresiva
Este algoritmo resuelve el sistema lineal (compatible) Sx =
b cuando S es una matriz
escalonada.
Paso 1: Despejar la incógnita principal en cada ecuación.
Paso 2: Sustituir cada ecuación en todas las anteriores.
Paso 3: Sustituir las incógnitas libres por parámetros.
Veamoslo con un ejemplo.
E jemplo 2
Resolución, utilizando el algoritmo de sustitución regresiva, del sistema lineal
2 x 1
− x 2
x 2 − 2 x 3 − x 4 = 8
x 4
Las incógnitas principales son x 1
, x 2
y x 4
Paso 1: Se despejan las incógnitas principales:
x 1
= (1/2)(1 + x 2
− x 3
− x 4
x 2 = 8 + 2 x 3 + x 4
x 4
Paso 2: Se sustituyen cada ecuación en todas las anteriores:
x 1
= (1/2)(1 + x 2
− x 3
− x 4
x 2 = 8 + 2 x 3 + x 4
x 4
x 4 = 2
x 1
= (1/2)(1 + x 2
− x 3
x 2 = 8 + 2 x 3 + 2
x 4
x 1
= (1/2)(− 1 + x 2
− x 3
x 2 = 10 + 2 x 3
x 4
x 2
= 10 + 2 x 3
−−−−−−−→
x 1 = (1/2)(− 1 + 10 + 2 x 3 − x 3 )
x 2
= 10 + 2 x 3
x 4 = 2
x 1 = (1/2)(9 + x 3 )
x 2
= 10 + 2 x 3
x 4 = 2
Paso 3: Se sustituye la incógnita libre por un parámetro:
x 1
= 9 / 2 + (9/2)λ
x 2
= 10 + 2 λ
x 3 = λ
x 4
1.1.2. Pivotación parcial
En teoría, la combinación del algoritmo de Gauss con la de sustitución regresiva nos propor-
ciona la solución exacta de cualquier sistema lineal. Sin embargo, cuando el sistema se resuelve
con la ayuda de un ordenador (que es la única manera razonable de resolverlo, si no es que
se trata de un sistema con mucho pocas ecuaciones e incógnitas) se pueden producir algunos
errores de redondeo en los cálculos o en el almacenamiento de las variables; estos errores se
transmiten a los cálculos posteriores y a veces un pequeño error en un cálculo intermedio puede
acabar produciendo un error inadmisible en el resultado final.
Por ejemplo, consideremos el sistema lineal
0 , 0001 x 1
x 1 + x 2 = 2
Eligiendo la primera fila como fila pivote y escalonando obtendremos el sistema equivalente
0 , 0001 x 1
−9 999x 2 = −9 998
Algoritmo de Gauss-Jordan
Este algoritmo calcula la forma escalonada reducida de la matriz A.
Partimos de la matriz R = A y la transformaremos hasta que sea escalonada reducida
Paso 1 (escalonamiento): Aplicar el algoritmo de Gauss para transformar R en
una matriz escalonada.
Paso 2 (reducción): Comenzando por el último pivote (el que se encuentra más
a la derecha), hacer ceros por encima de todos los pivotes (de derecha a
izquierda).
Paso 3: (normalización): Dividír cada fila no nula por su pivote (por hacer
unos los elementos principales).
Aplicado de esta manera, las operaciones que se necesitan para resolver un sistema lineal
mediante el algoritmo de Gauss-Jordan son exactamente las mismas que las que requiere el
uso combinado del algoritmo de Gauss y la de sustitución regresiva. Pero en el algoritmo de
Gauss-Jordan estas operaciones se hacen siempre a nivel matricial, mientras que la sustitución
regresiva funciona a nivel de las ecuaciones; en este sentido, el algoritmo de Gauss-Jordan es
preferible a la sustitución.
1
E jemplo 3
Aplica el algoritmo de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones
x 1
− x 3
x 1 − x 2 + x 3 = 1
2 x 1
3 x 2 − 2 x 3 = 1
Se debe encontrar la forma escalonada reducida de la matriz ampliada
Primer paso: algoritmo de Gauss
E 3 , 1
(−2)E 2 , 1
(−1)
E 3 , 2
(−1)E 4 , 2
(1)
Esta matriz es escalonada. En este momento ya podemos deducir que el sistema es com-
patible indeterminado, porque el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz
ampliada son iguales a dos. Hay dos incógnitas principales (x 1
y x 2
) y una libre (x 3
Segundo paso: reducción Solo hay dos pivotes. De hecho, lo único que debemos hacer en este
paso es anular un elemento de la matriz.
