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Álgebra A (Ingeniería)
Apunte de Cátedra
Números Complejos
Los números complejos forman un conjunto numérico más grande que los números reales, que surgen ante la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones cuadráticas con coeficientes en R. En este sentido, son la “extensión” necesaria (más pequeña) que garantiza que todas estas ecuaciones tienen solución. Si bien los números complejos, como objeto matemático, son una abstracción, surgieron bastante naturalmente en el estudio de ciertos problemas geométricos y en la resolución de ecuaciones polinomiales.
Los contenidos que se trabajarán son:
- El plano complejo
- Resolución de ecuaciones cuadráticas
- Forma polar y exponencial
- Raíces n-ésimas y solución de ecuaciones generales
1 ¿Qué son los números complejos?
Probablemente hayan tenido contacto con números complejos durante su formación y aso- cien a ellos la palabra “imaginario” y la famosa letra i. Lo cierto es que las presentaciones de los números complejos que se hacen, en general, oscurecen su motivación esencial y el fuerte sentido geométrico que conllevan. En esta sección estudiaremos:
- La motivación de los números complejos.
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- La definición de número complejo y las operaciones básicas entre ellos.
1.1 ¿Cómo surgen los números complejos? Los números naturales son los números que utilizamos para contar, de allí su nombre. Supongamos que queremos resolver ecuaciones con estos números. Por ejemplo, x+ 3 = 5 puede ser resuelta sin problema: la solución es x = 2. Pero ¿qué sucede si queremos resolver x + 3 = 1? Esta ecuación no tiene solución en números naturales (no hay ningún número natural tal que, al sumarle 3 , nos dé como resultado 1 ). ¿Qué podemos hacer? Pues podemos introducir los números naturales negativos para resolver este tipo de ecuaciones. Creamos, entonces, los números enteros, que constan de los números naturales y sus inversos aditivos (y del 0 , ya que vamos a tener que poder representar 1 − 1 , por ejemplo). De esta manera, ya podemos resolver x + 3 = 1 ; la solución es el número entero − 2. ¿Y si quisiéramos ahora resolver 2 x + 3 = 4? ¿Podemos? ¡No! Esta ecuación no tiene solución con los números enteros. Necesitamos nuevamente ampliar el conjunto de números con el que trabajamos. Entonces, construimos los cocientes entre números enteros: los números racionales. Con estos últimos, es posible resolver este tipo de ecuaciones. En este caso, la solución de la ecuación es el número racional 12. ¿Qué sucede ahora si queremos resolver la ecuación cuadrática x^2 = 2? Pues sucede que esta ecuación no tiene solución con los números racionales. Como bien sabemos ahora, las posibles soluciones a dicha ecuación son
2 y −
2 , y estos números no se pueden escribir como cociente de números enteros (la demostración de este hecho se puede ver como información complementaria sobre el Teorema de Gauss de la próxima unidad). Llegamos entonces a definir los números reales, que son los números que conocemos y utilizamos todo el tiempo. Lamentablemente, especificar cuales son los números reales no es tan sencillo como es especificar los números enteros (a partir de los naturales) o los números racionales (a partir de los enteros). Podemos decir, informalmente, que los números reales constan de los números racionales más los números que se encuentran entre los racionales en la recta real (o sea, los números necesarios para llenar la recta y que no queden huecos). ¿Llegamos finalmente al final del camino? ¿Son estos los últimos números que vamos a necesitar? Miremos la ecuación x^2 + 1 = 0. ¿Existe algún número real que, elevado al cuadrado y sumado con 1 , nos de 0? ¡No! Sabemos que el cuadrado de cualquier número real es un número positivo, por lo que no es posible que, al sumarle 1 a un número positivo, obtengamos algo más pequeño que 1 (mucho menos, el 0 ). Es, en este contexto, que necesitamos agrandar aún más el conjunto de números con el que trabajamos. Y aquí es donde aparecen los números complejos: nos van a permitir,
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- 5 = ( 15 − 0. 0 ) + ( 0. 5 + 3. 0 )i = 15.
