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SOLUCIÓN PROBLEMAS TEMA 9 (problemas 52 a 66)
PROBLEMA 52
Dados distinguibles: 36 puntos muestrales 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66
A=suma de caras impar = ⎨12,14,16,21,23,25,32,34,36,41,43,45,52,54,56,61,63,65⎬
B=al menos un 1=⎨11,12,13,14,15,16,21,31,41,51,61⎬
A∩B=⎨12,14,16,21,41,61⎬
A∪B=⎨11,12,13,14,15,16,21,23,25,31,32,34,36,41,43,45,51,52,54,56,61,63,6,5⎬
A∩ B =⎨23,25,32,34,36,43,45,52,54,56,63,65⎬
Dados no distinguibles:21 puntos muestrales 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 22 23 24 25 26 3 33 34 35 36 4 44 45 46 5 55 56 6 66
A=suma de caras impar = ⎨12,14,16,23,25,34,36,45,56⎬
B=al menos un 1=⎨11,12,13,14,15,16⎬
A∩B=⎨12,14,16⎬
A∪B=⎨11,12,13,14,15,16,23,25,34,36,45,56⎬
A∩ B =⎨23,25,34,36,45,56⎬
a. Sólo ocurre A: A ∩ B ∩ C b. Los tres sucesos ocurren: A ∩ B ∩ C c. Por lo menos dos ocurren:
( A^ ∩^ B^ ∩^ C^ ) ∪^ ( A^ ∩^ B^ ∩^ C^ ) ∪^ ( A^ ∩^ B^ ∩^ C^ ) ∪^ (^ A^ ∩^ B^ ∩ C )
d. Ocurren dos y no más:
( A^ ∩^ B^ ∩^ C^ ) ∪^ ( A^ ∩^ B^ ∩^ C^ ) ∪^ ( A^ ∩^ B^ ∩ C )
e. No ocurren más de dos: A ∩ B ∩ C f. Ocurren A y B pero no C: A ∩ B ∩ C g. Ocurre por lo menos uno: A ∪ B ∪ C
h. Ocurre uno y no más: ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )
i. No ocurre ninguno: A ∪ B ∪ C
PROBLEMA 54
a P mujeres
b P bres
c P al menos mujer P mujer mujeres P mujer P mujeres
) ( hom )
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝⎜^
⎝^ ⎜^
PROBLEMA 55
C = =
PROBLEMA 56
N- nº de negras B-nº de blancas
3 (^12 ) 9 3
N N
N B
suceso A: 1ªbola blanca suceso B: 2ª bola roja
a) con reemplazamiento, Los dos sucesos son independientes, ya que al devolver cada bola extraída a la urna siempre hay el mismo número de bolas blancas y rojas y el resultado de la 2ª extracción es independiente del resultado de la 1ª extracción.
P A ( ∩ B )= =
b) sin reemplazamiento. Los dos sucesos ya no son independientes. Regla del producto:
P B A
P A B
( / ) P B P A B P B A P A
PROBLEMA 61
suceso A =obtener un resultado par= ⎨2,4,6⎬ suceso B =obtener una cara blanca=⎨4,5,6⎬
P A ( ∪ B ) = P A ( ) + P B ( ) − P A ( ∩ B )= + − =
PROBLEMA 62
[^ ( )^ (^ )]
P A B P A B
P A B
P B
P A B
P B
P A B A B
P B
P B
P B
PROBLEMA 63
Leer El País- suceso A Leer El Mundo- suceso B
P A
PB P A B
P A
P A B
A
PB
P A P B P A B
PROBLEMA 64
Suceso E=error en el cheque Suceso F=cheque con fondos
P E F P F P E F
P F E
P E F
P E
P E F P F
P E F P F P E F P F
x x x
850 0 029^ 0 98^
situación de inflación suceso i “ estabilidad suceso e “ depresión suceso d lanzar el modelo al mercado suceso L P i P e P d P L/i P L e P L d P L P L/i P i P L e P e P L d P d
PROBLEMA 66
Suceso pasar bola negra = suceso A 1 “ “ “ roja = suceso A 2 “ extraer bola roja =suceso R
P A P A
a P R P R A P A P R A P A
b P A R
P A R
P R
P R A P A
P R A P A P R A P A
1 2
1 1 2 2
1
1 1 1 1 1 2 2
a.
P
P P
P P
b. ( )
x
x
x
x
x
x
F x
c.
2. 5 2 ( 2 )^33
P P F
P P P P
PROBLEMA 71
xi 1 3
P (ξ = xi )
2 2 2
2 2 2
= + − =
∑ ∑
∑
i i i i
i i
V x P x x P x
E xP x
xi 10.000 -20.
P (ξ = xi ) 0.6^ 0.
E^ ( ) ξ^ = 10. 000 x 0. 6 − 20. 000 x 0. 4 =− 2. 000
PROBLEMA 73
xi 0 1 2 3
P (ξ = xi ) 0.35^ 0.30^ 0.20^ 0.
