Materiales Estadística Empresarial I
Curso 2008-2009
Parte segunda: TEMA 9
Autoras:
María Angeles Gutiérrez y
Lourdes Salinero
Escuela Universitaria de Estudios Empresariales
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Apuntes Tema 9, Apuntes de Estadística Empresarial
Asignatura: Estadística Empresarial I, Profesor: Adolfo Hernández estrada, Carrera: Ciencias Empresariales, Universidad: UCM
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
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Materiales Estadística Empresarial I
Curso 2008-
Parte segunda: TEMA 9
Autoras:
María Angeles Gutiérrez y
Lourdes Salinero
Escuela Universitaria de Estudios Empresariales
TEMA 9
COMPLEMENTOS. NOCIONES
BASICAS DE CALCULO DE
PROBABILIDADES
Probabilidad
Probabilidad Condicionada. Teorema deBayes
Variable aleatoria
Características de una distribución deprobabilidad
Modelos de distribuciones de probabilidad
1.PROBABILIDAD:
Cálculo de probabilidades
CALCULO DE PROBABILIDADES
Es el modelo matemático en el que se
construye y se maneja el concepto de
PROBABILIDAD
LA PROBABILIDAD es el instrumento
adecuado para actuar en presencia de
incertidumbre
Fenómeno aleatorio
ESPACIO MUESTRAL
Conjunto de todos los resultados posiblesSUCESOSubconjunto del espacio muestral
S
TIPOS DE SUCESOS:•ELEMENTAL: un único punto del espaciomuestral•COMPUESTO: el que no es elemental
Sucesos particulares
•IMPOSIBLEEl suceso que no ocurre nunca•SEGUROEl espacio muestral•SUCESOS INCOMPATIBLESLos que no ocurren simultáneamente
∅
Propiedades de la probabilidad (consecuencias de los axiomas)
(
)
(
)
(
)
- Probabilidad del suceso contrario
1
2.Probabilidad del suceso imposible
0
(el reciproco no es cierto)
P
S
P
S
P
=
−
∅
=
Propiedades de la probabilidad (consecuencias de los axiomas)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3.Regla de la adicion
4.Si
P S
S
P S
P S
P S
S
S
S
P S
P S
S
P S
β
Concepciones de la
probabilidad
- Concepción de LAPLACE:
Si el espacio muestral es finito y los sucesoselementales equiprobables
:
(
)
nº de casos favorables a la realizacion de S
nº de casos posibles
nº de sucesos elementales favorables a S
nº total de sucesos elementales
P S
=
=
=
Concepciones de la
probabilidad
- Concepción FRECUENCIAL U OBJETIVISTA:
La probabilidad de un suceso es el número fijoal que tiende a aproximarse la frecuenciarelativa de ese suceso a medida que seaumenta el número de pruebas o experienciasdel fenómeno aleatorio.
Concepción SUBJETIVA O PERSONALISTA:
La probabilidad subjetiva o grado de creencia de unsuceso S es el cociente entre lo que cada decisor estádispuesto a apostar por la ocurrencia del suceso S y elpremio o consecuencia que obtiene en caso de que Socurra
: apuesta
: premio si
ocurre
Y
P S
X
Y
X
S
=
Concepciones de la
probabilidad
- PROBABILIDAD CONDICIONADA
Permite calcular probabilidades incorporando informaciónadicional
(
)
(
)
(
)
(
)
Definicion
Sea un suceso
con
Para cualquier suceso
A
P
A
S
P S
A
P S
A
P
A
Ejemplo
Una fábrica produce piezas de dos tipos: A y B.
A B M AM
MUESTRA (n)
piezas de tipo A piezas de tipo B
duran mas de 10 años
son del tipo A y duran mas de 10 años
n n n n
− − − −
(
)
(
)
(
)
AM
AM
A
A
n
P M
A
n
n
P M
A
n
n
P
A
n
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
La probabilidad condicionada esta bien definida:Axioma 1:
/
1
Axioma 2:
/
0
Axioma 3:
/
/
i
i
i
i
P
A
P S
A
P
S
A
P S
A
∞
∞ =
=
Ω
= ≥
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
U
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD
TOTAL
{
}
(
)
(
)
(
)
1
2
1
Sea
,
,....,
un sistema completo de sucesos
suceso:
/
n
n
i
i
i
S
S
S
A
P
A
P
A S
P S
=
∀
=
∑
1
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
7
S
A
Ejemplo
5 bolasBlancas y negras
Problema:
calcular la probabilidad de extraer bola blanca
Posibles composiciones de la urna
4b. 1n.
