¡Descarga Programación Lineal: Solución de Sistemas de Inequaciones y Óptimización y más Apuntes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
TEMA 4 : Programació lineal
4.1. SISTEMES D’ INEQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES
INCÒGNITA
La solució d’aquest sistema és l’ intersecció de les regions que correspon a la solució de cadascuna de les inequacions
EXEMPLE
Trobeu la solució gràfica del sistema d’inequacions amb dues incògnites següent:
2x + y ≤ 3 x + y ≥ 1
- Representem gràficament la regió solució de la primera inequació
Transformem la desigualtat en igualtat 2x + y = 3 Representem la recta que obtenim de la igualtat (nomes cal obtenir dos punts que compleixen l’equació)
x = 0 → 0 + y = 3 → y = 3 → P 1 (0,3)
x = 1 → 2 + y = 3 → y = 1 → P 2 (1,1)
Prenem qualsevol punt que no pertany a la recta, per exemple (0,0) i el substituïm en la desigualtat. Si la compleix, la solució es el semiplà on es troba aquest punt, en cas contrari la solució serà l’altre semiplà
2x + y ≤ 3
2·0 + 0 ≤ 3 → la desigualtat 0 ≤ 3 és certa
- Representem gràficament la regió solució de la segona inequació
Transformem la desigualtat en igualtat x + y = 1 Representem la recta que obtenim de la igualtat (nomes cal obtenir dos punts que compleixen l’equació)
x = 0 → 0 + y = 1 → y = 1 → Q 1 (0,1)
x = 1 → 1 + y = 1 → y = 0 → Q 2 (1,0)
;
4.2. PROGRAMACIÓ LINEAL
4.2.1 Definició de conceptes bàsics
Un problema de programació lineal de dues variables consisteix en optimitzar (fer màxima o mínima) una funció lineal amb dues variables. La funció que cal optimitzar s’anomena funció objectiu i és de la forma 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
Les variables x i y estan sotmeses a algunes restriccions , les quals es poden expressar mitjançant inequacions lineals d’aquestes mateixes variables.
𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 𝑦 ≤ 𝑐 1 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 ≤ 𝑐 2 … … … … … … ….. 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 𝑦 ≤ 𝑐𝑛
( les restriccions tant poden ser ≤ com ≥)
El conjunt intersecció de tots els semiplans format per les restriccions, determina un recinte acotat o no, que rep el nom de regió factible o regió solució
El conjunt dels vèrtex del recinte es denomina conjunt de solucions factibles o bàsiques i el vèrtex on se presenta el valor màxim o mínim de la funció, segons si la funció es vol maximitzar o minimitzar respectivament, s’anomena solució òptima
El valor que pren la funció objectiu en el vèrtex de la solució òptima s’anomena valor de la programació lineal
4.2.2 Resolució de problemes
Per platejar i resoldre problemes de programació lineal, heu de seguir els següents passos:
- Llegir l’enunciat atentament i entendre’l
- Reconèixer els valors desconeguts, es a dir escollir les incògnites
- Determinar la funció que cal optimitzar. Escriure la funció objectiu
- Identificar les restriccions a les que estan sotmeses les incògnites, i expressar-les en forma de sistema d’inequacions
- Trobar la regió factible o regió solució, representant en un mateix gràfic totes les restriccions
- Esbrinar el conjunt de solucions factibles, determinat els vèrtex de la regió factible.
- Calcular el valor de la funció objectiu en cadascun dels vèrtex per veure quin d’ells representa el valor màxim o mínim (depenent del que demana el problema). Cal tenir present la possibilitat de que no hi hagi solució si el recinte no està acotat
EXEMPLE
a) Uns grans magatzems encarreguen a un fabricant pantalons i samarretes de deport
El fabricant disposa per la confecció de 750m de teixit de cotó i 1000m de teixit de poliester. Cada pantalons necessita 1m de cotó i 2m de poliester. Per cada samarreta es gasten 1.5m de cotó i 1m de poliester.
El preu de venda dels pantalons es fixa en 50€ i el de les samarretes en 40€. Quin nombre de pantalons i samarretes ha de donar el fabricant als grans magatzems per tal que aquests aconsegueixin un benefici màxim?
Solució:
- Elecció de les incògnites:
x = nombre de pantalons y= nombre de samarretes
- Funció objectiu: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 50𝑥 + 40𝑦 cal maximitzar-la
- Restriccions
Per tal de escriure les restriccions ens ajudem d’una taula
Pantalons Samarretes Disponible Cotó 1 1.5 750 Poliester 2 1 1000
- Calcular les coordenades dels vèrtex de la regió factible
- Càlcul de la solució òptima
La solució òptima, si es única es troba en un d’aquests vèrtex, substituïm aquest tres punts en la funció objectiu per tal de veure en quin d’ells obtenim un màxim benefici. Funció objectiu 𝑓 𝑥, 𝑦 = 50𝑥 + 40𝑦
𝑓 0,500 = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000€
𝑓 500,0 = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000€
𝑓 375,250 = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750€ → Màxim
La solució òptima és fabricar 375 pantalons i 250 samarretes per obtenir un màxim benefici de 28750€
La solució no sempre és única, també podem trobar-nos amb una solució múltiple
Per exemple, si la funció objectiu de l’exercici anterior fos 𝑓 𝑥, 𝑦 = 20𝑥 + 30𝑦
𝑓 0,500 = 20 · 0 + 30 · 500 = 15000€ → Màxim
𝑓 500,0 = 20 · 500 + 30 · 0 = 10000€
𝑓 375,250 = 20 · 375 + 30 · 250 = 15000€ → Màxim
En aquest cas tots els parells, amb solució natural , del segment marcat amb negre serien màxims i per tant solució del problema.
Per exemple el punt P (300, 300) → 𝑓 300,300 = 20 · 300 + 30 · 3000 = 15000€ també es un Màxim
Prenem qualsevol punt que no pertany a la recta, per exemple (0,0) i el substituïm en la desigualtat. Si la compleix, la solució es el semiplà on es troba aquest punt, en cas contrari la solució serà l’altre semiplà
x + 5y ≥ 15 5 x + y ≥ 15 O(0,0) 0 + 5·0 ≥ 15 → no és certa 5·0 + 0 ≥ 15 → no és certa
La zona d’intersecció de les solucions de les inequacions serà la regió factible o regió solució.
- Calcular les coordenades dels vèrtex de la regió factible
- Càlcul de la solució òptima
Donat que la regió factible no està acotada haurem d’estudiar el comportament de la funció.
Representem sobre un mateix gràfic les següents funcions
A la vista del comportament de la funció objectiu la solució òptima es troba en el
punt 𝑉 3 ( 5 2 ,^
5 2 )
En aquest cas el cost mínim és: 𝑓( 5 2 ,^
5 2 ) = 10 ·^
5 2 + 30 ·^
5 2 = 100€
f(x)=-10x/ f(x)=(40-10x)/ f(x)=(80-10x)/ f(x)=(120-10x)/
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1
2
3
4
5
x
y
10x + 30y = 0
10x + 30y = 40
10x+30y = 80
10x+30y = 120