= +^2 +^2 −^2 = −^2 =
V x x x
E x x x x ξ
ξ
PROBLEMA 74
(^0 2 )
0 0 0 4
0 4
x
x x
x
x (^) x f x resto a
odt x
F x odt t^ dt t^ x x
odt xdx odt x
−∞
−∞
−∞
⎪ =^ <
⎪ ⎝^ ⎠
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
4 3 4
(^0 ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 0 0
b
E xf x dx x x^ dx x
Var E E
E x f x dx x x^ dx x
ξ
∞
−∞
∞
−∞
∫ ∫
∫ ∫
⎩
⎨
⎧ (^) − < <
resto
K(x ) x f (x) 0
5 2 5 10
a)
125
(^10513)
5
−^2 = =
∫ K(x ) dx K
b)
( ) ( )
5 775 125
3
875 875 775 7656 093
5 875 125
3
10
5
2 2 2
2 2 2 2
10
5
2
E( ) x (x ) dx.
E. E....
E( ) x (x ) dx.
= − =
= − = − = − =
= − =
ξ
c)
(^5 2 ) 2 5 (^5 10 )
5 10
x
x
x
odt x
F x odt t dt x x x x
odt x dx odt x
−∞
−∞
−∞
⎪ =^ <
⎪ ⎣^ ⎦
d)
8
6
5 2 0208 125
3
P( 6 ξ 8 ) (x ) dx.
SOLUCIÓN PROBLEMAS TEMA 12 (problemas 78 a 94)
PROBLEMA 78
éxito - accidente debido a la fatiga P(éxito) 1 0. 5 fracaso- accidente NO debido a la fatiga P(fracaso) 1- 4 0. 5
p
p
ξ : nº de accidentes debidos a la fatiga de 12 elegidos al azar
ξ B (12, 0.2 )^12
P ( x ) 0.2 0.8 x^ x x 0,1, 2.... x
ξ = = ⎛⎜^ ⎞⎟ − =
P ( ξ = 2) =0.
PROBLEMA 79
éxito - sandía madura p(éxito) 0. fracaso- sandía no madura 1- 0.
p p
⎧^ =^ =
ξ : nº de sandias maduras de 10 elegidas al azar
ξ B (10, 0.95 )^10
P ( x ) 0.95 0.05 x^ x x 0,1,... x
ξ = = ⎛⎜^ ⎞⎟ − = ⎝ ⎠
a. P(ξ≥8) = P(ξ=8) + P(ξ=9) + P(ξ=10)=0.0746+0.3151+0.5987=0.
b. P( 7 ≤ ξ ≤ 9) = P(ξ=7) + P(ξ=8) + P(ξ=9)=0.0105+0.0746+0.3151 = 0.
c. P(ξ ≤ 8)= 1 – P(ξ> 8)=1- [ P(ξ=9) + P(ξ= 10) ]=1-(0.3151+0.5987)=0.
PROBLEMA 80
80 40 2 3 120 5
PROBLEMA 83 NO!!
PROBLEMA 84
Si en una hora llegan en promedio 210, en un minuto llegan 3.
ξ - número de automóviles que llegan por minuto
ξ P ( 3.5) P(ξ >10) = 0.0007+0.0002 + 0.001 = 0.
PROBLEMA 85 NO!!
PROBLEMA 87
éxito - respuesta correcta p(éxito) 1 5 fracaso- respuesta incorrecta 1- 4 5
p p
ξ : nº de respuestas correctas en 20 preguntas
ξ B ( 20, (^15) )
a. E(ξ) = 20x1/5 = 4 V(ξ) = σ ξ^2 = 20 x 1/5 x 4/5 =3.2 σ ξ =1.
b. P(ξ≥ 12) = P(ξ=12) + P(ξ=13) + ……..+ P(ξ=20)=0.
c. P(ξ=0)=0.
PROBLEMA 88
éxito – tener accidente P(éxito) = p = 0.02 n=250 turistas np=
ξ - número de turistas que tienen accidente ξ ∼ P ( 5 )
a. P(compañía pierda dinero) = P(ξ > 5) =1 – P(ξ ≤ 5)= = 1 – (0.0067+0.0337+0.0842 + 0.1404 + 0.1755 + 0.1755) = 0.
b. P(beneficios superiores a 100.000 ptas) = P (ξ ≤2)= 0.0067 + 0.0337 +
( ) ( )
( )
0.9 0.
0 0.
1 0 1 : cantidad demandada en toneladas ( ) 0
. 0.9 0.9. 0.8 0.9 0. . 0.
x f x resto
a P dx b P dx
c E Tn
⎧ <^ < = ⎨ ⎩
< = = < < = =
=
∫ ∫
PROBLEMA 90
[ ] [ ] ( )
4 4
1 0 4 ( ) (^4) 0
1 1 1
. 0.01 4 - 0.01 3. a^4 4 a^4
x f x resto
a P ξ a P ξ a dx x a a
⎧ (^) < < = ⎨⎪ ⎪⎩
> = > = = ⎛^ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ∫ ⎝ ⎠
( ) ( )
( )
20
exito- nºmayor que a ( ) 0. . fracaso- nºmenor que a ( ) 0. : nº de veces que seleccionamos un nº mayor que a 20 B 20,0.01 0.01 0.99 0,1,...
20 5 0. 5
x x
P exito b P fracaso
P x x x
P
−
⎧ = ⎨ (^) = ⎩
⎛ ⎞ = = (^) ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∼
01 0.99^5
PROBLEMA 91
( )
15
0
1 0 30
- min ( ) (^30) 0 1 . 15 0. 30
x x utos f x resto
a P ξ dx
⎧ (^) < < = ⎨⎪ ⎪⎩
< = (^) ∫ =