3b. 2n.
1
S
2
S
2b. 3n.
3
S
1b. 4n.
4
S
4
1 1
1
4
4
/
/
......
/
4 1
3 1
2 1
1 1
5 4
5 4
5 4
5 4
i
i
i
P B
P B
S
P S
P B
S
P S
P B
S
P S
=
=
=
=
=
=
=
∑
TEOREMA DE BAYES
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
Sea
,
,....,
un sistema completo de sucesos
suceso con
0:
/
/
/
/
n
j
J
j
J
j
n
i
i
i
S
S
S A
P A
P A S
P S
P A S
P S
P S
A
P A
P A S
P S
=
∀
≠
=
=
∑
(
)
(
)
(
)
: probabilidades a priori
/
: verosimilitudes
/
: probabilidades a posteriori
i
i
i
P S P
A S
P S
A
Ejemplo
5 bolasBlancas y negras
Problema:
¿cuál es la composición mas probable de la urna si
extraída una bola ha resultado ser blanca?
A: Bola blanca
TEMA 9
COMPLEMENTOS. NOCIONES
BASICAS DE CALCULO DE
PROBABILIDADES
3.VARIABLE ALEATORIA
PROBLEMA:
El espacio de probabilidad se construye a
partir de conjuntos
Es más fácil construirlo a partir de
números reales
[
]
:
0,
P
β →
SOLUCIÓN:
Variable aleatoria:
:
ξ
Ω →
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD:
Valores de una variable aleatoria y
sus probabilidades
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN:
Es un instrumento para manejar una
distribución de probabilidad
(
)
(
)
Definicion:
F
x
P
x
ξ
=
≤
Propiedades de la función de distribución
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
;
0
- Si
(
es monotona no decreciente)
,
;
es siempre continua por la derecha
no siempre es continua por la izquierda
F
F
x
x
F
x
F
x
F
x
x
x
P x
x
F
x
F
x
F
x
F
x
ξ
∞
=
−∞
=
<
⇒
≤
∀
<
≤
=
−
TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETA
CONTINUA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Su función de distribución es constante
salvo un número finito o infinito
numerable de puntos de discontinuidad o
saltos.
x
(
)
F
x
Consecuencias de la definición
Una variable aleatoria discreta sólo toma un númerofinito o infinito numerable de valores con probabilidadno nula.
Los puntos x en los que F(x) es continua tienenprobabilidad nula.
Si
son los valores de la variable
con probabilidad no nula:
(
)
1 j
j
i
i
F
x
P x
=
=
∑
1
2
,
,......,
,.....
i
x
x
x
Función de cuantía
Es la función que asigna probabilidades a la
variable aleatoria discreta:
(
)
i
i
P
x
p
i
Propiedades:
1
0
1
i
i
i p
i
p
∞
≥
∀
=
∑
- Interpretación gráfica:
a
b
(
)
f
x
b a
P a
b
f
x dx
ξ
Caracterización de una función de
densidad
f
x
f
x dx
∞
−∞
52,
48,
45,
41,
38,
34,
31,
27,
24,
20,
300 200 100
0
52,
51,
49,
47,
45,
44,
42,
40,
38,
37,
35,
33,
31,
30,
28,
26,
24,
23,
21,
19,
140 120 100
80 60 40 20
0
53,
52,
50,
49,
48,
47,
46,
45,
43,
42,
41,
40,
39,
38,
36,
35,
34,
33,
32,
31,
29,
28,
27,
26,
25,
24,
22,
21,
20,
19,
140 120 100
80 60 40 20
0
La integral de Stieltjes permite unificar los dos
tipos de variables aleatorias
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1
1
2
2
1
1
x x
x
P x
x
F
x
F
x
dF
x
P
x
dF
x
dF
x
−∞
∞ −∞
<
≤
=
−
=
≤
=
∫
∫
∫
4.2-VARIANZA
(
)
(
)
2
2
V
E
ξ
ξ
μ
σ
⎡
⎤
=
−
=
⎣
⎦
(
)
(
)
(
)
2
V
x
dF
x
ξ
μ
∞
−∞
=
−
∫
Propiedades de la varianza
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
0
0 si
es constante
La varianza es una medida de dispersion a la media
V V
c
c
V
c
c V
V
E
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
μ
≥
=
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
4.3-DESVIACIÓN TÍPICA
Inconveniente de la varianza: está expresada en unidadesde la variable al cuadrado lo que dificulta suinterpretación.Solución: la Desviación Típica
(
)
(
)
2
D
V
ξ
ξ
σ
σ
=
=
=
Hereda todas las propiedades de la varianza.