Experimento 1. Verifiquen que, si vemos a R como el subconjunto {z = a + bi ∈ C : b = 0 }, las operaciones de suma y producto definidas en C coinciden con las que teníamos en los reales. Nos preguntamos ahora, ¿cuáles son los números complejos inversibles? Sabemos que todo número real λ distinto de 0 tiene inverso: el números (^) λ^1. ¿Qué sucede con un número complejo a + bi distinto de 0? Podríamos proponer como inverso de este número a (^) a+^1 bi ; pero, ¿es esto un número complejo? En realidad, sí lo es, solo que no está escrito de una forma que lo reconozcamos como tal. ¿Cómo podemos hacer para reescribir (^) a+^1 bi de la manera como definimos a los números complejos? Pues multiplicamos esta expresión por aa−−bibi , ¡que es simplemente 1! (por lo que no la estamos cambiando). ¿Cuál es el resultado de esta cuenta?: 1 a + bi.
a − bi a − bi =^
a − bi (a + bi)(a − bi) =^
a − bi a^2 + b^2 =^
a a^2 + b^2 +^
−b a^2 + b^2 i. Esta última expresión está escrita en la forma en la que definimos a los números complejos (un números real (^) a (^2) +ab 2 sumado a un número real − (^) a (^2) +bb 2 multiplicado por i). Verifiquemos que, efectivamente, este número es el inverso de a + bi:
(a + bi)
( (^) a a^2 + b^2 +^
−b a^2 + b^2 i
a (^) a (^2) +a b 2 − b (^) a 2 − (^) +b b 2
a (^) a 2 − (^) +b b 2 + b (^) a (^2) +a b 2
i
= a
(^2) + b 2 a^2 + b^2 +^
−ab + ab a^2 + b^2
= 1 + 0 i
= 1 De esta manera podemos concluir que todos los números complejos no nulos son in- versibles. ¿Qué hicimos en la Sección 1?
- Mostramos la motivación para definir y trabajar con números complejos (nos dan solu- ciones a ecuaciones que no tienen soluciones reales).
- Definimos el conjunto de números complejos junto con su suma y multiplicación, estudi- amos sus propiedades y vimos que eran coherentes con las operaciones de los números
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- Vimos que todos los números complejos no nulos son inversibles y estudiamos una manera de calcular dicho inverso.
2 El plano complejo
El hecho que un número complejo a + bi esté definido a partir de los números reales a y b, no hace pensar si existe alguna relación entre estos y los puntos del plano R^2. Este relación, de hecho, existe y, en muchas ocasiones, será conveniente pensar un número complejo z = a + bi como el vector (a, b) ∈ R^2. Este proceso nos permite obtener una representación gráfica de los números complejos e interpretar geométricamente las operaciones de suma y producto. En esta sección estudiaremos:
- La representación en el plano de los números complejos.
- La forma binómica de un número complejo (partes real e imaginaria) y el conjugado de un número complejo.
- El módulo de un número complejo y la distancia entre números complejos.
2.1 Representación en el plano y forma binómica
Podemos, entonces, identificar un número complejo a + bi con el vector (a, b) ∈ R^2. Es decir, la primera coordenada del vector asociado corresponde a la componente real que no multiplica al número i, y la segunda coordenada, a la componente real que multiplica i. Esta identificación es biyectiva: a cada número complejo le corresponde un único vector de R^2 y, a cada vector de R^2 , le corresponde un único número complejo. Cuando pensemos a R^2 representando a los número complejos, lo llamaremos el plano complejo.
Observación. Notemos que, el vector de R^2 que le corresponde a la suma z + w de los números complejos z, w ∈ C, es el vector que se obtiene al sumar los vectores asociados a z y w. Es decir, si (a, b) es el vector asociado a z y (c, d) el vector asociado a w , entonces el vector asociado a z + w es (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Por otro lado, el vector asociado al producto zw es (ac − bd, ad + bc).
Las componentes, o coordenadas, que constituyen un número complejo tienen un nombre:
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Ejemplo 3.
- Supongamos que queremos averiguar cuáles son los números complejos z que satis- facen ( 3 + i)z = 4 − 2 i. Llamemos z = a + bi, con a, b ∈ R, y operemos:
( 3 + i)z = ( 3 + i)(a + bi) = ( 3 a − b) + (a + 3 b)i
Por lo tanto, tenemos que ( 3 + i)z = 4 + 2 i si, y solo si, 3 a − b = 4 y a + 3 b = − 2. ¡Este es un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales! Es fácil calcular que las soluciones son a = 1 y b = −1.