E 1 , 2 (2/3)
1 Además, en la práctica, cuando resolvemos un sistema lineal a mano es más probable que cometamos algún
error si utilizamos la estrategia de sustitución regresiva.
Tercer paso: normalización A continuación, debemos dividir la segunda fila por −3.
E 2 (− 1 /3)
Y la solución del sistema es
~x =
1.3. Interpretación matricial de los algoritmos de escalonamiento
Todos los algoritmos que consisten en la aplicación sucesiva de diversas operaciones ele-
mentales son equivalentes a la multiplicación de dos matrices: si la matriz B se obtiene a partir
de A premultiplicando las matrices elementales E 1
, E
2
,... , E
p
, es decir, si
E
1
E
2
... E
p
A = B
y llamamos T al producto E 1
E
2
... E
p
, es obvio que TA = B.
Por ejemplo, si calculamos la forma escalonada reducida de la matriz A =
[
]
A =
[
]
E 2 , 1
(−2)
[
]
E 1 , 2
(1/2)
[
]
E 2 (− 1 /4)
[
]
= R
entonces, si T = E 2
(− 1 /4)E
1 , 2
(1/2)E
2 , 1
(−2) tendremos TA = R.
Esta matriz T se puede calcular simultáneamente con B si se hace sobre la matriz identidad
las mismas operaciones que hemos hecho sobre A, así que si se construye la matriz ampliada
[
A I
]
y se aplica a esta matriz las operaciones elementales que transforman A en B se obtienen
B y T simultáneamente:
[
A I
]
E 1
E 2
E p
[
TA TI
]
[
B T
]
En nuestro ejemplo,
[
A I
]
[
]
E 2 , 1
(−2)
[
]
E 1 , 2 (1/2)
[
]
E 2 (− 1 /4)
[
]
[
R T
]
así que
[
]
T
[
]
A
[
]
R
Una consecuencia interesante del hecho de que la forma escalonada reducida R de la matriz
A es el producto de otra matriz T por A es ésta: las filas de R (o de cualquier otra matriz que se haya
obtenido de A haciendo operaciones elementales) son combinaciones lineales de las filas de A. Además,
las columnas de B son los coeficientes escalares de estas combinaciones lineales.
2
2 Recordemos que las filas de un producto de dos matrices son combinaciones lineales de las filas de la segunda
matriz.
donde B =
[
b 1
b 2
b r
]
, así que, la única cosa que se debe hacer es construir la matriz
(super)ampliada
[
A B
]
y aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a esta matriz.
E jemplo 5
Discusión y resolución simultánea de los sistemas lineales.
x 1
2 x 1
− x 3
−x 1
− 2 x 2
x 1
2 x 1
− x 3
−x 1
− 2 x 2
x 1
2 x 1
− x 3
−x 1
− 2 x 2
Construimos la matriz ampliada
[
A
b 1
b 2
b 3
]
Aplicando el algoritmo de Gauss-Jordan obtenemos la forma escalonada reducida
Las soluciones de los tres sistemas son
~x 1 =
~x 2 =
~x 3 =
Pero la aplicación más interesante de la resolución de una ecuación matricial es el cálculo
de la matriz inversa. De eso nos ocuparemos en el próximo tema.
1.5. Ortogonalidad y sistemas lineales
Diremos que dos conjuntos de vectores, A y B, de R
n son ortogonales si todos los vectores
de A son ortogonales a todos los de B, y llamaremos espacio ortogonal de A al conjunto de todos
los vectores que son ortogonales a A. El ortogonal de A se representa como A
⊥
. Si A es un
conjunto finito, digamos A = {~a 1
, ~a 2
,... , ~a m
}, construimos una matriz M A
poniendo los vectores
de A como filas. Entonces el conjunto A
⊥ es la solución general del sistema lineal
MA~x =
(porque las componentes del producto M A
~x son los productos escalares de los vectores de A
por el vector ~x).
E jemplo 6
Cálculo del espacio ortogonal del conjunto A = {(1, 2 , 3), (2, 1 , 0)}
Construimos la matriz M A
poniendo como filas los vectores del conjunto A: M A
[
]
y
resolvemos el sistema homogéneo M A
~x =
La forma escalonada reducida de la matriz
[
]
es
[
]
, así que
A
⊥
= {λ(1, − 2 , 1) : λ ∈ R}
1
2
3
2
1
0
1
− 2
1
A
⊥
El conjunto A
⊥ es la recta ortogonal al plano que determinan los dos vectores de A.
