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I NECUACI ON ES
D E F I N I C I Ó N
U n a i n e c u a c i ó n e s u n a d e s i g u a l d a d a l g e b r a i c a e n l a q u e s u s d o s m i e m b r o s a p a r e c e n l i g a d o s p o r u n o d e e s t o s s i g n o s :
< m e n o r q u e 2 x − 1 < 7
≤ m e n o r o i g u a l q u e 2 x − 1 ≤ 7
> m a y o r q u e 2 x − 1 > 7
≥ m a y o r o i g u a l q u e 2 x − 1 ≥ 7
L a s o l u c i ó n d e u n a i n e c u a c i ó n e s e l c o n j u n t o d e v a l o r e s d e l a v a r i a b l e q u e v e r i f i c a l a i n e c u a c í ó n. P o d e m o s e x p r e s a r l a s o l u c i ó n d e l a i n e c u a c i ó n m e d i a n t e : U n a r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a. U n i n t e r v a l o. 2 x − 1 < 7
2 x < 8 ⇔^ x < 4
S o l u c i ó n x
C R I TE R I O S D E E Q U I V A L E N CI A D E I NE C U A C I O N E S 1. - S i a l o s d o s m i e m b r o s d e u n a i n e c u a c i ó n s e l e s s u m a o s e l e s r e s t a u n m i s m o n ú m e r o , l a i n e c u a c i ó n r e s u l t a n t e e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a.
3 x + 4 < 5 ⇔ 3 x + 4 − 4 < 5 − 4 ⇔ 3 x < 1
2. - S i a l o s d o s m i e m b r o s d e u n a i n e c u a c i ó n s e l e s m u l t i p l i c a o d i v i d e p o r u n m i s m o n ú m e r o p o s i t i v o , l a i n e c u a c i ó n r e s u l t a n t e e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a.
2 x < 6 ⇔ x < 3
3. - S i a l o s d o s m i e m b r o s d e u n a i n e c u a c i ó n s e l e s m u l t i p l i c a o d i v i d e p o r u n m i s m o n ú m e r o n e g a t i v o , l a i n e c u a c i ó n r e s u l t a n t e c a m b i a d e s e n t i d o y e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a.
− 2 x < 6 ⇔^ x > − 3
INECUACIONES DE 2º GRADO
1 º O b t e n e m o s l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o , p a r a e l l o i g u a l a m o s e l p o l i n o m i o a
c e r o.
2 º R e p r e s e n t a m o s l a s r a i c e s o b t e n i d a s e n l a r e c t a r e a l. T o m a m o s u n p u n t o d e c a d a
i n t e r v a l o e n e l q u e q u e d a d i v i d i d a l a r e c t a y e v a l u a m o s e l s i g n o e n é l :
3 º R e p r e s e n t a m o s e s t o s s i g n o s e n l a r e c t a r e a l. E l e g i m o s l a s o l u c i ó n t e n i e n d o e n
c u e n t a l e i n e c u a c i ó n i n i c i a l.
E J E M P L O
1. - C o n s i d e r e m o s l a i n e c u a c i ó n : x 2 − 6 x + 8 > 0
O b t e n e m o s l a s r a í c e s : x 2 − 6 x + 8 = 0 R e p r e s e n t a m o s e s t o s v a l o r e s e n l a r e c t a r e a l. T o m a m o s u n p u n t o d e c a d a i n t e r v a l o ( 0 , 3 , 5 ) y e v a l u a m o s e l s i g n o e n c a d a i n t e r v a l o : P ( 0 ) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0 P ( 3 ) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 1 7 − 1 8 < 0
I N E C U A C I O N E S I R R A C I O N A L E S
L a s i n e c u a c i o n e s r a c i o n a l e s s e r e s u e l v e n d e u n m o d o s i m i l a r a l a s d e s e g u n d o g r a d o , p e r o h a y q u e t e n e r p r e s e n t e q u e e l d e n o m i n a d o r n o p u e d e s e r c e r o.