- Busquemos ahora los números complejos z tales que Re(z( 1 − 2 i)) + 4 i = zIm(z). Escribimos z = a + bi, con a, b ∈ R, y reemplazamos en la ecuación original. El lado izquierdo de la igualdad queda: Re(z( 1 − 2 i))+ 4 i = Re((a+bi)( 1 − 2 i))+ 4 i = Re(a+ 2 b+(− 2 a+b)i)+ 4 i = a+ 2 b+ 4 i.
Eel lado derecho: zIm(z) = (a + bi)b = ab + ib^2 Si ahora igualamos las partes real e imaginaria de cada lado, obtenemos: a + 2 b = ab y b^2 = 4.
De aquí, vemos que b = 2 o b = − 2. En el primer caso, a = 4 y, en el segundo caso, a = 43. Concluimos, entonces, que hay dos soluciones a la ecuación original: z 1 = 4 + 2 i y z 2 = 43 − 2 i.
Teniendo presente la representación de los números complejos como vectores de R^2 ¿Qué les dice el hecho que dos números complejos sean iguales, si y solo si, tanto sus partes reales como imaginarias coinciden?
Norma de un número complejo
Una propiedad importante que conocíamos de los vectores en R^2 es su longitud, que llamamos en general norma. En el caso de un número complejo z = a + bi, llamaremos módulo a la norma del vector de R^2 asociado.
Definición. Dado un número complejo z = a + bi en forma binómica, su módulo es el número real |z| =
a^2 + b^2. Gráficamente, este número representa la longitud del vector de R^2 asociado al número complejo z.
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Ejemplo 4.
- El módulo del número complejo z = 2 i es |z| = √ 02 + 22 = 2. Esto es claro si pensamos que el vector asociado a z es ( 0 , 2 ).
- ¿Cuál es el módulo de zw, donde z = 3 + 2 i y w = − 1 + 5 i? Hallemos la forma binómica de zw:
zw = ( 3 + 2 i)(− 1 + 5 i) = (− 3 − 10 ) + (− 2 + 15 )i = − 13 + 13 i. Aplicamos ahora la fórmula del módulo para obtener:
|zw| =
√ 132 + 132 = 13
√
Como el módulo de un número complejo se define a partir de su representación en el plano, entonces sus propiedades en relación a la suma y a la multiplicación por escalar real son las mismas que para la de la norma de vectores en R^2. Sin embargo, los números complejos pueden multiplicarse entre sí (operación que no está definida para vectores). Nos preguntamos, ¿existe alguna propiedad que verifique el módulo respecto del producto de números complejos? La respuesta es sí, y se las dejamos para descubrir en el siguiente experimento.
Experimento 3. Sean z = a + bi y w = c + di. Muestren que |zw| = |z||w| (o sea, el módulo del producto de dos números complejos es el producto de los módulos de dichos números). Concluyan que |zn| = |z|n; es decir, que el módulo de una potencia n de un número complejo la potencia n del módulo de dicho número. Comentamos en el parágrafo anterior que, para un número complejo a + bi, el número a − bi es de mucha importancia. Entre otras cosas, este número está relacionado sutilmente con el módulo. Lo definimos a continuación: Definición. Dado un número complejo z = a + bi, escrito en forma binómica, definimos el conjugado de z, que notaremos por z, como el número complejo z = a − bi.
Notemos que, si (a, b) es el vector asociado a z, entonces (a, −b) es el vector asociado a z. Gráficamente, z es el simétrico de (a, b) respecto del eje x. Ejemplo 5.
- El conjugado de 3 + i es, obviamente 3 − i.
- El conjugado de 2 es él mismo pues 2 escrito en forma binómica es 2 + 0 i, por lo
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- La distancia entre z = − 1 + 4 i y w = − 5 − 2 i es: |z − w| = |(− 1 + 4 i) − ( 4 − 2 i)| = | 4 + 6 i| =
√ 42 + 62 =
√ 52
- ¿Cuál es el conjunto C = {z ∈ C : |z − ( 3 + i)| = 2 }.? Pues son los números que distan en 2 unidades del número 3 + i. Gráficamente, en el plano complejo, C es la circunferencia de radio 2 y centro ( 3 , 1 ).
