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Figura 1 .- ( a ) Traslación. El segmento AB se conserva paralelo a sí
mismo. ( b ) Rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del
dibujo por el punto O. AB no se conserva paralelo a sí mismo. Las
trayectorias son circunferencias.
Figura 2 .- Movimiento de un sólido rígido bajo la acción de la
aceleración de la gravedad. El centro de masas describe una trayectoria
parabólica mientras el cuerpo rota alrededor de un eje perpendicular al
plano del dibujo, que pasa por el centro de masas.
TEMA 5
DINÁMICA DE ROTACIÓN DEL SÓLIDO RÍGIDO
1.- El sólido rígido. Movimientos que puede describir
Un sólido rígido es un caso especial e importante de los sistemas de partículas. Se define como un sistema
de partículas en el que la posición relativa de todas ellas permanece constante bajo la aplicación de una fuerza
o momento , lo que quiere decir que el sólido rígido conserva su forma durante el movimiento.
Un sólido rígido puede realizar dos
tipos de movimiento básicos: traslación y
rotación. El movimiento es de traslación
cuando todas sus partículas describen tra-
yectorias paralelas , de forma que el segmen-
to que une dos partículas cualesquiera se
conserva siempre paralelo a sí mismo (Figu-
ra 1 a ). El movimiento es de rotación alrede-
dor de un eje cuando todas las partículas del
sólido describen trayectorias circulares
cuyos centros son puntos del eje (Figura 1 b ).
El movimiento más general del sólido
rígido siempre puede considerarse como una
traslación más una rotación alrededor de un
eje que puede ser fijo o cambiante con el tiempo, por lo que se introduce el concepto de eje instantáneo de
rotación que es función del tiempo. El tratamiento matemático del movimiento del sólido rígido, en su caso más
general (eje de rotación variable) es muy complicado y en este tema sólo estudiaremos el caso de eje de rotación
fijo o, lo que es lo mismo, eje instantáneo de rotación independiente del tiempo.
El hecho de que cualquier movimiento
que describa el sólido rígido pueda reducirse
a una traslación más una rotación (Figura 2)
simplifica su estudio, pues siempre será
posible escoger un sistema de referencia tal
que se traslade con el sólido y, por tanto, el
sólido describirá respecto de él un movimien-
to de rotación exclusivamente. El sistema de
referencia al que nos estamos refiriendo es,
evidentemente, el sistema de referencia de
momento lineal nulo, es decir, el sistema-C.
2.- Integral de volumen. Centro de masas de un sistema continuo
Un sólido rígido típico, por ejemplo una piedra de tamaño normal, puede fácilmente tener del orden de
10
25
partículas, considerando como partículas las moléculas que lo constituyen, con lo que el sumatorio de la
Figura 3
ecuación [6.3] se extendería desde i = 1 hasta i = 10
25 , lo que hace inviable su cálculo. Por otra parte, sabemos
que, a nivel microscópico, la mayor parte de la piedra está vacía debido a que las distancias interatómicas son
mucho mayores que las propias dimensiones atómicas, por lo que asimilar el sumatorio a una integral de variable
de integración m (masa) no está justificado desde el punto de vista matemático al no ser una función continua.
En la física estas situaciones se plantean a menudo y se
solucionan llegando a un compromiso: "tomamos una masa elemen-
tal, d m , lo suficientemente pequeña como para considerarla puntual
(pero no tan pequeña como queramos, que dirían los matemáticos)
pero lo suficientemente grande como para que contenga muchos
átomos". Por ejemplo, un volumen cúbico del material que compone
el sólido de arista igual a una diezmilésima de milímetro (
! 7 m)
puede contener 100 millones de átomos. En estas condiciones,
decimos que el sólido es continuo y, para él, es válido asimilar el
sumatorio a una integral, pero a una integral de volumen o integral
triple. Así pues, el centro de masas de un sólido continuo (Figura 3)
se calcula
donde la integral triple indica que la variable de integración varía entre los límites físicos del sólido, es decir,
tres dimensiones.