E J E M P L O
1. - R e s u e l v e l a s i g u i e n t e i n e c u a c i ó n
1 º H a l l a m o s l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r y d e l d e n o m i n a d o r.
x − 2 = 0 ⇔ x = 2
x − 4 = 0 ⇔ x = 4
2 º R e p r e s e n t a m o s e s t o s v a l o r e s e n l a r e c t a r e a l , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a s
r a í c e s d e l d e n o m i n a d o r , i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l s i g n o d e l a d e s i g u a l d a d , t i e n e n q u e s e r a b i e r t a s.
3 º T o m a m o s u n p u n t o d e c a d a i n t e r v a l o y e v a l u a m o s e l s i g n o e n c a d a i n t e r v a l o :
4 º L a s o l u c i ó n e s t á c o m p u e s t a p o r l o s i n t e r v a l o s ( o e l i n t e r v a l o ) q u e t e n g a n e l
m i s m o s i g n o q u e l a f r a c c i ó n p o l i n ó m i c a. S o l u c i ó n = ( - ∞ , 2 ] ( 4 , ∞ )
2.- Resuelve
P a s a m o s e l 2 a l p r i m e r m i e m b r o y p o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r. H a l l a m o s l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r y d e l d e n o m i n a d o r.
− x + 7 = 0 ⇔ x = 7
x − 2 = 0 ⇔ x = 2
E v a l u a m o s e l s i g n o : S o l u c i ó n = ( - ∞ , 2 ) ( 7 , ∞ )
Solución Resuelve el sistema:
(x +1) 10 + x ≤ 6 (2x + 1) ⇔^ 10x + 10 + x ≤ 12 x + 6 ⇔^ 10 x + x – 12x ≤ 6 – 10 −x ≤ − 4 ⇔^ x ≥ 4
4x < 28 ⇔^ x< 7 Ahora pasamos a representar la solución de cada una de las ecuaciones para dar la solución del sistema: Solución : [4, 7)
- 7x 2 + 21x − 28 < 0 ⇔ x 2 +3x − 4 < 0 Buscamos las raices igualando a cero: x 2 +3x − 4 = 0 Las representamos en la recta real y elegimos un nº (-6, 0, 3)perteneciente a cada uno de los tramos en que queda dividida la recta para ver cual es su signo:
P(−6) = (−6) 2 +3 (−6)− 4 > 0 P(0) = 0 2 +3. 0 − 4 < 0 P(3) = 3 2 +3. 3 − 4 > 0 Por tanto la solución es: (−4, 1)
- -x 2 + 4x - 7 < 0 x 2 − 4x + 7 = 0 P(0) = - 0 2 + 4 .0 − 7 < 0 S olución=
Resolvemos la ecuación: 4x 2 - 16 = 0 x 2 - 4= 0 ⇔^ x 2 = 4 ⇔^ x 1 = -2, x 2 = 2. Las representamos en la recta real P(−3) = 4 • (−3)^2 − 16 > 0 P(0) = 4 • 0 2 − 16 < 0 P(3) = 4 • 3 2 − 16 > 0 Solución: (-∞ , −2 ] [2, +∞)
Solución:(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4).
- x 4 − 16x 2 − 225 ≥ 0 x 4 − 16x 2 − 225 = 0
- (x 2 - 25) • (x 2 + 9) ≥ 0
El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1er^ factor. (x 2 − 25) ≥ 0 Solución: (-∞, −5] [5, +∞)
- Resuelve El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo, pero al tener delante el signo menos. resultará que el denominador será siempre negativo. Multiplicando por −1: Solución (−-∞ , −1] (1, +∞)
El numerador siempre es positivo. El denominador no se puede anular. Por lo que la inecuación original será equivalente a: x 2 − 4 > 0 (−-∞ , −2) (2, +∞)
- Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x^2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.
El discriminante ha de ser positivo, D= b 2 -4ac > 0
(−6) 2 - 4k > 0 36 − 4k > 0 ⇐^ ⇒^ − 4k > − 36 ⇔^ k < 9 Solución: k
(−∞, 9)