- Consideremos ahora el conjunto L = {z ∈ C : |z − 1 | = |z − i|}. ¿Qué significa la condición que define al conjunto? Los elementos de L son los números complejos que distan de 1 lo mismo que de i. Gráficamente, en el plano complejo, son los puntos que distan de ( 1 , 0 ) en lo mismo que de ( 0 , 1 ). Si lo pensamos un rato, podemos convencernos de que este conjunto es ser una recta (que pasa por 0 ). Hagamos el cálculo formal para confirmarlo. Tomemos z ∈ L y escribamos z = a + bi. Si reemplazamos en la ecuación que define a L, tenemos:
|a + bi − 1 | = |a + bi − i|. Por la definición de módulo, podemos escribir: √ (a − 1 )^2 + b^2 =
√ a^2 + (b − 1 )^2.
Si elevamos ambos lados de la igualdad al cuadrado, obtenemos: (a − 1 )^2 + b^2 = a^2 + (b − 1 )^2.
Si expandimos los cuadrados y operamos, descubrimos que la igualdad de arriba equivale a a = b. Concluimos que un número complejo z = a + bi pertenece a L si, y solo si, a = b, es decir, es de la forma a + ai. Podemos entonces escribir:
L = {a + ai : a ∈ R} = {a( 1 + i) : a ∈ R}
. Esto nos dice que L consiste en todos los números complejos múltiplos de 1 + i. Gráficamente, el vector asociado a 1 + i es el ( 1 , 1 ), por lo que, visto en el plano complejo, el conjunto L es el conjunto
L = {a( 1 , 1 ) : a ∈ R}. Concluimos que L se trata de la recta con ecuación vectorial t( 1 , 1 ).
Dado que a los números complejos lo puedo ver como un vectores de R^2 (y tienen las mismas propiedades que estos), ¿cuál es la diferencia entre C y R^2 en realidad? ¿Se dan cuenta?
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2.2 Transformaciones en el plano complejo
Dado que hay una identificación natural entre los vectores de R^2 y los números complejos, ¿cómo se traducen las transformaciones geométricas que vimos en la unidad anterior en el lenguaje de números complejos? En este apartado las estudiaremos. Traslaciones Una de las transformaciones más simples en R^2 consiste en “trasladar” un vector ~v por medio de otro vector ~w = (a, b). Por ejemplo, si a y b son números positivos, esto consiste en desplazar al vector~v en a unidades a la derecha y en b unidades hacia arriba. La fórmula de la traslación T~w : R^2 → R^2 por el vector ~w está dada por: T~w(x, y) = (x + a, y + b) = (x, y) + (a, b) Si pensamos en la misma transformación en el plano complejo, esta consiste en sumar, a un número complejo dado, el número w = a + bi. Es decir, la traslación Tw : C → C por un número complejo w = a + bi está dada por: Tw(z) = z + w = z + (a + bi).
Las traslaciones T~v : R^2 → R^2 no son transformaciones lineales. ¿Pueden responder por qué?
Homotecias Como vimos en la unidad anterior, una homotecia consiste en cambiar la longitud de cada vector multiplicándolo por un número r > 0 fijo, llamado la razón de la homotecia. Si r < 1 , la homotecia de razón r “acorta” vectores y, si es r > 1 , los “alarga”. Una homotecia Hr : R^2 → R^2 de razón r en R^2 tiene fórmula: Hr(x, y) = r(x, y) = (rx, ry) Una homotecia en el plano complejo se traduce, entonces, a multiplicar por el número complejo r + 0 i. Es decir, es la función Hr : C → C dada por Hr(z) = Hr(x + iy) = r(x + iy) = rx + iry. Rotaciones Las rotaciones en R^2 consisten en girar a cada vector un ángulo fijo en determinado sentido. Vimos, en la unidad anterior, que la rotación Rθ : R^2 → R^2 de ángulo θ > 0 , en sentido contrario a las agujas del reloj, está dada por la fórmula: Rθ (x, y) = (x cos(θ ) − y sin(θ ), x sin(θ ) + y cos(θ )).
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complejo z es rotarlo un ángulo de π 4 en sentido antihorario; luego, “agranda” el resultado por medio de una homotecia de razón √ 2. Finalmente, traslada lo obtenido tres unidades a la izquierda.
