2. Estad´ıstica
2.2) Intervalo de confianza para la media de la normal con varianza
conocida II. La distribuci´on t de Student. El caso de la varianza
desconocida: el T-estad´ıstico. Intervalo de confianza para la media
de la normal con varianza desconocida.
•Intervalo de confianza para la media de la normal con varianza conocida II
Interpretaci´on del nivel de confianza: si tom´asemos todas las posibles muestras de
tama˜no n= 10 de an´alisis repetidos de la cantidad presente de ´acido s´orbico en la botella
de refresco, y para cada una de ellas hici´esemos el c´alculo anterior, el 95% de los intervalos
encontrados, aproximadamente, contendr´ıan a µ.No sabemos si el que hemos encontrado
la contiene o no, ya que µes desconocida (si no lo fuese, no la estimar´ıamos ni buscar´ıamos
intervalos de confianza para ella), pero tenemos una confianza de que sea as´ı del 95% (o
de 0.95). ´
Esta es la interpretaci´on del nivel de confianza γen los intervalos de confianza.
Es importante remarcar que NO podemos decir que µ∈(21.39030 ,23.24971) con una
probabilidad de γ, puesto que “µ∈(21.39030 ,23.24971)” NO es ning´un suceso del que
podamos calcular su probabilidad (es una afirmaci´on que ser´a cierta o falsa, aunque no lo
sepamos, pero que no est´a sometida al azar). En el momento en que hemos substituido
¯
Xpor ¯x, hemos dejado de poder hablar de “probabilidad”. Lo que hemos de decir, en su
lugar, es que µ∈(21.39030 ,23.24971) con una confianza de γ.
Hemos comentado que si aumentamos γ, aumenta la longitud (lo que es l´ogico, ya que
deseamos tener mayor confianza a partir de los mismos datos). Si aumentamos el tama˜no
muestral n, disminuye la longitud (cosa deseable, pues tendremos menos incertidumbre al
estimar µpor ¯x). Nos podemos preguntar en el ejemplo anterior cu´al ser´ıa el tama˜no de
muestra nnecesario para que la longitud del intervalo que se encuentra a partir de una
muestra de ese tama˜no, con nivel de confianza 95% (γ= 0.95), no sea mayor que 1.2.
Para contestar a esta cuesti´on planteada imponemos que la longitud sea menor o igual
que 1.2 :
2×1.96 ×1.5
√n≤1.2⇔2×1.96 ×1.5
1.2≤√n⇔
n≥2×1.96 ×1.5
1.22
= 4.92= 24.01 ,
as´ı que con n= 25 ya se consigue (´este es el menor valor de n; cualquiera mayor tambi´en
lo cumplir´a).
En general, la longitud es ≤ℓsi
n≥2b σ
ℓ2
•Distribuci´on de la media muestral ¯
Xen el caso normal con varianza desco-
nocida. El T−estad´ıstico
Cuando σ2sea tambi´en un par´ametro desconocido, no podremos utilizar el Z−estad´ıstico
para hacer inferencias sobre µ. En su lugar, usaremos el T−estad´ıstico, que se obtiene del
1
