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TEMA 11: ÓPTICA FÍSICA I: POLARIZACIÓN.
11.1. Polarización de la luz.
En el tema 7 vimos que la luz es una onda electromagnética. En este tema y en los dos siguientes vamos a estudiar algunas propiedades de la luz asociadas con su carácter ondulatorio.
11.1.1. Condiciones sobre los campos impuestas por las ecuaciones de Maxwell.
Los campos eléctrico y magnético verifican la ecuación de ondas que, en ausencia de cargas libres y corrientes, se escriben:
B 0
v t
B
E 0
v t
E
2
2 2
2
2
2 2
2
ρ ρ
ρ ρ
donde (^2)
2 2
2 2
2 2 x y ∂z
∇ = y v = (ε μ) −^1 /^2. Las soluciones más sencillas
de esta ecuación son las ondas planas, que podemos escribir
B(z ,t) B cos( t kz)
Ez,t E cos t kz, 0
0 = ω −
ρ = ρ ω −
ρ ρ
donde suponemos que z es la dirección de propagación de la onda. En la anterior expresión ω es la frecuencia angular de la luz, que no varia al atravesar medios de propiedades diferentes y k es el número de ondas en el medio de propagación, de modo que:
vc nk^0
c v
k =
ω
ω
siendo k 0 el número de ondas en el vacío.
Las ecuaciones de Maxwell, de las que se ha deducido la ecuación de ondas anterior, imponen las siguientes relaciones entre los campos eléctrico y magnético:
- Son ortogonales entre sí.
- Están en fase.
- Son perpendiculares a la dirección de propagación.
- Los valores del campo eléctrico E y magnético B están acoplados a través de la relación E = c·B.
Por ejemplo, una posible onda electromagnética, es la representada en la siguiente figura 32.3:
La forma matemática es, en este caso, la siguiente
B(z ,t) yˆB cos( t kz)
Ez,t xˆE cos t kz, 0
0 = ω −
ρ = ω −
ρ
donde xˆ, yˆson los vectores unitarios del sistema coordenado.
Pero esta no es la única forma en que los campos pueden variar en el tiempo verificando las condiciones indicadas anteriormente. Por ejemplo, también podríamos dibujar la siguiente evolución (tan sólo se representa el campo eléctrico, recuérdese que el magnético es perpendicular siempre al eléctrico): (Figura 1).
Así pues, el vector campo eléctrico (a partir de ahora siempre consideraremos el vector campo eléctrico porque en Óptica el campo magnético es, en general, mucho menos importante) tiene libertad para oscilar en el plano perpendicular a la dirección de propagación de una forma u otra. Pues bien, el estado de polarización de la luz es la forma particular en que el campo eléctrico oscila en este plano. De la primera forma que hemos mostrado decimos que está linealmente polarizada y de la segunda que está circularmente polarizada.
En general, la luz puede estar elípticamente polarizada. El estudio de la polarización de la luz es importante porque la reflexión y la refracción
Figura 32.3. Vectores campo eléctrico y magnético en una onda e.m. Los campos están en fase y perpendiculares a la dirección de propagación. (Polarización lineal).
Figura 1. Polarización circular de una onda e.m. Obsérvese que, visto de frente, el campo eléctrico describe una circunferencia.
En general, la figura de polarización es una elipse de la cual los anteriores son algunos ejemplo. Veamos que, efectivamente, se trata de una elipse. Tomamos z = 0 y partimos de:
= ω E E cos t
E E cos t y 0 y
x 0 x
Teniendo en cuenta que cos(ω t+φ) =cosωtcosφ−senωtsenφ
podemos escribir:
= ω φ− ω φ
= ω
cos tcos sen t sen E
E
cos t E
E
0 y
y
0 x
x
es decir:
= cosφ−senωtsen φ E
E
E
E
0 x
x 0 y
y
por otra parte podemos escribir:
senφ =cosωtsen φ E
E
0 x
x
Elevando estas dos últimas ecuaciones al cuadrado y sumándolas se obtiene finalmente:
φ= φ
0 x 0 y
x y
2
0 y
y
2
0 x
x (^) cos sen E E
E E
E
E
E
E
que es la ecuación general de una elipse cuyos ejes principales forman un ángulo χ tal que tg2χ=2E0xE0ycosφ/(E0x^2 −E0y^2 ) con respecto a los ejes x e y.
Si tomamos, en la ecuación anterior φ=0, tenemos que la ecuación anterior se reduce a:
Figura 3. Polarización circular. El extremo del vector campo describe una circunferencia, sobre el plano xy representado en el dibujo.
y 0 y
0 x x
2
0 y
y 0 x
x 0 x 0 y
x y
2
0 y
y
2
0 x
x (^) E E
E
0 ;E
E
E
E
E
E E
E E
E
E
E
E
que es la ecuación de una recta de pendiente α= arc tg(E0x/E0y), como vimos antes.