- ¿Cuál es la fórmula de la simetría S respecto del número w = 3 + 2 i? Veremos que podemos reducir el cálculo de S(z), para z ∈ C, al caso conocido de la simetría respecto de 0. Notemos que, si realizamos una translación por el número −w, entonces dos números simétricos respecto de w van a parar, necesariamente, a dos números simétricos respecto de 0 (pues esta traslación manda w a 0 ). Como z y S(z) son simétricos respecto de w, esto dice que: Tw(z) = z − w = −(Tw(S(z))) = −(S(z) − w) = −S(z) + w.
De aquí, concluimos que S(z) = −z + 2 w.
- Si bien no estudiaremos simetría respecto de rectas, miremos la siguiente propiedad de la simetría S respecto del eje y en el plano complejo. Es fácil ver que, si z = a + bi, entonces S(z) = S(a + bi) = −a + bi. Notemos que −a + bi = −(a − bi) = −z, por lo que S(z) = −z. Interpretada de esta manera, vemos que la simetría respecto del eje y consiste en la simetría respecto del eje x (que manda z a z), seguida de la simetría respecto del 0 (que manda z a −z).
¿Qué hicimos en la Sección 2?
- Interpretamos a los números complejos como vectores en R^2.
- Definimos la forma binómica de un número complejo y sus partes real e imaginaria (que siempre son números reales). Vimos que dos números complejos son iguales si, y solo si, sus partes reales y sus partes imaginarias coinciden.
- Definimos el módulo de un número complejo como la norma del vector de R^2 asociado a dicho número y observamos que tiene la propiedad que el módulo de un producto es el producto de los módulos. También definimos distancia entre números complejos.
- Definimos el conjugado de un número complejo a + bi como a − bi, que geométricamente es el punto simétrico a (a, b) respecto del eje de las x, y estudiamos sus propiedades y relación con el cálculo de la inversa del número.
- Estudiamos las posibles transformaciones que se pueden hacer geométricamente con los números complejos (interpretándolos como vectores del plano): traslaciones, homotecias, rotaciones y simetrías.
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3 Ecuaciones cuadráticas
Seguramente saben calcular las raíces (reales) de una ecuación cuadrática con coeficientes reales. La fórmula resolvente dice que todas las soluciones reales de la ecuación
ax^2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R, a 6 = 0 ,
son de la forma −b ±
b^2 − 4 ac 2 a. El principal aprendizaje de esta sección es que la misma fórmula vale para ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos. En esta sección estudiaremos:
- Cómo resolver ecuaciones cuadráticas en los números complejos.
3.1 Raíces cuadradas complejas
¿Qué es la raíz cuadrada de un número real x > 0? Muchas veces se dice que es “otro número y tal que y^2 = x.” Pero esta definición no es correcta. Lo que entendemos por “raíz cuadrada de un número rea x > 0 ” es el único número positivo y tal que y^2 = x. Por ejemplo, si bien tanto 2 como − 2 verifican que, al elevarlos al cuadrado, dan como resultado 4 , la raíz cuadrada de 4 es 2. Esta unicidad de la raíz cuadrada y de x es lo que nos permite escribirla como y = √x: si no convenimos que siempre es positiva, no sabríamos si
4 representa al 2 o al −2. ¿Cómo se traslada la definición de raíz cadrada a números complejos? Los números complejos no tienen noción de orden, por lo que, en particular, no se pueden diferenciar entre positivos (mayores a 0 ) o negativos (menores a 0 ). Por este motivo, en los números complejos, no existe esta unicidad de la raíz cuadrada. Definición. Una raíz cuadrada de z ∈ C es un número complejo w tal que w^2 = z. A diferencia de los reales, donde los números negativos no poseen raíz cuadrada, cualquier número complejo siempre tiene raíces cuadradas (aunque sea un real negativo). Veremos, de hecho, que siempre tiene exáctamente dos. Veamos cómo calcularlas “a mano” por medio de algunos ejemplos. Ejemplos 9.
- ¿Cuáles son las raíces cuadradas de − 4? Para que un número complejo w sea una raíz cuadrada de − 4 debe suceder que w^2 = − 4. Si escribimos w = a + bi, esto se
Álgebra A (Ingeniería) UBA XXI Por otro lado, notemos que w 2 = −w 1 , por lo que w^22 = (−w 1 )^2 = w^21 = 4 + 3 i.
Observación. Como muestran los ejemplos anteriores, si z es un número complejo distinto de 0 , entonces z tiene exactamente dos raíces cuadradas y, además, una es la inversa aditiva de la otra.