Teniendo en cuenta que la masa y el volumen están relacionados por la densidad de la sustancia de la que
está hecho el sólido, d m = Ddh, por lo que la ecuación anterior puede escribirse
No suele ser fácil resolver la integral de la ecuación [5.2] salvo en casos muy particulares. La dificultad
suele provenir de la densidad, que puede ser función de la posición. Si el sólido es homogéneo (D = constante),
entonces la ecuación [5.2] se transforma en:
En coordenadas cartesianas, las ecuaciones [5.2] y [5.3] se escriben:
En el caso de sólido homogéneo, la posición del centro de masas depende exclusivamente de la geometría
del cuerpo, por lo que podemos afirmar que si un sólido homogéneo tiene centro de simetría, el centro de masas
[5.1]
C
rdm rdm
r
M M
ϑ
= =
∫∫∫ ∫
[5.2]
C
rd^ rd
r
M M
ϑ
ρ ϑ^ ρ^ ϑ
∫∫∫ ∫
[5.3]
C
rd rd
r
ϑ
∫∫∫ ∫
* * [5.2 ]
C C C
xd yd zd
x y z bis
d d d
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
* * [5.3 ]
C C C
xd yd zd
x y z bis
ϑ ϑ ϑ
∫ ∫ ∫
Figura C
C
yd
y
L
∫
[ ]
2 (^2 )
0 0
sen cos 2 2 L
C
yd R d R R R
y
L R R R
π π
∫ ∫
C
R
r
π
Figura D Figura E
( [^ ] )
3
1
1 1 1 1 1 1
R
m r R
π
= ρ ϑ = ρ = − +
2.- Calcular el centro de masas de un alambre homogéneo de longitud L doblado en forma semicircular
de radio R.
Tomando como sistema de referencia el mostrado en la figura C,
apreciamos que el eje Y es de simetría, por lo que podemos garantizar que
x C
= 0.
Puesto que el alambre se puede considerar lineal (predomina su
longitud y podemos despreciar su "ancho" y su "alto"), usaremos la
densidad lineal (:=d m /dR, es la masa de la unidad de longitud) en lugar de
la cúbica. Tomando, pues, una longitud elemental,
En la integral del numerador podemos apreciar que, tanto y como RRRR son variables, por lo que hemos de
relacionarlas a fin de que el integrando sea función de una sola variable. Dada la geometría del cuerpo, es mucho
más cómodo trabajar en coordenadas polares: y = R sen 2 , dR = R d 2 y, al barrer el alambre con dR, 2 varía entre
0 y B. Así pues,
y, por tanto, la posición del centro de masas será:
Destaquemos que el centro de masas de este sólido está fuera de él.
3.- Calcular el centro de masas de un sólido constituido por dos esferas homogéneas de radios R 1
y R 2
unidas mediante una barra delgada y homogénea de longitud R (Figura D).
Si un sólido se puede descomponer mentalmente en partes simples y simétricas, podemos calcular el
centro de masas de cada una de las partes y pensar que el sólido es un sistema discreto de partículas constituido
por tantas partículas como partes simples hayamos tomado y situadas cada una de ellas en su centro de masas.
En nuestro ejemplo, las dos esferas tienen sus centros de masas en sus respectivos centros y la barra en la mitad
de su longitud, por lo que nuestro sólido es equivalente al mostrado en la figura E, siendo
( [ ] )
3
2
2 2 2 2 2 2
R
m r R
π
= ρ ϑ = ρ = +
( ) 3 3
m = μ * r = 0,0,
( )
3 3
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2 3 3
3 3
1 2 3 1 2
1 2
C C C
C
R R
R R
m y m y m y
y
m m m R R
π π
ρ ρ
π π
ρ ρ μ
Figura F
( )
2
Disco : * 0, 0 d d d d
m = β S = βπ R r =
( ) ( )
2 2
Agujero : * 0,
2 2 4
a a a a
R
R R
m S r
βπ
= β = − βπ = − = −
( )
2 1 1 3 4 8
2 1 2 3 2
4 4
d d a a
C
d a
R
R
m y m y R R
y
m m R R R
βπ βπ
βπ βπ βπ
( )
C
R
r =
Figura 4
Evidentemente, x C
= x C
= x C
= 0 Y x C
= 0, z C
= z C
= z C
= 0 Y z C
= 0. Por tanto, sólo nos queda
determinar la coordenada y C
del centro de masas.
4.- Calcular el centro de masas de una placa circular de radio R con un orificio circular de radio R/2 tangente
a la periferia (Figura F).
Puesto que el eje Y es de simetría, x C
= 0 (en el sistema de referencia
indicado en la figura F).
Podemos considerar que nuestro cuerpo consta de dos partículas:
a) el disco completo, de masa evidentemente positiva, situado en (0,0).
b) El agujero que, al ser masa que hay que quitar al anterior, podemos
considerar de masa negativa (lo que equivale a decir densidad negativa. No
tiene sentido físico, pero es un artificio muy útil), situado en (0,! R /2). Como
son dos las dimensiones predominantes, usaremos la densidad superficial
($ = d m /d S , masa de la unidad de superficie). Así pues,
y, por tanto, la posición del centro de masas será:
3.- Momento angular de un sólido rígido. Momento de inercia
Consideremos un sólido rígido cualquiera que rota alrededor de un
eje fijo, que escogemos como eje Z de nuestro sistema de referencia, y
tomemos un punto cualquiera del eje como origen del sistema (dicho punto
puede ser un punto fijo en un sistema inercial o el centro de masas del
sólido), tal como se muestra en la figura 4.