Si tomamos φ=π/2 y , E0x = E0y nos queda:
2 0
2 y
2 x
2
0
y
2
0
x (^1) E E E E
E
E
E
que es la ecuación de un círculo de radio E 0 (polarización circular).
En general, los tipos de polarización pueden resumirse en la siguiente figura (figura 4), (el eje horizontal corresponde a E0x y el vertical a E0y, la flecha indica el sentido de giro y el desfase está indicado en cada caso).
Al hacer la figura hemos tomado E0x≠E0y: si los hubiésemos tomado iguales, las figuras centrales corresponderían a polarización circular.
11.1.3. Luz natural y luz parcialmente polarizada. Grado de polarización.
En los apartados anteriores hemos descrito la polarización de la luz. Para ello hemos supuesto que ésta permanece constante durante un tiempo indefinido. Pero las ondas electromagnéticas reales tienen una duración finita (una onda armónica es una idealización) y a menudo esta duración es muy breve.
Luz natural: consideremos, por ejemplo, la luz emitida por una lámpara incandescente. Esta luz es el resultado de la superposición de multitud de paquetes de onda emitidos por cada uno de los átomos de la fuente. En una lámpara incandescente la emisión se produce por emisión espontánea, un proceso que “dura” del orden del 10-10^ s. Cada uno de estos átomos emite un
Figura 4. Tipos de polarización, relacionados con la fase φ.
El dicroísmo es la propiedad que tienen algunas sustancias de absorber la luz más o menos dependiendo de su estado de polarización.
Lo más usual es que la absorción sea diferente para polarizaciones lineales. En este caso el medio dicroico puede ser caracterizado por la dirección de su eje de transmisión. La componente de polarización de la luz paralela a este eje sufre una absorción que es mínima (cero, idealmente). La componente de polarización de la luz que es perpendicular al eje de transmisión sufre, por el contrario, una absorción máxima. Cuando esta última absorción es completa (o casi) lo que se tiene es un polarizador lineal. Así pues, un polarizador lineal es aquél elemento que por absorción selectiva sólo transmite luz linealmente polarizada a lo largo de su eje de transmisión. Un ejemplo de cómo opera un polarizador puede verse en la figura 33.34.
Polaroides : un ejemplo de polarizador lineal que funciona por dicroísmo es el de los polaroides. Un polaroide es una película de polivinilo en el cual, por imbibición líquida, se introducen cristales microscópicos fuertemente dicroicos (generalmente sales de yodo, que transmiten del orden del 80% en una polarización y del orden del 1% en la otra) que se orientan después estirando o laminando el soporte plástico.
Ley de Malus : si sobre un polarizador lineal incide luz natural es evidente que a la salida se obtendrá luz linealmente polarizada (paralelamente al eje de transmisión del polarizador) con la mitad de la intensidad de la luz incidente. Para verlo basta con recordar que la luz natural puede entenderse como la suma incoherente de dos luces linealmente polarizadas ortogonales entre si: el polarizador absorbe una de ellas y transmite la otra.
Figura 33.34. Demostración de la polarización de microondas. El campo eléctrico de las microondas es vertical, paralelo a la antena dipolar vertical. Izquierda: cuando los hilos metálicos del sistema absorbentes son verticales, se establecen corrientes eléctricas entre ellos y se absorbe la energía, como se indica con la baja lectura del detector. Derecha: cuando los hilos son horizontales no se crean corrientes y se transmiten las microondas: lectura elevada del detector.
¿Qué ocurre si sobre un polarizador lineal incide luz linealmente polarizada de intensidad I 0? Es evidente que el resultado dependerá de la relación entre la dirección en la que oscile la luz incidente y la dirección del eje de transmisión del polarizador. Por ejemplo, si el eje de transmisión del polarizador se encuentra alineado a lo largo del eje x y la luz incidente está linealmente polarizada a lo largo de ese eje (es decir, es luz P (^) 0º) entonces el polarizador transmitirá toda la luz y si, por el contrario, la luz incidente está linealmente polarizada a lo largo del eje y (es decir, es luz P90º), entonces el polarizador absorberá toda la luz.
La ley que gobierna qué intensidad es transmitida por un polarizador lineal cuando sobre él incide luz linealmente polarizada se conoce como Ley de Malus y dice que la intensidad transmitida vale
I= I 0 cos^2 θ
siendo θ el ángulo entre el plano de polarización de la luz incidente y el eje de transmisión del polarizador. Demostrar esta ley es fácil. Consideremos el siguiente diagrama (Figura 33.35).
Si sobre el primer polarizador incide luz natural de intensidad 2I 0 , a la salida tenemos luz linealmente polarizada de intensidad I 0. Al incidir esta luz en el segundo polarizador (que recibe el nombre de analizador), podemos descomponerla en dos componentes: una paralela al eje de
transmisión del polarizador que vale E cosθ, con E = I 0 , y otra
perpendicular a dicho eje que vale E senθ. La componente perpendicular es absorbida y la paralela es transmitida. La intensidad de esta componente paralela es I=( E cosθ) 2 , que es el resultado buscado.