3.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas
Ahora, vamos a estudiar cómo resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes en C. Definición. Una ecuación cuadrática con coeficientes complejos es una ecuación de la forma: az^2 + bz + c = 0 , donde a, b, c son números complejos y a 6 = 0. Como dijimos al comienzo de la sección, la misma fórmula resolvente −b±
√b (^2) − 4 ac 2 a es válida para este tipo de ecuaciones complejas. Notemos que esta fórmula puede reescribirse como −b + w 2 a , donde w es una raíz cuadrada (compleja) de b^2 − 4 ac. El término b^2 − 4 ac se llama discriminante y se lo nota ∆ = b^2 − 4 ac. Notemos que, en esta fórmula, no tenemos la necesidad de utilizar el símbolo ±, ya que sabemos que, si w es raíz cuadrada de b^2 − 4 ac, también lo es −w. Ejemplos 10.
- Hallemos los números complejos z que satisfacen z^2 + 2 iz − 3 = 0. Para esto, busque- mos las raíces cuadradas de √ ∆ = ( 2 i)^2 − 4 (− 3 ) = − 4 + 12 = 8. Se trata entonces de 8 y −√8. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son − 2 i +
√ 8 2 y^
− 2 i −
√ 8
Simplificando estas fracciones:
√ 2 − i y −
√ 2 − i.
- Encontremos las soluciones de z^2 + ( 3 + i)z + ( 1 + 34 i) = 0. Debemos encontrar las raíces cuadradas de ∆ = ( 3 + i)^2 − 4
( 1 + 34 i
) = 9 − 1 + 6 i − 4 − 3 i = 4 + 3 i.
Documento de Cátedra: Números Complejos UBA XXI Las raíces cuadradas de 4 + 31 las habíamos calculado en el Ejemplo 9: w 1 = √^32 + √^12 i y w 2 = − √^32 − √^12 i.
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son −( 3 + i) + w 1 2 y^
−( 3 + i) + w 2
¿Qué hicimos en la Sección 3?
- Estudiamos el concepto de “raiz cuadrada” de un número complejo. Vimos que todo número compleo tiene dos tales raíces (siendo una la inversa aditiva de la otra) y mostramos cómo hallarlas.
- Aprendimos a resolver ecuaciones cuadráticas en los números complejos (utilizando al fórmula resolvente conocida).
4 Formas polar y exponencial
Existen otras maneras de representar a los números complejos que resultarán muy conve- nientes a la hora de resolver ecuaciones. En esta sección estudiaremos:
- La forma polar de un número complejo.
- La forma exponencial de un número complejo.
4.1 El problema de la forma binomial En la sección anterior vimos cómo resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos. ¿Pero qué sucede con las ecuaciones cúbicas, cuartas o de grados mayores? Supongamos, por ejemplo, que buscamos un número complejo z que cumpla z^4 = 1. Una manera directa de encarar este problema es plantear un número complejo genérico z = a + bi (con a, b, ∈ R), calcular (a + bi)^4 e intentar despejar a y b. Si hacemos estas cuentas tenemos, primero:
z^2 = (a + bi)(a + bi) = (a^2 − b^2 ) + 2 abi.
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Figura 1: Representación polar de vectores.
concluimos que
~v = ||~v||(cos(α), sin(α)) = (||~v|| cos(α), ||~v|| sin(α)),
donde α es el ángulo entre ~v y el semieje positivo de las x. Estudiemos esta situación en el plano complejo. Si tenemos z = a + bi ∈ C, entonces aplicando el razonamiento anterior al vector asociado (a, b), podemos concluir que a = |z| cos(α) y b = |z| sin(α), donde α es el ángulo entre el vector (a, b) y el semieje positivo de las x. Es decir, z = |z|(cos(α) + i sin(α)). Esta forma de representar a z es lo que se conoce como forma polar de z. Lo definimos formalmente a continuación:
Definición. Dado z = a + ib ∈ C, donde a y b son números reales (y no son ambos 0 ), vamos a llamar el argumento de z, y lo vamos a notar arg(z), al ángulo que forma (a, b) con el semieje positivo de las x. Notar que 0 ≤ arg(z) < 2 π. De esta manera, vale:
z = |z|(cos(arg(z)) + i sin(arg(z))).