Tomemos una partícula m i
del sólido y supongamos que éste gira con
una velocidad angular ω. La partícula que hemos tomado describirá
Figura 5
Si nuestro cuerpo es un sólido continuo (en el sentido mencionado en el segundo epígrafe de este tema),
la definición de momento de inercia dada por la ecuación [5.6] no es operativa y debe ser sustituida por
donde r es la distancia al eje considerado del elemento de masa (o de volumen) tomado. Si el sólido es
homogéneo, la ecuación [5.9] se transforma en
4.- Momentos de inercia respecto a un plano, un eje y un punto
Normalmente, el momento de inercia de un sólido se refiere a un eje, pero resulta conveniente, como
técnica de cálculo de momentos de inercia, definir el momento de inercia del sólido respecto de un plano o de
un punto, observando la norma de que un momento de inercia es la suma de productos de masas por cuadrados
de distancias. Así pues, definimos el momento de inercia con respecto a un plano como la suma de los productos
de las masas de las partículas del sólido por el cuadrado de la distancia de cada partícula al plano.
Análogamente, el momento de inercia respecto a una punto será la suma de los productos de las masas de las
partículas del sólido por el cuadrado de la distancia de cada partícula al punto considerado. Así, los momentos
de inercia de un sólido respecto a los planos coordenados será (Figura 5)
Los momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas serán:
Las ecuaciones [5.12] nos dicen que el momento de inercia de un
sólido respecto a un eje cualquiera es igual a la suma de los momentos
de inercia con respecto a dos planos ortogonales cuya intersección sea
dicho eje.
El momento de inercia del sólido respecto del origen de coorde-
nadas será:
es decir, el momento de inercia de un sólido respecto a un punto cualquiera es igual a la suma de los momentos
de inercia con respecto a tres planos, ortogonales dos a dos, cuya intersección sea dicho punto.
2 2
I r dm r d [5.9]
ϑ
∫∫∫ ∫
2
I r d [5.10]
ϑ
∫
2 2 2
1 1 1
* * [5.11]
n n n
ZOY i i ZOX i i XOY i i
i i i
I m x I m y I m z
= = =
∑ ∑ ∑
( )
( )
( )
2 2 2
1 1
2 2 2
1 1
2 2 2
1 1
[5.12 ]
[5.12 ]
[5.12 ]
n n
X i i i i i ZOX XOY
i i
n n
Y i i i i i ZOY XOY
i i
n n
Z i i i i i ZOY ZOX
i i
I m a m y z I I a
I m b m x z I I b
I m c m x y I I c
= =
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
( )
2 2 2 2
0
1 1
[5.13]
n n
O i i i i i i ZOY ZOX XOY
i i
I m r m x y z I I I
= =
∑ ∑
Figura 6
2 2 2
1 1
n n
i i i i i
i i
I m r m x y
==== ====
Sumando miembro a miembro las ecuaciones [5.12], obtenemos
es decir, el momento de inercia de un sólido respecto a un punto cualquiera es igual a la semisuma de los
momentos de inercia con respecto a tres ejes, ortogonales dos a dos, cuya intersección sea dicho punto.
5.- Radio de giro
El radio de giro de un sólido rígido respecto a un eje se define como la distancia al eje del punto en el
que se podría considerar toda la masa del sólido para que tuviera el mismo momento de inercia , es decir, si
K es el radio de giro
Físicamente equivale a considerar una partícula, de masa igual a la del sólido a una distancia K tal que
su momento de inercia respecto al eje es igual al del sólido.
6.- Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos)
Supongamos un sólido de masa M y dos ejes paralelos, uno de ellos arbitrario (Z) y el otro que pasa por
el centro de masas del sólido (Z C
). Si I es el momento de inercia del sólido respecto al eje Z, I C
respecto al eje
Z C
y d la distancia entre ambos ejes, el teorema de Steiner nos dice que
I = I C
2 [5.16]
es decir, el momento de inercia de un sólido respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia
respecto de otro eje paralelo al anterior, que pasa por su centro de masas, más el producto de la masa del
sólido por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes.
