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Física 2
Mayo –
septiembre
2020
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Instituto de Ciencias Básicas
Mayo – septiembre 2020
Unidad 1. Dinámica Rotacional.
Clase 1: Movimiento rotacional.
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Cinemática de la Rotación: Objeto Rígido bajo Aceleración Angular Constante, Ejercicios de Física
La cinemática de la rotación de un objeto rígido bajo aceleración angular constante. Se trata de la relación entre la posición angular, la velocidad angular y la aceleración angular de un objeto rígido en movimiento. Se incluyen ecuaciones para calcular la rapidez angular y la posición angular en función del tiempo, así como el cálculo de desplazamientos angulares y revoluciones de un objeto rígido.
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 11
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Física 2
Mayo –
septiembre
Nombre de cada Profesor
Instituto de Ciencias Básicas
Mayo – septiembre 2020
Unidad 1. Dinámica Rotacional.
Clase 1: Movimiento rotacional.
Tabla de contenido
- MOVIMIENTO ROTACIONAL
- Cuerpo rígido:
- POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR.
- CINEMATICA ROTACIONAL: OBJETO RÍGIDO BAJO ACELERACIÓN ANGULAR CONSTANTE.
- CANTIDADES ANGULARES Y TRASLACIONALES.
Figura 1. Disco girando
Ya que 𝜃 es la relación de una longitud de arco y el radio del círculo, es un número puro. Sin
embargo, por lo general, a 𝜃 se le da la unidad artificial radián (rad), donde un radián es el ángulo
subtendido por una longitud de arco igual al radio del arco. Ya que la circunferencia de un
círculo es 2 𝜋𝑟, se sigue de la ecuación 1b que 360° corresponde a un ángulo de ( 2 𝜋𝑟 ⁄𝑟 ) rad =
2 𝜋 rad. Por tanto, 1 rad = 360° ⁄ 2 𝜋≈ 57 .3°. Para convertir un ángulo en grados a un ángulo en
radianes, se usa 𝜋 rad = 180°, de modo que
𝜃(rad) =
𝜃(grados)
Por ejemplo, 60° es igual 𝜋 ⁄ 3 rad y 45° es igual 𝜋 ⁄ 4 rad.
Ya que el disco en la figura 1 es un objeto rígido, a medida que la partícula se mueve a través de
un ángulo 𝜃 desde la línea de referencia, cualquier otra partícula sobre el objeto da vueltas a través
del mismo ángulo 𝜃. En consecuencia, se puede asociar el ángulo 𝜽 con todo el objeto rígido
así como con una partícula individual , que permite definir la posición angular de un objeto
rígido en su movimiento rotacional. Se elige una línea de referencia sobre el objeto, tal como una
línea que conecte O y una partícula elegida sobre el objeto. La posición angular del objeto rígido
es el ángulo 𝜃 entre esta línea de referencia sobre el objeto y la línea de referencia fija en el
espacio, que con frecuencia se elige como el eje 𝑥. Tal identificación es similar a la forma en que
se define la posición de un objeto en movimiento traslacional como la distancia 𝑥 entre el objeto
y la posición de referencia, que es el origen, 𝑥 = 0.
Conforme la partícula en cuestión sobre el objeto rígido viaja de la posición
A a la posición B en un intervalo de tiempo ∆𝑡, como en la figura 2, la línea
de referencia fija al objeto cubre un ángulo ∆𝜃 = 𝜃
𝑓
𝑖
. Esta cantidad ∆𝜃
se define como el desplazamiento angular del objeto rígido:
𝑓
𝑖
Figura 2.
La rapidez a la que se presenta este desplazamiento angular puede variar. Si el objeto rígido gira
rápidamente, este desplazamiento puede ocurrir en un intervalo breve de tiempo. Si da vueltas
lentamente, este desplazamiento se presenta en un intervalo de tiempo más largo. Estas diferentes
relaciones de rotación se cuantifican al definir la rapidez angular promedio 𝜔 prom
como la
relación del desplazamiento angular de un objeto rígido al intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que
se presenta el desplazamiento:
prom
𝜃
𝑓
−𝜃
𝑖
𝑡
𝑓
−𝑡
𝑖
∆𝜃
∆𝑡
(2) rapidez angular promedio.
En analogía con la rapidez lineal, la rapidez angular instantánea se define como el límite de la
rapidez angular promedio conforme ∆𝑡 tiende a cero:
rapidez angular y la misma aceleración angular. Es decir, las cantidades 𝜃, 𝜔 y α caracterizan
el movimiento rotacional de todo el objeto rígido, así como las partículas individuales en el objeto.
La posición angular (𝜃), la rapidez angular (𝜔) y la aceleración angular (𝛼) son análogas a la
posición traslacional (𝑥), la rapidez traslacional (𝑣) y la aceleración traslacional (𝑎). Las variables
𝜃, 𝜔 y α difieren dimensionalmente de las variables 𝑥, 𝑣 y 𝑎 sólo por un factor que tiene la unidad
de longitud.
CINEMATICA ROTACIONAL: OBJETO RÍGIDO BAJO ACELERACIÓN
ANGULAR CONSTANTE.