Este plano es la envoltura lineal de A.
obtenemos la forma escalonada reducida
[
]
así que las soluciones son, respectivamente,
~x =
~x =
~x = λ
y se ve claramente que la parte paramétrica de las tres soluciones es exactamente la misma, y
coincide con la solución del sistema homogéneo.
T eorema 2
Si el sistema lineal A~x =
b es compatible y x 0
es una solución particular de este sistema,
entonces la solución general de este sistema es la suma de x 0
y la solución general del
sistema homogéneo A~x =
0 , es decir,
~x = ~x 0
sol. particular
︸︷︷︸
sol. homogéneo
2. Seminario 1: Resolución de sistemas
Aquí repasamos la resolución de sistemas mediante el uso de los algoritmos de
Gauss y de Gauss-Jordan.
2.1. Los algoritmos de Gauss y de sustitución regressiva
E jercicio 2.1. Discute y resuelve por el método de Gauss y sustitución regresiva los sistemas
lineales
(a)
2 x 1
x 1
− x 2
3 x 1
− x 2
− x 3
6 x 1
− x 2
(b)
x 1
− x 2
− 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = 0
− 7 x 1
(c)
x 1
− x 2 + 2 x 3 − x 4
2 x 1
− 2 x 3
− 2 x 4
−x 1
− 4 x 3
3 x 1
− 3 x 4
(a) Escalonamos la matriz ampliada:
E 1 , 2
−−→
E 2 , 1
(−2)E 3 , 1
(−3)E 4 , 1
(−6)
E 4 , 2
−−→
E 2 (1/5)
E 3 , 2 (−2)E 4 , 2 (−3)
E 4 , 3 (−1)
El sistema es compatible determinado, y equivalente a
x 1
− x 2 + x 3 = 1
x 2
− x 3
2 x 3
Resolvemos este sistema por sustitución regresiva:
x 1
= 1 + x 2
− x 3
x 2 = x 3
x 3
x 1
= 1 + x 2
x 2 = 1
x 3
x 1
x 2 = 1
x 3
(b)
E 2 , 1
(2)E 3 , 1
(7)
El sistema es compatible determinado y la solución es (0, 0 , 0).
(c) Escalonando la matriz ampliada obtenemos el sistema equivalente
x 1
− x 2 + 2 x 3 − x 4
x 2
− 2 x 3
6 x 4
E jercicio 2.2. Discute según los valores de los parámetros (y resuelve, si es posible) los si-
guientes sistemas lineales:
(a)
2 x 1
= a
6 x 1 + 3 x 2 = b
(b)
x 1 + x 2 + x 3 = a
2 x 1
= b
3 x 2 + x 3 = c
(c)
mx 1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 = m
2 mx 1
− x 3
− x 4
3 mx 1
(a) Escalonando la matriz ampliada encontramos
[
2 1 a
6 3 b
]
E 2 , 1 (3)
[
2 1 a
0 0 − 3 a + b
]
así que el sistema es
(a1) Incompatible si b , 3 a
(a2) Compatible indeterminado si b = 3 a. En este caso, la solución general es
(x 1
, x 2 ) = (a/ 2 , 0) + λ(− 1 / 2 , 1)
(b)
1 1 1 a
2 1 2 b
0 3 1 c
E 2 , 1
(−2)
1 1 1 a
0 − 1 0 − 2 a + b
0 3 1 c
E 3 , 1
(3)
1 1 1 a
0 − 1 0 − 2 a + b
0 0 1 − 6 a + 3 b + c
El sistema es compatible determinado. La solución se calcula por el método de sustitución
regresiva:
x 1
= a
−x 2
= − 2 a + b
x 3 = − 6 a + 3 b + c
x 1
= a − x 2
− x 3
x 2
= 2 a − b
x 3 = − 6 a + 3 b + c
x 1
= a − 2 a + b + 6 a − 3 b − c = 5 a − 2 b − c
x 2
= 2 a − b
x 3 = − 6 a + 3 b + c
(c) Este problema se simplifica notablemente si lo escribimos así:
x 4
= m
−x 4
− x 3
x 3
= m + 1
(porque de esta manera no molestan los parámetros). Ahora escalonamos,
x 4
= m
−x 4
− x 3 + 3 x 2 + 2 mx 1
x 3
= m + 1
x 4
= m
x 3 + 4 x 2 + 3 mx 1
= m + 1
x 3
= m + 1
x 4
= m
x 3 + 4 x 2 + 3 mx 1
= m + 1
El sistema es compatible indeterminado, con independencia de los valores del parámetro
m; las incógnitas libres son x 1
y x 2
y obtenemos las soluciones por sustitución regresiva:
x 4 = m − 2 x 3 − x 2 − mx 1
x 3
= m + 1 + 4 x 2
x 4 = −m + 1 − 7 mx 1 − 9 x 2
x 3
= m + 1 + 3 mx 1
Y la solución general es
~x =
m + 1
−m + 1
3 m
− 7 m
E jercicio 2.3. Encuentra una forma escalonada de la matriz
Aplica el algoritmo de Gauss con pivotación parcial.
