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diagonales.
En efecto por cortarse las diagonales en sus puntos medios , el segmento que une estos puntos medios es nulo.
14.1.11.8Teorema de la bisectriz del ángulo interior
La bisectriz de ángulo interior divide al lado opuesto en dos segmentos aditivos , directamente proporcionales a los que forman dicho ángulo.
14.1.11.9Teorema de la bisectriz del ángulo exterior
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La bisectriz de un ángulo exterior divide al lado opuesto en dos segmentos sustractivos directamente proporcionales a los lados que forman dicho ángulo.
14.1.12 RELACIONES METRICAS ENTRE LINAEAS DE LA CIRCUNFERENCIA
14.1.12.1Teorema de las secantes a la circunferencia
Si por un punto del plano de una circunferencia trazamos secantes a esa circunferencia , el producto de las distancias desde el punto a las intersecciones de la circunferencia con cada secante , es constante , sea cualquiera la secante.
14.1.12.2Teorema de las cuerdas secantes perpendiculares
Si en una circunferencia de radio R , se trazan dos cuerdas secantes perpendiculares cualesquiera , la suma de los cuadrados de los 4 segmentos es igual a
Los segmentos son a,b,c,d.
14.1.12.3Teorema de la tangente y la secante a la circunferencia
Si por un punto del plano de una circunferencia y exterior a ella trazamos una tangente y una secante , el producto de las distancias desde ese punto a las intersecciones de la circunferencia con la secante, es igual al cuadrado de la distancia de ese punto al de contacto de la tangente.
14.1.12.4Otros teoremas
En todo triángulo ABC inscrito en una circunferencia , el producto de dos lados es igual al producto de la altura relativa al tercero , por el diámetro de la circunferencia circunscrita.
El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz interior determina sobre el tercero , más el cuadrado de dicha bisectriz.
El producto (CA,CB) de dos lados de un triángulo es igual al producto (CM,CN) de dos segmentos conjugados isogonales respecto del ángulo BCA,limitados uno de ellos por la base del triángulo y el otro por la circunferencia circunscrita.
*Rectas isogonales:dos rectas CM y CN se dicen conjugadas isogonales respecto al ángulo C o de los lados CA y CB de dicho ángulo , cuando son simétricas respecto de la bisectriz del ángulo C , esto es ,cuando forman con lados CA y CB ángulos iguales.
- El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz exterior
determina sobre el tercero ,menos el cuadrado de esa bisectriz.
14.1.12.5Teorema de Tolomeo
En un cuadrado inscrito en una circunferencia , el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
14.1.12.5Teorema de la potencia
El lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de una circunferencia dada , es otra circunferencia concéntrica cuyo radio es menor , igual o mayor que R según que la potencia sea negativa , nula o positiva.
*Se llama potencia de un punto respecto a una circunferencia es el producto constante de los segmentos rectilíneos comprendidos entre este punto y los puntos de intersección de una secante cualquiera pasando por P con la circunferencia.
14.1.12.6Teorema de las circunferencias ortogonales
La condición necesaria y suficiente para que dos circunferencias sean ortogonales es que la potencia del centro de una respecto de la otra sea igual al cuadrado del radio.
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*Circunferencias ortogonales:dos circunferencias se cortan ortogonalmente cuando las tangentes en uno de los puntos de intersección forman ángulo recto.
14.1.12.7Teorema del eje radical
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea de los centros.
*Eje radical:es el lugar geométrico de los puntos de igual potencia respecto de dos circunferencias.
14.1.12.8Propiedades del eje radical
La porción exterior del eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos desde donde se puede trazar a las dos circunferencias tangentes iguales.
El eje radical pasa por el punto medio P de los segmentos de las tangentes comunes a las dos circunferencias limitados por los puntos de contacto.Si las tangentes son exteriores admiten 4 tangentes comunes y los 4 puntos medios de dichas tangentes están en línea recta.