En efecto, sea m i
una partícula del sólido (figura 6); el
momento de inercia del sólido respecto del eje Z c
será
El momento de inercia respecto al eje Z será
como x i
= x iC
; y i
= y iC
en esta última ecuación tenemos que, debido a que el origen del sistema-C es el centro
1
n
i iC C
i
m y M y
== ==
de masas. Por tanto, definitivamente nos queda: que es lo que queríamos demostrar.
2
C
I = I + Md
2 (((( )))) 2 [5.14]
X Y Z ZOY ZOX XOY O
I ++++ I ++++ I ==== I ++++ I ++++ I ==== I
2
I = MK [5.15]
2 2 2
1 1
[5.17]
n n
C i iC i iC iC
i i
I m r m x y
==== ====
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
n n n n n
i iC iC i iC iC i i iC C i iC
i i i i i
I m x y d m x y m d d m y I Md d m y
== == ==== ==== ==== ====
3 2
M
I L ML
L
2
2 2 2
C
L
I I Md ML M ML
Figura J
/ 2 (^) / 2 2 2 3 3
/ 2 / 2
c (^) c
XOY c c
I z ρ ϑ d z ρ abdz ρ ab z ρ abc
− −
∫∫∫ ∫
3 2
XOY
M
I abc Mc
abc
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
X Y Z
I = M b + c I = M a + c I = M a + b
b) Usando el teorema de Steiner, teniendo en cuenta que d = ½ L ,
3.- Calcular el momento de inercia de un paralelepípedo homogéneo de
dimensiones a , b y c (Figura J) respecto de sus tres ejes de simetría.
Comenzaremos por calcular el momento de inercia con respecto al
plano XOY, para lo que debemos tomar un dh tal que barramos el
paralelepípedo según dicho plano. Así dh = ab d z
como ρ = M ϑ= M abc , quedará:
Pruebe el alumno a calcular que I ZOX
= M b
2 /12 y que I ZOY
= M a
2 /12.
Usando las expresiones de la ecuación [5.12]
7.- Ecuación fundamental del movimiento de rotación del sólido rígido
En el tema anterior, demostramos (ecuación [4.20]) que para un sistema de partículas
Puesto que un sólido rígido es un sistema de partículas, cumplirá la ecuación anterior. En particular, si
el sólido rota alrededor de un eje principal de inercia,
Si el eje no es principal
Si la posición del eje de rotación no cambia en el tiempo y el sólido no se deforma, el momento de inercia
será constante con lo que las ecuaciones [5.18] y [5.19] se escribirán
[5.17]
ext
dL
M
dt
( )
[5.18]
ext
d I
M
dt
( )
[5.19]
extZ
d I
M
dt
Figura 7
La ecuación [5.17] es la ecuación fundamental de la dinámica de rotación del sólido rígido (al igual
que lo es de la traslación de una partícula). La ecuación [5.18] es válida sólo si la rotación se ext
F = dp dt
realiza alrededor de un eje principal de inercia; la ecuación [5.20] se aplica cuando la posición del eje principal
no cambia con el tiempo y el sólido no se deforma; la ecuación [5.19] se aplica cuando el eje de rotación no es
principal y la ecuación [5.21] cuando dicho eje no cambia de posición con el tiempo y el sólido no se deforma.
En todos los casos, si el momento de torsión neto exterior es nulo, el momento angular del sólido rígido
se conserva (principio de conservación del momento angular) y, por tanto, L pasa a ser una constante del
movimiento. Así pues, si la ecuación [5.18] conduce a 0 ext
M =
y la ecuación [5.20] a
8.- Trabajo y Energía cinética de rotación
Supongamos que un sólido rígido rota alrededor de un eje por la acción de una fuerza F aplicada en el
punto P (Figura 7). El trabajo elemental realizado por la fuerza exterior será F
y así el trabajo total realizado por la fuerza exterior sobre el sólido rígido es
Si el eje de rotación no es principal, la ecuación anterior se transforma en
De la ecuación [5.24], deducimos que la potencia instantánea en la
rotación es:
Debido a que tanto como son perpendiculares al plano determinado por y , tenemos que ext
M
ω
r
v
cos (^) ( , (^) ) cos0 1 y, por tanto,. La expresión [5.27] es equivalente a la potencia ext
M ω = =
ext ext
M ⋅ ω = M ω
instantánea en la traslación. P = F v ⋅
La energía cinética de un sólido rígido respecto del sistema-L será (Ecuación [4.35]),
( )
[5.20]
ext
d I d
M I I
dt dt
( )
[5.21]
extZ
d I (^) d
M I
dt dt
I ω = Cte [5.22]
ω = Cte [5.23]
cos sen [5.24] ext ext
δ W = F ⋅ d = F ds θ= F r d φ γ= r × F d φ= M d φ
( )
2
1
1 2
[5.25]
ext ext
W M d
φ
φ
∫
( )
2
1
1 2
[5.26]
ext extZ
W M d
φ
φ
∫
[5.27]
ext
ext ext ext ext
W
W M dt P M M
dt
Figura 9
Decimos que un sólido rígido desliza sin rodar cuando todas sus partículas tienen la misma velocidad
en un instante de tiempo dado. En esta situación, se produce una traslación pura (Figura 8).
