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NÚMEROS COMPLEJOS
1. ¿Qué es un número complejo? Definiciones.
2
- = no tiene solución en el campo real, puesto que si
intentamos resolverla tendremos que x = ± − 1 y sabemos que no podemos
calcular raíces de números negativos en R. Para resolver este problema
introduciremos el valor i = − 1 , que llamaremos unidad imaginaria.
- Las expresiones del tipo a + bi, siendo a y b números reales, reciben el nombre
de números complejos. (Por ejemplo, 2 i , 3 + 4 i, i 3
- Todo número complejo es de la forma a + bi. Se dice que el número complejo
está escrito en forma binómica.
- El número a se llama parte real del número complejo z = a+bi.
- El número b se llama parte imaginaria del número complejo z = a+bi.
- Un número real es aquel que no tiene parte imaginaria, es decir, b = 0.
- Un número imaginario puro es aquel que no tiene parte real, es decir, a = 0.
- Dos números complejos son iguales si tienen iguales su parte real y su parte
imaginaria, es decir, a + bi=c+di⇔a=cyb=d.
Ejemplos:
Calcular las raíces siguientes:
a) − 36 = 36 ·( − 1 ) = 36 · − 1 = 6 i
b) − 100 = 100 ·(^ − 1 )^ = 100 · − 1 = 10 i
Ejercicios:
Calcular las raíces siguientes:
a) -
b) -
Solución:
a) 5i
b) 4i
Ejemplo:
Expresa en forma binómica el número complejo 5 + − 81
5 + − 81 = 5 + 81· ( 1)− = 5 + 81 · − 1 = 5 +9i
Ejercicio:
Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 3 − − 100
b) 2 + − 7
Solución:
a) 3 − 10 i
b) 2 + 7 i
2. Operaciones con números complejos.
- Suma y diferencia de números complejos.
Ejemplos:
Calcula las siguientes sumas:
a) (2 + 5i) + (3 + 4i) = 2 + 5i + 3 + 4i = 5 +9i
b) (1 + i) + (1 − i) = 1 + i + 1 − i = 2
Ejercicios:
Calcula las siguientes sumas:
a) (1 + 3i) + (1 +i)
b) i + (2 −5i)
a) 2 i
b) 2 i
c) − 2 + 6 i
- Producto de números complejos. - Tendremos en cuenta que (^) ( )
2 2 i = − 1 = − 1.
Ejemplo:
Calcula los siguientes productos:
2 (2 + 5i) · (3 + 4i) = 6 + 8i + 15i + 20i = 6 + 8i + 15i + 20 ( 1)− = 6 + 8i + 15i − 20 = − 14 +23i
Ejercicios:
Calcular los siguientes productos:
a) (1 + i) · ( 1− − i)
b) (1 + 3i) · (1 +i)
c) i · (2 −5i)
Solución:
a) − 2 i
b) − 2 + 4 i
c) 5 + 2 i
Ejemplo:
Calcula los siguientes productos:
2 2 2 (2 + 5i) · (2 − 5i) = 2 − (5i) = 4 − 25i = 4 − 25( 1)− = 4 + 25 = 29
Ejercicios:
Calcula los siguientes productos:
a) (1 + i) · (1 −i)
b) (1 + 3i) · (1 −3i)
c) ( 2− − 5i) · ( 2− +5i)
Solución:
a) 2
b) 10
c) 29
Ejercicio:
Determinar el número x sabiendo que (1 + xi) · (2 − 3i)es un número real.
Solución:
x =−
Ejemplo:
Siendo z 1 = 2 + miy z 2 = n + 3i, hallar m y n de modo que la suma de z 1 y z 2
sea 2 − i.
