¡Descarga Rotación de un sólid rígido alrededor de un eje fijo - Prof. Rodríguez y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Cinemàtica de la rotació
La cinemàtica del sòlid pot descriure’s amb magnituds angulars:
θ^ ρ^1
r (^1) 1
z ω
θ^ ρ^1 ’
r 1 ’ 1
z ω ∆ϕ
O O
d d^ d dt dt ϕG ωG^ = ϕ^ G^ αG=^ ωG On dϕ, ω i α són vectors que estan sobre de l’eix de rotació. El moviment d’un punt qualsevol del sòlid (com el punt 1) també es pot descriure mitjaçant els vectors posició ρ 1 , velocitat v 1 i acceleració a 1. 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
lim t · sin T N
v s s r s d t v a dv v a a dt
ϕ ρ θ ϕ ϕ ρ ω ρ α ρ ω
∆ → = ∆ ∆ = ∆ = ∆ ⇒ ∆ = × ∆ = × = = × + × = +
G G^ G G G G G G G G G G G G G G G
∆s
Energia cinètica de rotació
L’energia cinètica de la partícula de massa m 1 ,
r 1 m 1
z ω
O
v 1
E c (^) 1 = 12 m v 1 1^2 =^12 m r 1 12 ω^2 L’energia cinètica de rotació de tot el sòlid és: c ci^12 i i^2^2 12 z^2 E = (^) ∑ i E = (^) ∑ i m r ω = I ω I (^) z és el moment d’inèrcia del sòlid respecte de l’eix z
Moment angular del sòlid
Quan el sòlid no és simètric respecte de l’eix de rotació
z
θ^ ρ^1
r 1^ m^1
ω
v 1
l^ G 1 (^)^ O = ρG 1 × p G 1 (^) = ρ 1 p 1
l 1 o θ O
z
ρ 1 θ
r 1^ m^1
ω
v 1 l 1 o θ O
r 2 ρ 2 θ^ l^2 o
v 2
m 2
L = (^) ∑ i l i (^) i ω no són paral·lels. La component de L en la direcció de l’eix de rotació L (^) z és igual a: 2 1 1 sin 1 1 1 1
N N N (^) i N N N Lz = (^) ∑ i = liz = (^) ∑ i = ρ i (^) pi θ i (^) = (^) ∑ i = ρ i pi (^) ρ ri = (^) ∑ i = r pi i = (^) ∑ i = r m vi i i = (^) ∑ i = m ri i ω = Iz ω Quan el sòlid és simètric respecte de l’eix de rotació L i ω són paral·lels i l’equació anterior es pot escriure: L = I (^) z ω
Exemples de càlcul del moment angular
L = l 1 (^) + l 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2
cos (^2) sin sin sin 2 2
z z z
z z
L l l l l l l m v m v m r m r m r r mr I I
= = + = + ^ − =
L k k k k k k k k k ω 1 2 1 2 1 2 z 1 1^2 2 22
m m m r r r
I m r m r mr
ρ ρ ρ
= = = = = = = + =
Hi ha simetria respecte de l’eix
z p 1 r 2
θ
ρ 2
m 2
l 1 o O l 2 o
ω (^) r 1^ m^1
θ
ρ 1
p 2
Segona llei de Newton per a la rotació
z Quan no hi ha simetria respecte de l’eix de rotació (eix z )
z Quan hi ha simetria respecte de l’eix de rotació (eix z )
o^0 res ext z
d (^) I = (^) dt = τ L α
( res exto )
oz z z
dL (^) I
τ = dt = α