Todo punto M tomado en el eje radical y exterior a las dos circunferencias , es el centro de una circunferencia ortogonal a las dos dadas.Las tangentes MA y MA´ son radios de esta circunferencia ortogonal.
14.1.12.9Definición de centro radical
Los ejes radicales de tres circunferencias , tomados dos a dos , concurren en un punto , que se llama centro radical.
14.1.13 RAZON SIMPLE
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AB + GC = AC + GB
demostrar que el triángulo es isósceles.
Resolución primera
Teniendo en cuenta el teorema de la mediana, la relación del enunciado se escribe:
multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada queda:
Probaremos que el segundo factor es positivo, de donde se deduce la conclusión.
Llamando B' y C' a los puntos medios de AC y Ab respectivamente, en los triángulos CC'A y BB'A tenemos por la desigualdad triangular:
Sumando ambas desigualdades se obtiene el resultado.
Resolución segunda
Llamando A', B', C' a los puntos medios de los lados BC, AC y AB respectivamente y dividiendo por dos la condición del enunciado podemos escribirla como:
es decir los puntos C' y B' están en una elipse de focos A y G.
Llamando M al punto medio de C'B' , M esta en la mediana AA' y no es el centro de la elipse (punto medio del segmento AG), por tanto C'B' ha de ser perpendicular a AA', y entonces AA' además de mediana es altura y el triángulo es isósceles.
Problema 2
La figura adjunta se compone de seis pentágonos regulares de lado 1m. Se dobla por las líneas de puntos hasta que coincidan las aristas no punteadas que confluyen en cada vértice.
¿Qué volumen de agua cabe en el recipiente formado?.
Observación
Problema de oposición Galicia 2004
Resolución
La figura formada por el agua es un tronco de pirámide pentagonal cuya base menor es el pentágono dado y cuya base mayor es otro pentágono regular que tiene por lado la diagonal del anterior paralela a la arista de la base como se muestra en la figura inferior derecha.
Más abajo, se ha dibujado en forma invertida para una mejor comprensión del dibujo. (Figura central).
Establezcamos primero algunas relaciones conocidas para un pentágono regular de lado 1. (Figura de la izquierda).
Llamemos d a la diagonal. Por semejanza de los triángulos ABE y PCD tenemos:
y sustituyendo el valor de de (1), queda finalmente:
Ejemplo 3
En el plano, se considera un trapecio no isósceles, cuyas bases son AB y CD.
Sea E el punto de intersección de las rectas en que están los lados AD y BC. Sea F, el punto de intersección de las diagonales. a)Demostrad que la recta EF pasa por los puntos medios de las bases.
b)Demostrad analíticamente que las rectas que unen los puntos medios de los lados del trapecio se cortan en el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
Resolución
Observación
Problema propuesto en las oposiciones Valencia 2004.
Apartado a: Solución mediante Geometría Sintética (Geometría Clásica)
Sea el siguiente trapecio no isósceles
Dado que las bases del trapecio son paralelas, podemos aplicar el Teorema de Thales.
Por otra parte, utilizando las semejanzas de triángulos se observa que
pues los tres ángulos son iguales:
, por ser opuesto por el vértice F y , merced al paralelismo de las bases ( ángulos alternos internos ). Por tanto, el tercer ángulo también será el mismo para ambos triángulos y éstos son semejantes pues tienen los tres ángulos iguales.
pues también tienen los tres ángulos iguales. La razón es idéntica a la explicada anteriormente.
De ese modo:
Uniendo los resultados obtenidos en ( 1 ) y ( 2 ) nos quedará:
con lo que queda demostrado que N es el punto medio de
.
Por tanto, en ( 2 ) tendremos:
y queda demostrado que M es el punto medio de
.
La ordenada de F será:
Determinación de la recta BE :
Determinación de la recta AE :
El punto de corte de las dos rectas es
:
La ordenada de E será:
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