Cuando un objeto rígido da vueltas respecto a un eje fijo, con frecuencia se somete a una
aceleración angular constante. Por lo tanto, se genera un nuevo modelo de análisis para
movimiento rotacional llamado objeto rígido bajo aceleración angular constante. Este modelo
es el análogo rotacional del modelo de partícula bajo aceleración constante. En esta sección se
desarrollan las correspondencias cinemáticas para este modelo. Al escribir la ecuación 5 en la
forma
E integramos desde 𝑡
𝑖
= 0 hasta 𝑡
𝑓
= 𝑡 se obtiene,
𝑓
𝑖
- 𝛼𝑡 (para 𝛼 constante) (6)
Donde 𝜔 𝑖
es la rapidez angular del objeto rígido en el tiempo 𝑡 = 0. La ecuación 6 permite
encontrar la rapidez angular 𝜔 𝑓
del objeto en cualquier tiempo posterior 𝑡. Al sustituir la
ecuación 6 en la ecuación 3 e integrar nuevamente, se obtiene
𝑓
𝑖
𝑖
1
2
2
(para 𝛼 constante) (7)
Donde 𝜃
𝑖
es la posición angular del objeto rígido en el tiempo 𝑡 = 0. La ecuación 7 permite
encontrar la posición angular 𝜃
𝑓
en cualquier tiempo posterior 𝑡. Si se elimina 𝑡 de las ecuaciones
6 y 7, se obtiene
𝑓
2
𝑖
2
𝑓
𝑖
) (para 𝛼 constante) (8)
Esta ecuación permite encontrar la rapidez angular 𝜔
𝑓
del objeto rígido para cualquier valor de su
posición angular 𝜃 𝑓
. Si se elimina 𝛼 entre las ecuaciones 6 y 7 se obtiene
𝑓
𝑖
1
2
𝑖
𝑓
) (para 𝛼 constante) (9)
Note que estas expresiones cinemáticas para el objeto rígido bajo aceleración angular constante
son de la misma forma matemática que para una partícula bajo aceleración constante. En la
siguiente tabla se compara las ecuaciones cinemáticas para movimiento rotacional y traslacional.
EJEMPLO 1.
Una rueda da vueltas con una aceleración angular constante de 3. 5 rad s
2
A) Si la rapidez angular de la rueda es 2.00 rad/s en 𝑡
𝑖
= 0 , ¿a través de qué desplazamiento
angular da vueltas la rueda en 2.00 s?
Solución:
Imagine que el disco compacto se mueve con su rapidez angular que crece en una
relación constante. El cronómetro se inicia cuando el disco en rotación a 2.00 rad/s. Esta
imagen mental es un modelo para el movimiento de la rueda en este ejemplo.
La frase “ con aceleración angular constante ” dice que se use el modelo de objeto rígido
bajo aceleración constante.
𝑓
𝑖
𝑖
2
Sustituya los valores conocidos para encontrar el desplazamiento angular en t=2.00 s:
Ya que el punto P en la figura 3 se mueve en un círculo, el vector velocidad traslacional 𝐯⃗ siempre
es tangente a la trayectoria circular y por ende se llama velocidad tangencial. La magnitud de la
velocidad tangencial del punto P es por definición la rapidez tangencial 𝑣 = 𝑑𝑠 ⁄𝑑𝑡 , donde 𝑠 es la
distancia que recorre este punto medida a lo largo de la trayectoria circular. Al recordar que 𝑠 =
𝑟𝜃 (ecuación 1a) y notar que 𝑟 es constante, se obtiene
Ya que 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝜔
, se tiene que
Es decir, la rapidez tangencial de un punto sobre un objeto rígido en rotación es igual a la distancia
perpendicular de dicho punto desde el eje de rotación, multiplicada por la rapidez angular. En
consecuencia, aunque cada punto sobre el objeto rígido tiene la misma rapidez angular, no todo
punto tiene la misma rapidez tangencial porque 𝑟 no es el mismo para todos los puntos sobre el
objeto. La ecuación 10 muestra que la rapidez tangencial de un punto sobre el objeto en rotación
aumenta a medida que uno se mueve alejándose del centro de rotación, como se esperaría por
intuición. Por ejemplo, el extremo exterior de un palo de golf que se balancea se mueve mucho
más rápido que el mango.
La aceleración angular del objeto rígido en rotación se puede relacionar con la aceleración
tangencial del punto P al tomar la derivada en el tiempo de 𝑣:
𝑡
𝑡
Es decir, la componente tangencial de la aceleración traslacional de un punto sobre un objeto
rígido en rotación es igual a la distancia perpendicular del punto desde el eje de rotación,
multiplicada por la aceleración angular.
Un punto que se mueve en una trayectoria circular se somete a una aceleración radial 𝑎 𝑟
dirigida
hacia el centro de rotación y cuya magnitud es la de la aceleración centrípeta 𝑣
2
. Ya que 𝑣 =
𝑟𝜔 para un punto P en un objeto en rotación, la aceleración centrípeta en dicho punto se puede
expresar en términos de rapidez angular como
𝑐
𝑣
2
𝑟
2
El vector aceleración total en el punto es 𝐚⃗ = 𝐚
𝑡
𝑟
, , donde la magnitud de 𝐚
𝑟
es la
aceleración centrípeta 𝑎
𝑐
. Ya que 𝐚⃗ es un vector que tiene una componente radial y una
componente tangencial, la magnitud de 𝐚
en el punto P sobre el objeto rígido en rotación es
𝑡
2
𝑟
2
2
2
2
4
2
4
Referencia:
Tomado del Serway, Física para ciencias e ingenierías, 7ma. Edición. Capítulo 10.