Un número complejo escrito de esta manera se dice que está en forma polar. Si |z| = 1 , suele omitirse en la expresión.
Notemos que hemos definido el argumento de un número complejo basados en la fuerte relación geométrica entre C y el subespacio R^2. Existe, de todas formas, una manera puramente algebraica de especificarlo: el argumento de un número complejo z = a+bi 6 = 0 es el único ángulo arg(z) que satisface, simultáneamente, que arg(z) ∈ [ 0 , 2 π), (^) |az| = cos(arg(z)) y (^) |bz| = sin(arg(z)). Esta manera de definirlo no requiere conocimientos de cálculo de ángulos entre vectores, pero suele involucrar más cuentas.
Observación. Si z = |z|(cos(α) + i sin(α)) está dado en forma polar, es muy fácil encontrar sus partes real e imaginaria. Como z = |z| cos(α) + i|z| sin(α) y, tanto
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|z| cos(α) como |z| sin(α) son números reales, se tiene Re(z) = |z| cos(α) y Im(z) = |z| sin(α).
Ejemplos 11.
- Hallemos la forma polar de √ z = ( 1 − i). En primer lugar, el módulo de z es |z| = 12 + 12 = √ 2. Por otro lado, el vector asociado a z en el plano complejo es ( 1 , − 1 ), el cual se encuentra en el semiplano inferior del plano, por lo arg(z) = 2 π − θ , donde θ es el ángulo entre ( 1 , − 1 ) y ( 1 , 0 ). Este ángulo es
θ = arccos
( (^) ( 1 , − 1 ) · ( 1 , 0 ) ||( 1 , − 1 )||||( 1 , 0 )||
) = arccos
( (^1) √ 2
) = π 4
Por lo tanto, arg(z) = 2 π − π 4 = 74 π, y la forma polar de z es √ 2 (cos( 74 π) + i sin( 74 π)).
- ¿Cuál es la forma polar de z = 3 (cos (− π 4 )^ + i sin (− π 4 ))? A primera vista, podría parecer que este número ya está escrito en forma polar, pero hay una condición que falla: − π 4 no está en el intervalo [ 0 , 2 π). Por lo tanto, esta no es la escritura polar de z. Notemos, sin embargo, que 3 sí es el módulo de z, pues:
|z| =
√ 9 cos^2
( − π 4
)
( − π 4
)
√ 9
( cos^2
( − π 4
)
( − π 4
))
√ 9 = 3
Ahora, tenemos que Re(z) = 3 cos (− π 4 )^ y Im(z) = 3 sin (− π 4 ). Como cos(− π 4 ) = √^12 y sin(− π 4 ) = − √^12 , entonces el vector asociado a z es ( √^32 , − √^32 ). Este vector está en el semiplano inferior, por lo que arg(z) = 2 π − θ , donde θ es el ángulo entre ( √^32 , − √^32 ) y el ( 1 , 0 ). Dicho ángulo es:
θ = arccos
( (^) ( √ 3 2 ,^ −^ √^3 2 )^ ·^ (^1 ,^0 ) ||( √^32 , − √^32 )||||( 1 , 0 )||
) = arccos
( (^1) √ 2
) = π 4
Por lo tanto, arg(z) = 2 π − π 4 = 74 π, y la forma polar de z resulta 3 (cos( 74 π) + i sin( 74 π)). Notemos que el argumento que acabamos de hallar es el mismo que el del ejercicio anterior. Esto no es casualidad, ya que ( √^32 , − √^32 ) y ( 1 , − 1 ) forman el mismo ángulo con el semieje positivo de las x (porque son múltiplos). Como para calcular ángulos no nos importa las longitudes de los vectores involucrados, siempre podemos reemplazar los vectores por múltiplos convenientes de ellos. En este ejemplo concreto, podríamos haber calculado el argumento de z utilizando el ángulo entre ( 1 , − 1 ) y ( 1 , 0 ), cosa que nos hubiera simplificado las cuentas.
- Busquemos ahora la forma polar de z = − 1 + √ 3 i. Un cálculo rápido muestra que |z| = 2. El vector asociado a z es (− 1 ,
√ 3 ), el cual se encuentra en el semiplano superior. Por lo tanto, el argumento de z es el ángulo entre (− 1 , √ 3 ) y el ( 1 , 0 ). Dicho