E 1 , 2
E 2 , 1 (1/4)
E 2 , 3
E 3 , 2 (− 2 /3)
2.2. El algoritmo de Gauss-Jordan
E jercicio 2.4. Resuelve por el método de Gauss-Jordan el sistema lineal del apartado (a) del
ejercicio 2.1.
Ya hemos encontrado la forma escalonada
así que continuamos con el algoritmo de Gauss-Jordan:
E 2 , 3 (− 1 /2)E 1 , 3 (1/2)
E 1 , 2 (1)
E 3 (− 1 /2)
La solución es x 1
= x 2
= x 3
E jercicio 2.5. Dada la matriz A =
[
]
, si R es la forma escalonada reducida de A
calcula una matriz T de manera que TA = R.
En primer lugar, calculamos la forma escalonada reducida de la matriz A:
[
]
E 2 , 1 (−2)
[
]
E 2
(− 1 /2)
[
]
E 1 , 2 (−1)
[
]
= R
Entonces, R = E 1 , 2
(−1)E
2
(− 1 /2)E
2 , 1
(−2)A así que
T = E
1 , 2
(−1)E
2
(− 1 /2)E
2 , 1
[
]
2.3. Ecuaciones matriciales
E jercicio 2.6. (Una matriz inversa)
- Resuelve la ecuación [
]
X =
[
]
y la forma escalonada reducida de esta matriz,
[
]
así que el espacio nulo de A es el conjunto
λ 1
: λ 1 , λ 2 ∈ R
(b) Comprobamos que A~xp =
b:
A~xp =
[
]
[
]
b
(c) La solución general del sistema es la suma de una solución particular cualquiera más el
espacio nulo de la matriz A:
~x = ~x 0 +^ Nul^ A^ =
E jercicio 2.9. ¿Es cierto que A
⊥⊥ = A? En caso negativo, ¿cuál es la relación hay entre estos
dos conjuntos?
En general, no. Lo que podemos afirmar es que A ⊂ A
⊥⊥ , porque todos los vectores de A
son ortogonales a todos los de A
⊥ .
Se puede probar que A
⊥⊥ = 〈A〉.
3. Seminario 2: Dependencia lineal
Los conceptos de dependencia e independencia lineales son otro punto básico
del álgebra lineal. Aquí los estudiaremos centrandonos en su relación con el rango
de las matrices, la resolución de sistemas lineales y las operaciones elementales.
En particular recuperaremos la definición clásica del rango de una matriz como
el número de columnas (o filas) linealmente independientes que contiene.
3.1. Conjunto de matrices linealmente dependientes
La idea de dependencia o independencia lineal (de un conjunto de matrices {A 1 , A 2 ,... , Ap})
está relacionada con la ecuación
x 1
A
1
A
2
A
p
= O
Esta ecuación tiene una solución evidente: x 1
= 0 , x 2
= 0 ,... , x p
= 0, porque
0 A
1
+ 0 A
2
+ · · · + 0 A
p
= O
Ahora bien, en algunos casos, ésta es la única solución y, en otros casos, hay otras soluciones.
En el primer caso diremos que las matrices A 1
, A 2 ,... , Ap son linealmente independientes.
D efinici on ´ 1
El conjunto de matrices {A 1
, A 2 ,... , Ap} es linealmente independente (o libre) si la única
solución de la ecuación
x 1
A
1
A
2
A
p
= O (2)
es x 1
= x 2
= · · · = x p
= 0. En caso contrario, el conjunto es linealmente dependiente (o
ligado).
Veamos algunos ejemplos.
E jercicio 3.1. Estudia si el conjunto
S =
{[
]
[
]
[
]}
es libre o ligado.
Planteamos la ecuación
x 1
[
]
[
]
[
]
[
]
Haciendo las operaciones indicadas obtenemos
[
x 1
− x 3
2 x 1
x 3 x 1
]
[
]
Así que la ecuación inicial es equivalente al sistema lineal
x 1
x 2
x 3
Y, como el rango de la matriz
[
1 0 − 1
2 1 0
0 0 1
1 0 2
]
es 3, este sistema es compatible determinado y tiene sólo
la solución nula. En consecuencia, el conjunto S es libre.