Decimos que el sólido rígido rueda sin deslizar cuando la longitud del arco B'E' coincide con la longitud
de BE' (Figura 9 a ). En este caso, el sólido avanza sobre el plano de forma que una sola generatriz (cilindro, aro,
anillo) o un solo punto (esfera, circunferencia) de su periferia, diferente en cada instante, se encuentra en
contacto en el plano. La definición formal de rodar sin deslizar es que la velocidad instantánea del contacto
es nula.
Para entender el significado de velocidad
instantánea del contacto igual a cero, pensemos que
la velocidad de cualquier punto del sólido rígido
puede expresarse como
donde es la velocidad del centro de masas y C
v
ω
es la velocidad angular del sólido en su rotación
alrededor del centro de masas. La velocidad del
punto de contacto (Figura 9 b ) será, en módulo,
v B
= v C
! T R [5.36]
Para otros puntos de la periferia, se ha representado gráficamente su velocidad, como composición de C
v
y (^) ω × R , en la figura 9 b.
Puesto que, por definición, v B
= 0 (en el instante en que B es el contacto, se entiende), de la ecuación
[5.36] deducimos que
La ecuación [5.37] se verifica si, y sólo si, el cuerpo rueda sin deslizar. Si la derivamos respecto al tiempo,
encontraremos otra ecuación que sólo se cumple en las condiciones mencionadas:
El eje perpendicular al plano del dibujo por el punto de contacto (dicho eje sería la generatriz de contacto
si el cuerpo es, por ejemplo cilíndrico) se denomina eje instantáneo de rotación.
La rodadura pura (rodar sin deslizar) es imposible en ausencia de rozamiento y, puesto que el contacto
instantáneo está en reposo, la fuerza de rozamiento que actúa es la estática, por lo que la última condición para
que el cuerpo ruede sin deslizar es
A pesar de que exista rozamiento, éste no realiza ningún trabajo neto. Esto se debe a que la fuerza de
rozamiento realizaría un trabajo positivo de rotación y un trabajo negativo de traslación, de igual cuantía que
el anterior, realizando un trabajo neto nulo. Así pues, si un objeto rueda, aunque exista rozamiento, la energía
mecánica del sólido rígido se conservará si el resto de fuerzas que actúan sobre él son conservativas.
Por último, decimos que el cuerpo rueda y desliza simultáneamente si la velocidad del punto de contacto
no es nula y, por tanto,
[5.35]
C
v = v + ω× R
[5.37]
C
v = ω R
[5.38]
C
a = α R
[5.39]
R E
F ≤ μ N
* [5.40]
C C
v ≠ ω R a ≠α R
En esta situación, también debe existir la fuerza de rozamiento, que ahora será la cinética ( ),
R C
F = μ N
y dicha fuerza sí realiza trabajo (el contacto instantáneo no está en reposo) y, por tanto, será imposible que se
conserve la energía mecánica del sólido rígido.
TABLA 5.1. ANALOGÍAS ENTRE EL MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Y EL DE ROTACIÓN
TRASLACIÓN ROTACIÓN
Magnitud física expresión Magnitud física expresión
Desplazamiento elemental (^) dr
Desplazamiento angular dN
Velocidad (^) v
Velocidad angular ω
Aceleración (^) a
Aceleración angular α
Masa m Momento de inercia I
Momento lineal (^) p = mv Momento angular
L z
= I T
L = I ω (*)
Impulso lineal
2
1
t
t
Fdt
Impulso angular
2
1
t
t
Mdt
Fuerza
dp
F
dt
Momento de torsión
dL
M
dt
Ecuación del m
to ( m = Cte) Ecuación del m
to F = ma ( I = Cte)
z
d
M I
dt
M = I α (*)
Energía cinética
1 2
2
2
2
C
C
E mv
E p m
Energía cinética
E c
=½ I T
2
E c
= L
2
/2 I (*)
Trabajo
2
1
W ==== F ⋅⋅⋅⋅ dr
Trabajo
2
1
W ==== M d φ
Potencia instantánea P = F v ⋅ Potencia instantánea
P = M ⋅ ω
(*) Válidas sólo para ejes principales de inercia