4.4-VARIABLE TIPIFICADA
(
)
(
)
variable aleatoria con
y
Su VARIABLE TIPIFICADA:
=
E
D
ξ
ξ
μ
ξ
σ
ξ μ
η
σ
=
=
Propiedades de la variable tipificada:
(
)
(
)
E
V
η
η
EJERCICIO
Consideremos un juego de azar y supongamos que laganancia de un jugador viene dada por una variablealeatoria1.
Expresar en términos de la esperanza de
cuando
el juego es justo.
Utilizando la condición pedida en el apartado anterior,comprobar que el juego no es justo considerando lassiguientes modalidades de juego:
Color (rojo o negro)
Número (0 al 36)
Docena (3 docenas
¿Qué cantidad
y
debería pagar el casino por una
apuesta de x pesetas en cada modalidad para que eljuego fuese justo?
ξ
ξ
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD (I)
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
(
)
2
2
2
- Caso particular.
1,
: nº de exitos en una prueba
1.1.Funcion de cuantia
=0,
0
1
;
1
1.2.Esperanza1.3.Varianza
1
B
p
P
p
P
p
E
p
V
E
p
p
p
p
p
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ ξ
ξ
=
=
−
=
=
=
⎡
⎤
=
−
=
−
=
−
⎣
⎦
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD (II)
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
(
)
- Caso general.
,
: nº de exitos en
pruebas
2.1.Funcion de cuantia
=0,1,....,
1
2.2.Esperanza2.3.Varianza
1
n
x
x
B n p
n
n
n
P
x
p
p
x
E
np
V
np
p
ξ
ξ
ξ
ξ ξ
−
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
−
EJEMPLOS
Un laboratorio quiere probar la eficacia de una vacuna.En circunstancias normales se estima que contraerán laenfermedad un 40% de quienes se expongan al contagio.Para el estudio, el laboratorio elige 12 voluntarios queestuvieron expuestos al contagio. Identificar el modelo ycalcular la probabilidad de que ninguno de los expuestoscontraiga la enfermedad.
La probabilidad de que un estudiante que empieza lacarrera la termine, es 0,4. Calcular la probabilidad de quede 5 estudiantes nuevos:a)
Termine la carrera 1
b)
Termine la carrera al menos 1
5.1.2. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
1.
Descripción del experimento Es un experimento binomial para
n
muy grande,
p
muy pequeño, siendo
np
no mayor que 7.
(Ley de los casos raros)Cuando se dan estas condiciones la DistribuciónBinomial presenta problemas de cálculo.
EJEMPLO
Una compañía de seguros sabe que el 0.05% de lapoblación muere de un accidente extraño cada año. Tiene10.000 pólizas. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga queindemnizar en un año a 50 personas?
Definición de la variable aleatoria
: numero de exitos en n pruebas
y
pequeño
n
p
Función de cuantía
(
)
(
)
Valores de
: 1,2,.....
lim
1
n
x
x
n
n
P
x
p
p
x
ξ
ξ
−
→∞
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
(
)
(
)
(
)
sea
n
x
x
x
n
x
n
x
x
x
n
x
n
P
x
p
p
p
x
n
n
P
x
x
n
n
n
e
x
n
x
n
n
n
x
λ
−
−
−
−
→∞
(
)
(
)
! x
P
x
e
P
x
λ
λ
ξ
ξ
λ
=
=
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
[
]
[
]
1.Esperanza
2.Varianza
E
V
ξ
λ
ξ
λ
=
=
EJEMPLOS
- ¿Cuál es la probabilidad de que en una
reunión de 500 personas haya 10 quecumplan años el mismo día? (Problema delcumpleaños)
- En la Segunda Guerra Mundial, para
realizar un bombardeo aéreo sobre el sur deLondres con 537 bombas, se dividió la zonaen 576 áreas pequeñas. ¿Cuál es laprobabilidad de que en un área determinadacayeran dos o mas bombas?