Si lo que incide sobre el polarizador lineal no es ni luz natural ni luz linealmente polarizada sino, el caso más general de luz elípticamente polarizada con polarización parcial, no hay una ley tan sencilla que proporcione la intensidad a la salida. No obstante el caso usualmente de
Figura 33.35. Dos láminas polarizadoras con sus ejes de transmisión formando un ángulo θ. La segunda lámina transmite solamente la componente E cosθ. Si la intensidad entre láminas es I 0 , la transmitida finalmente es I 0 cos (^2) θ.
En este fenómeno se basan las gafas polarizadoras que evitan deslumbramientos.
Hay que resaltar que aunque, para incidencia en ángulo de Brewster, la luz reflejada está totalmente polarizada, la luz transmitida está parcialmente polarizada, es decir, T no llega a anularse para ninguna de las dos componentes de polarización en ningún ángulo de incidencia.
Lectura recomendada: Polarización por dispersión , P. Tipler, página 1102, P. Fishbane página 1031.
11.4. Retardadores. Los retardadores son elementos que sirven para modificar el estado de polarización de la luz. Se trata de láminas planoparalelas hechas con medios anisótropos, es decir, medios en los que el valor del índice de refracción depende de la polarización de la luz. (Figura 11.5).
Para fijar ideas, consideremos un medio anisótropo uniáxico. En estos, el índice de refracción toma un valor n o para la luz linealmente polarizada a lo largo de los ejes x e y y un valor n e para la luz linealmente polarizada a lo largo del eje z (obviamente la denominación x , y , z es arbitraria, lo que hemos hecho es denominar z al eje en que el índice es diferente, a este eje se le llama eje óptico). Para mantener la discusión en un nivel lo más sencillo posible, vamos a suponer que las aristas de la lámina planoparalela
Figura 33.37. Polarización por reflexión. La onda incidente no está polarizada y tiene componentes de E paralela al plano de incidencia (flechas) y perpendicular (puntos). Si el ángulo incidente es el de Brewster, la onda reflejada está totalmente polarizada, con E perpendicular al plano de incidencia (polarización s).
Figura 33.38. Luz polarizada incidente con el ángulo de Brewster: no hay rayo reflejado. La polarización p, paralela al plano de incidencia se representa por flechas. La polarización perpendicular s por puntos.
coinciden con los ejes x , y , z. Supongamos ahora que un haz de luz incide normalmente sobre una de las caras de la lámina.
Si colocamos la lámina de forma que la luz se propaga a lo largo del eje z es evidente que no ocurre nada extraño ya que en este caso el vector campo incidente está contenido en el plano y por tanto sea cual sea la orientación de este vector campo, el índice de refracción que “ven” sus componentes x e y es el mismo. Así pues, si la luz se propaga a lo largo del eje óptico de la lámina, ésta se comporta como un medio isótropo.
Bien distinta es la situación si la luz se propaga a lo largo de una dirección perpendicular al eje óptico, digamos a lo largo de la dirección, digamos a lo largo de la dirección y. En este caso, caso el vector campo incidente está contenido en el plano y, como los índices son diferentes para los campos que oscilan a lo largo de estas direcciones, ocurrirá que la componente x y la componente y de polarización se propagarán a velocidades distintas. Esto implica que se introducirá un desfase entre estas componentes y, por tanto, que el estado de polarización de la luz será modificado. Veámoslo cuantitativamente.
La luz incidente puede escribirse como
= ω −
E E cos t kz
E E cos t kz
E E xˆ E zˆ
z,in 0 z
x,in 0 x
in x,in z,in
ρ
que es una luz linealmente polarizada con polarización elíptica general. Al entrar esta luz en la lámina (z=0) tenemos
= ω E E cos t
E E cos t z,in 0 z
x,in 0 x
A la salida de la lámina (z = L), tendremos
( ) = (ω − +φ)
= ω −
E E cos t k L
E E cos t k L
E E xˆ E zˆ
z,out 0 z z
x,out 0 x x
out x,out z,out
ρ
donde
Figura 11.5. Principio de los retardadores.
que es luz R (circular dextrógira).
b) Luz incidente L (circular levógira):
π = ω −
= ω
E E cos t
E E cos t
z,in 0
x,in 0
entonces la luz emergente es:
E E cos( t)
E E cos t z,out 0
x,out 0 = ω
= ω
que es luz P (^) 45º.
a) Luz incidente P (^) 45º:
E E cos( t)
E E cos t z,in 0
x,in 0 = ω
= ω
entonces la luz emergente es:
E E cos( t ) E cos( t)
E E cos t z,out 0 0
x,out 0 = ω +π =− ω
= ω
que es luz P (^) -45º.
b) Luz incidente L (circular levógira):
= ^ ω −π
= ω
E E cos t
E E cos t
z,in 0
x,in 0
entonces la luz emergente es:
= ^ ω +π
= ω
E E cos t
E E cos t
z,out 0
x,out 0
que es luz R.