z 1 + z 2 = 2 − i → 2 + mi + n + 3i = 2 − i → (2 + n) + (m + 3) i = 2 −i
Luego:
2 + n = 2 → n = 2 − 2 = 0
m + 3 = − 1 → m = − − 1 3 = − 4
Ejercicio:
Calcular:
a) (2 + 3i) + (1 − i) − (3 −i)
b) i + (3 − 2i) − (2 +i)
c) (1 + i) · (1 −3i)
d) (2 + i) · (1 − 3i) − (4 +i)
2
2 2
2 5i (2 5i) (3 4i) 6 8i 15i 20i 6 8i 15i 20 ( 1) (2 5i) : (3 4i) 3 4i (3 4i) (3 4i) 3 (4i) 9 16 ( 1)
6 8i 15i 20 ( 1) 6 8i 15i 20 26 7i 26 7 i 9 16 ( 1) 9 16 25 25 25
2
2
2 5i (2 5i) · ( i) 2i 5i 2i 5( 1) 2i 5 (2 5i) : i 5 2i i i · ( i) i ( 1) 1
Ejercicios:
Calcula las siguientes divisiones:
a) (1 + i) : (1 −i)
b) (1 + 3i) : (1 +i)
c) (2 −3i) : 2i
Solución:
a) i
b) 2 +i
c) (^) i 2
- El inverso del número complejo z = a + bies
z a bi
−
Ejemplo:
Calcular el inverso del número complejo 1 +i
2 2
1 1· (1 i) 1 i 1 i 1 i 1 1 i 1 i (1 i) · (1 i) 1 i 1 ( 1) 2 2 2
Ejercicio:
Calcula el inverso de los siguientes números complejos:
a) 1 −i
b) 2 +3i
c) − 2 +i
Solución:
a) i 2
b) i 13
c) i 5
- Cálculo de las potencias de la unidad imaginaria:
i = − 1
( )
2 2 i = − 1 = − 1
3 2 i = i · i = −( 1) · i = −i
4 3 2 i = i · i = −( i) · i = −i = − −( 1) = 1
Ejemplo: Calcula
2355 i
Si dividimos 2355 entre 4 obtenemos cociente 588 y resto 3, luego
i i (i ) ·i 1 ·i 1 ·( i) i
2355 588 · 43 4 588 3 588 3 = = = = − =−
.
Utilizando este razonamiento, podemos escribir simplemente que i i i
2355 3 = =−.
Ejercicio:
Calcula las siguientes potencias:
a)
125 i
b)
723 i
c)
2344 i
d)
27 i
Solución:
a) i
b) −i
b)
3 (3 +i)
c)
7 ( 1− − i)
d)
4 (3 −2i)
Solución:
a) 41 + 38 i
b) 18 + 26 i
c) − 8 + 8 i
d) − 119 − 120 i
Identidades notables:
2 2 2 (a + b) = a + b +2ab 2 2 2 (a − b) = a + b −2ab 2 2 (a + b) · (a − b) = a −b
Ejercicio:
Calcula las siguientes operaciones con números complejos:
a)
2 (1 + i) : (4 +i)
b)
2 (2 + i) : (1 +i)
Solución:
a) i 17
b) i 2
3. Módulo y argumento de un número complejo.
- Representación en el plano de los números complejos.
Se dibuja un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje de abscisas se
representa la componente real, y se llama eje real, y el eje de ordenadas la
componente imaginaria, y se llama eje imaginario.
En este sistema de coordenadas los números complejos se representan
haciendo corresponder al número complejo a + biel punto de coordenadas
A a , b ( ) , que se llama afijo del número complejo a + bi. De esta forma, a cada
número complejo le hacemos corresponder un punto del plano y recíprocamente.
Si unimos el origen O con el punto A obtenemos un segmento orientado que
llamamos vector y representamos por OA
JJJG
. Así pues, a cada número complejo le
hacemos corresponder un vector.
Ejemplo:
Representar el número complejo 2 + 3i.
El afijo del número complejo 2 + 3ies (^) ( 2 , 3).
Ejercicios:
Representa los siguientes números complejos:
a) 3 −2i
b) − 4 +i
Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados:
a) 3 +4i
b) 1 −i
c) − 3 +i
d) 2 −5i
- Módulo de un número complejo.
Definición:
Se llama módulo del número complejo z = a + bia
2 2 z = a + b.
Ejemplo:
Ejercicio:
Calcular el argumento de los siguientes números complejos:
a) z^ =4i
b) z = − 2
c) z = 4
d) z = −6i
Solución:
a) α= 90 º
b) α= 180 º
c) α= 0 º
d) α= 270 º
+ Cálculo del argumento de cualquier número complejo.
Si z = a+bi entonces (^) ⎟ ⎠
α = = a
b arg(z) arctg
Ejemplos:
Calcular el argumento de los siguientes números complejos:
a) z = 2 +2i
arctg arctg 2
α = = , y como α está en el primer cuadrante, α =45º
b) z = − − 1 3i
arctg arctg 3 1
α = = −
, y como α está en el tercer cuadrante, α =240º
c) z = 2 3 −2i
arctg arctg 2 3 3
−^ ⎛^ ⎞
α = = (^) ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
, y como α está en el cuarto cuadrante,
α =330º
d) z = − 3 +3i
arctg arctg( 1) 3
α = = − −
, y como α está en el segundo cuadrante, α =135º
Ejercicios:
Calcular el argumento de los números complejos:
a) z^ =−^33 −^3 i
b) z^ =^43 +^4 i
c)
i 2
z =− +
4. Forma trigonométrica y polar de un número complejo.
Forma binómica Forma trigonométrica Forma polar
a + bi r cos( α + isenα (^) ) rα
donde r es el módulo del número complejo a^ +^ bi y α es el argumento.
Ejemplo:
Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos:
a) 4 + 4 3 i
Módulo: r 4 2 · 3 8
2 2 = + =
Argumento: α= 60 º
Por tanto, 4 + 4 3 i= 8 (cos 60 º+isen 60 º) = (^860) º
b) i.
Módulo: r = 1.
Argumento: α = 90 º.
Por tanto, i = 1 (cos90º + i sen90º) = 190º i = 1 (cos 90 º+isen 90 º) = (^190) º
c) 6 225º
225º^ (^ )
6 6 cos 225º isen225º 6. i 3 2 3 2 i 2 2
⎜ ⎜^ ⎟⎟
⎝ ⎝^ ⎠⎠
Ejercicio:
Escribe de todas las formas posibles los siguientes complejos:
a) − 3 3 − 3 i
b) (^330) º
c)^4 3 +^4 i
d)^2 (cos^30 º+isen^30 º)
e) i 2
f) (^4330) º
g) − 1 −i
h) (^5300) º
i) 4 + 4 3 i
j) 1 −i
k) 6 (cos 120 º+isen 120 º)
l) − 2 3 + 2 i
m) (^6135) º
n) 2 + 2 i
o) (^9240) º
p) − 3 − 3 3 i
q) − 1 +i
r) 4 (^ cos 150 º+isen 150 º)
s) 4 − 4 3 i
t)^6 3 −^6 i
Solución:
a) − 3 3 − 3 i= (^6210) º = 6 (cos 210 º+isen 210 º)
b) i 2
(^3 30) º= 3 (cos 30 º+isen 30 º)= +
c) 4 3 + 4 i= (^830) º = 8 (cos 30 º+isen 30 º)
d) 2 (cos 30 º+isen 30 º)= (^230) º= 3 +i
e) i 1 cos 120 º isen 120 º 2
f) (^4 330) º= 4 (cos 330 º+isen 330 º)= 2 3 − 2 i
g) − 1 −i= (^2225) º= 2 (cos 225 º+isen 225 º)
h) i 2
(^5 300) º= 5 (cos 300 º+isen 300 º)= −
i) 4 + 4 3 i= (^860) º= 8 (cos 60 º+isen 60 º)
j) 1 −i= 2315 º= 2 (cos 315 º+isen 315 º)
k) 6 (cos 120 º+isen 120 º) = (^6120) º =− 3 + 3 3 i
l) − 2 3 + 2 i= (^4150) º= 4 (cos 150 º+isen 150 º)
m) (^6 135) º= 6 (cos 135 º+isen 135 º)=− 3 2 + 3 2 i
n) 2 + 2 i= (^245) º= 2 (cos 45 º+isen 45 º)
o) i 2
(^9 240) º = 9 (cos 240 º+isen 240 º)=− −
p) − 3 − 3 3 i= (^6225) º= 6 (cos 225 º+isen 225 º)
q) − 1 +i= (^2135) º = 2 (cos 135 º+isen 135 º)
Calcular los siguientes cocientes:
a) (^2 60) º b) (^230) º c) (^115) º
6. Potenciación y radicación de números complejos en forma polar.
La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo, que tiene por
módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento n veces el argumento del
complejo dado:
( (^) α ) = ( ) (^) nα
n n r r
Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) i 128 128 3 i 2
3
2
1 2 2 3 i (^4444) · 60 º (^256240) º 256 cos 240 º isen 240 º 256
4 60 º
4 =− − ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛
Ejercicio:
Calcular:
a) ( )
5 − 3 3 − 3 i
b) ( )
6 (^330) º
c) ( )
3 4 3 + 4 i
d) ( )
78 (^4330) º
e) ( )
46 − 1 −i
f) ( )
9 (^5300) º
g) ( )
7 4 + 4 3 i
h) ( )
65 1 −i
i) (^ )
3 − 2 3 + 2 i
j) ( )
4 (^6135) º
k) ( )
10 2 + 2 i
l) ( )
78 (^1240) º
m) ( )
7 − 3 − 3 3 i
n) ( )
5 − 1 +i
o) ( )
8 6 3 − 6 i
Solución:
a) (^7776330) º
b) (^729180) º
c) (^51290) º
d) ( ) 180 º
78 4
e) ( ) 270 º
23 2
f) ( ) 180 º
9 5
g) ( ) 60 º
7 8
h) ( ) 315 º
65 2
i) (^6490) º
j) (^1296180) º
k) (^102490) º
l) (^10) º
m) ( ) 135 º
7 6
n) (^42315) º
o) ( ) 120 º
8 12
Las raíces n-ésimas de un número complejo son n números complejos que tienen de
módulo la raíz n - ésima del módulo y por argumento n
α +k· 360 º con 0 ≤ k
